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1、西外2022学年第一学期高一级期末质量检测数学试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分考试时间120分钟，满分150分1答题前填涂好自己的姓名、班级、考号等信息；2请将答案正确填写在答题纸上第卷（选择题 共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先由补集的概念得到，再由并集的概念得到结果即可【详解】根据题意得，则故选：C2. 已知角的终边经过点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角函数的定义，列出方程，解之可得选项.详解
2、】由题意，得，根据三角函数的定义，可得且，解得.故选：C.3. 已知命题，则是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据特称命题的否定的书写规则来确定答案.【详解】命题，则是：故选：C.4. 已知是第二象限角，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简，可得，再根据是第二象限角，所以，再利用即可得解.【详解】，是第二象限角，选：A5. 为了得到函数的图象，只需把的图象上的所有点（ ）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】D【解析】【分析】利用三角函数图象的平移规律可得结论.【详解】因为，所以，为了得到函数的
3、图象，只需把的图象上的所有点向右平移个单位.故选：D.6. 已知，如果不等式恒成立，那么的最大值等于（ ）A. 7B. 8C. 9D. 10【答案】C【解析】【详解】，选C.7. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据题意，由同角三角函数基本关系，求出，再由，根据两角差的余弦公式，即可求出结果.【详解】解：因为，所以，又，所以，；所以.故选：D.8. 当生物死后，它体内的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半.2010年考古学家对良渚古城水利系统中一条水坝的建筑材料草裹泥）上提取的草茎遗存进行碳14检测，检测出碳14的残
4、留量约为初始量的，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前（ ）（参考数据：，)A. 年B. 年C. 年D. 年【答案】B【解析】【分析】根据碳14的半衰期为5730年，即每5730年含量减少一半，设原来的量为，经过年后变成了，即可列出等式求出的值，即可求解.【详解】解：根据题意可设原来的量为，经过年后变成了，即，两边同时取对数，得：，即，以此推断此水坝建成的年代大概是公元前年.故选：B.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 下列命题中正确的是（ ）A. 当，且时，的最小值是4B. 当时，最
5、大值是C. 当时，的最小值是2D. 当时，的最小值是2【答案】BD【解析】【分析】对于选项A，可以通过取特值判断；对于选项BD，可以利用基本不等式求解；对于选项C，可以利用函数的单调性判断得解.【详解】对于选项A，取，此时，故选项A错误；对于选项B，（当且仅当时等号成立），故选项B正确；对于选项C，当时，设，函数在上单调递减，所以无最小值，所以选项C错误；对于选项D，可得，当时取等号，故选项D正确.故选：BD10. 已知函数，则（ ）A. 的最大值是2B. 的最小正周期为C. 在上是增函数D. 的图像关于点对称【答案】AC【解析】【分析】对A，由函数的解析式即可求出函数的最大值，对B，D根据正
6、弦函数的周期与对称中心公式，整体代入即可判断；对C，先求出的单调递增区间，即可判断.【详解】解：对A，故当时，故A正确；对B，的最小正周期，故B错误；对C，令，解得：，故的单调递增区间为：，当时，的一个单调递增区间为：，故在上单调递增，故C正确；对D，令，解得：，故的对称中心为：，令，即，解得：，故不是的对称中心，故D错误.故选：AC.11. 下列命题中是假命题的是（ ）A. “”是“”的充分条件B. “”是“”的必要条件C. “”是“”的充要条件D. “”是“”的充要条件【答案】ACD【解析】【分析】直接利用充分条件和必要条件的定义逐一判断选项即可.【详解】对于选项A，“”“”，则“”是“”
7、的必要不充分条件，即该命题为假命题，故A正确；对于选项B，“”“”，则“”是“” 的必要不充分条件，即该命题为真命题，故B错误；对于选项C，函数为单调递减函数，当时，即该命题为假命题，故C正确；对于选项D，当，但，即该命题为假命题，故D正确，故选：.12. 设函数是定义在上的函数，满足，且对任意的，恒有，已知当时，则有（ ）A. 函数是周期函数，且周期为B. 函数的最大值是，最小值是C. 当时，D. 函数在上单调递增，在上单调递减【答案】BD【解析】【分析】推导出函数的周期，可判断A选项的正误；求出函数在区间上的最大值和最小值，结合函数的周期性和奇偶性可判断B选项的正误；利用函数的奇偶性和周期
8、性求出函数在上的解析式，可判断C选项的正误；利用C中的解析式结合周期性可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由已知可得，则，故函数是周期函数，且周期为，A选项错误；对于B选项，当时，由于函数为偶函数，则当时，所以，当时，由于函数是周期为周期函数，故函数的最大值是，最小值是，B选项正确；对于C选项，当时，当时，则，C选项错误；对于D选项，由C选项可知，函数在上单调单调递增，在上单调递减，由于函数是周期为的周期函数，故函数在上单调递增，在上单调递减，D选项正确.故选：BD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】利用对数函数的定义域列出不等
9、式组即可求解.【详解】由题意可得，解得，所以函数的定义域为.故答案为：14. 求值：_.【答案】【解析】【分析】利用诱导公式，将所求的式子的角化为，再由同角间的三角函数关系，即可求解.【详解】.故答案为：.15. 已知函数，若，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】，分离参数，得到，求出的范围，即可得出结论.【详解】，恒成立，即恒成立，设在单调递减，所以，所以.故答案为：.16. 已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)0解集是_若函数f(x)恰有2个零点，则的取值范围是_【答案】 . (1,4) . 【解析】【详解】分析:根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先
10、讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.详解：由题意得或，所以或，即，不等式f(x)0的解集是当时，此时，即在上有两个零点；当时，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤17. 已知1与2是三次函数的两个零
11、点.（1）求的值；（2）求不等式的解集.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据函数零点的定义得，解方程即可得答案；（2）由（1）得，进而根据二次函数性质解不等式即可.【详解】解：（1）因为1与2是三次函数的两个零点所以根据函数的零点的定义得：，解得：.（2）由（1）得，根据二次函数的性质得不等式的解集为：所以不等式的解集为18. 问题：是否存在二次函数同时满足下列条件：，的最大值为4，_？若存在，求出的解析式；若不存在，请说明理由.在 对任意都成立， 函数的图像关于轴对称， 函数的单调递减区间是这三个条件中任选一个，补充在上面问题中作答.【答案】答案见解析【解析】【分析】由，可求得，
12、由条件可得函数的对称轴，又的最大值为4，可得关于的方程组，求解即可.【详解】解：由，可求得，则若选择 对任意都成立可得的对称轴为，所以1，又的最大值为4，可得且，即，解得，此时；若选择函数的图像关于轴对称可得的对称轴为，则2，又f（x）的最大值为4，可得且，即，解得a，此时若选择 函数f（x）的单调递减区间是，可得f（x）关于x对称，则，又的最大值为4，可得且，即解得，此时19. 已知函数(，且).（1）求的定义域；（2）判断函数的奇偶性，并求函数的单调区间.【答案】（1）；（2）函数为奇函数；当时，函数在，上为减函数；当时，函数在，上为增函数.【解析】【分析】（1）根据对数函数真数大于零，由
13、求解. （2）利用函数奇偶性的定义判断，设，则在和上均为减函数，再分，利用复合函数的单调性求解.【详解】（1）(且)，即，解得或，故函数的定义域，（2）由（1）知，函数的定义域关于原点对称，函数为奇函数，设，则，因为函数u在和上均为减函数，当时，函数在为增函数，所以函数在，上为减函数，当时，函数在为减函数，故函数在，上为增函数.【点睛】方法点睛：对于复合函数yfg(x)，若tg(x)在区间(a，b)上是单调函数，且yf(t)在区间(g(a)，g(b)或者(g(b)，g(a)上是单调函数，若tg(x)与yf(t)的单调性相同(同时为增或减)，则yfg(x)为增函数；若tg(x)与yf(t)的单调
14、性相反，则yfg(x)为减函数20. 已知函数.（1）求函数的单调递增区间和对称中心；（2）当时，解不等式的值域；（3）当时，解不等式.【答案】（1）单调递增区间为，对称中心为；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）由，根据三角函数的递增区间和对称中心即可得解；（2）由，可得，所以即可得解；（3）由时，求出整体范围，若要，只要，求解即可.【详解】（1），由解得，所以，由可得，所以对称中心；（2）由，可得，所以，所以的值域为；（3）当时，由可得：，则，根据正弦函数的图像与性质可得：,解得的取值范围为.21. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新
15、机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完.（1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式；（2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润.【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.【解析】【分析】（1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可；（2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值.【详解】（1）当时，；当时，（2）当时，；当时，取最大值万元；当时， ，当且
16、仅当时，取等号综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元.【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键.22. 已知函数（，且）.（1）若，试比较与的大小，并说明理由；（2）若，且，三点在函数的图像上，记的面积为，求的表达式，并求的值域.【答案】（1）当时，；当时，；（2）；【解析】【分析】（1）根据题意分别代入求出，再比较的大小，利用函数的单调性即可求解.（2）先表示出的表达式，再根据函数的单调性求的值域.【详解】解：（1）当时，在上单调递减；，又，故；同理可得：当时，在上单调递增；，又，故，综上所述：当时，；当时，；（2）由题意可知： ，故在上单调递增；令，当时，在上单调递增；故在上单调递减；故在上单调递减；故，故的值域为：.