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1、第 1 页 共 14 页 2022-2023 学年广东省广州中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1已知集合318Axx,10Bx x,则AB（）A10，B3,10 C3,10 D10，【答案】C【解析】化简集合 A，再求交集.【详解】318|3Ax xx x|310ABxx 故选：C【点睛】本题主要考查了集合间的交集运算，属于基础题.2下列函数既是偶函数,又在区间0,3上是减函数的是（）Alnyx B3yx Ccosyx Deexxy【答案】C【解析】根据奇偶性的判断排除 B 选项，根据单调性排除 A，D.【详解】令()ln|,(,0)(0,)f xx x，()ln|ln|()fxxxf
2、x，则lnyx为偶函数 当0 x 时，lnlnyxx，在(0,)上单调递增，故 A 错误；令3(),g xx xR，则33()()gxxxg x ，则函数3yx为奇函数，故 B 错误；令()cos,h xx xR，()cos()cos()hxxxh x，则函数cosyx为偶函数 cosyx在区间(0,)上单调递减，则cosyx在区间0,3上是减函数，故 C 正确；令(),xxt xeexR，()()xxtxeet x，则函数eexxy是偶函数 令 12111221221212 0,1xxxxxxxxxxeeexx t xt xeeeee 因为120 xx，所以22110,10 xxxxeee，
3、即 120t xt x 所以函数eexxy在(0,)上单调递增，故 D 错误；故选：C【点睛】本题主要考查了利用函数奇偶性以及单调性定义判断函数的奇偶性和单调性，属于基础题.第 2 页 共 14 页 3若 a，b 是实数，则ab是lglgab的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】B【分析】由对数函数单调性即可得到二者之间的逻辑关系.【详解】由lglgab可得ab；但是0ab时，不能得到lglgab.则ab是lglgab的必要不充分条件 故选：B 4函数sincos36yxx的最大值为（）A2 B3 C1 D2【答案】D【解析】利用诱导公式得出cos
4、sin63xx，结合正弦函数的性质，得出最大值.【详解】coscossin6233xxx 2sin3yx 即当62,xkkZ时，y取最大值2 故选：D【点睛】本题主要考查了诱导公式以及正弦型函数的最值，属于基础题.5设160.7a,130.9b,2log 0.8c,则 a,b,c 的大小关系是（）Abac Babc Ccab Dacb【答案】A【解析】利用6yx的单调性比较,a b，c与0比较即可得出答案.【详解】6620.7,0.90.81ab，则66ab 因为函数6yx在0,上单调递增，则660abab 22log 0.8log 10c 所以bac 故选：A【点睛】本题主要考查了利用幂函数
5、以及对数函数单调性比较大小，属于基础题.第 3 页 共 14 页 6函数cosyxx,5,5x 的大致图象为（）Aa B C D【答案】B【解析】判断函数奇偶性，取特殊值判断即可.【详解】令()cosf xxx，()cos()cos()fxxxxxf x ，则函数cosyxx 为奇函数，则排除 D；3522(5)5 cos50f，则排除AC 故选：B【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，属于基础题.7已知定义在 R 上的函数 f x的图象是连续不断的,且有如下对应值表:x 1 2 3 4 f x 5 3 2 5 那么函数 2g xf xx一定存在零点的区间是（）A,1 B1,2 C2,3 D3
6、,4【答案】B【解析】利用零点存在性定理判断即可.【详解】112523,224341gfgf 第 4 页 共 14 页 120gg 则函数 2g xf xx一定存在零点的区间是1,2 故选：B【点睛】本题主要考查了利用零点存在性定理判断零点所在区间，属于基础题.8为配制一种药液，进行了二次稀释，先在容积为 40L 的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出LV用水补满，搅拌均匀，第二次倒出4L5V后用水补满，若第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的60%，则 V 的最小值为（）A5 B10 C15 D20【答案】B【分析】依据题意列出不等式即可解得 V的最小值.【详解】由4540(40)40 60%
7、40VVV，解得1040V 则 V 的最小值为 10.故选：B 二、多选题 9设,a b cR，且0ba，则下列结论一定正确的是（）A11ba B22acbc C22ab Dabab【答案】AD【分析】根据不等式的性质判断 AD，列举例子判断 BC.【详解】A.0ba，同除ab可得11ba，A 正确；B.当2c 0时，22acbc，B 错误；C.若1,2ab ，此时有22ab，C 错误；D.0,0abab，故abab，D 正确.故选：AD.10已知1cos63，则（）A2 2sin63 B51cos63 第 5 页 共 14 页 C1sin33 D角可能是第二象限角【答案】BC【分析】根据给定
8、条件结合诱导公式、同角公式逐项分析、计算并判断作答.【详解】因1cos63，则6是第一象限或者第四象限角，当6是第四象限角时，22 2sin1 cos663 ，A 不正确；51coscos()cos()6663 ，B 正确；1sinsin()cos()32663，C 正确；因6是第一象限或者第四象限角，则()66不可能是第二象限角.故选：BC 11以下结论正确的是（）A函数2(1)xyx的最小值是 4 B若,Ra b且0ab，则2baab C若xR，则22132xx 的最小值为 3 D函数12(0)yxxx的最大值为 0【答案】BD【分析】结合基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
9、【详解】A.对于函数2(1)xyx，当0 x 时，0y，所以 A 选项错误.B.由于0ab，所以0,0baab，所以22bab aaba b，当且仅当22,baabab时等号成立，所以 B 选项正确.C.2222221113212213222xxxxxx ，但22122xx无解，所以等号不成立，所以 C 选项错误.D.由于0 x，所以11122220yxxxxxx，当且仅当1,1xxx 时等号成立，所以 D 选项正确.故选：BD 第 6 页 共 14 页 12已知函数 2221,021,0 xxxf xxxx，则下列判断正确的是（）A()f x为奇函数 B对任意12,x x R，且12xx，则
10、有 12120 xxf xf x C对任意xR，则有()()2f xfx D若函数|()|yf xmx有两个不同的零点，则实数 m的取值范围是(,0)(4,)【答案】BCD【分析】举出反例可得函数不是奇函数，A 错误；研究二次函数的单调性得到 B 正确；分情况讨论并计算可判断 C 正确；构造函数|()|(),f xg xymx，将函数的零点转化为两个函数图象的交点问题可判断 D 正确【详解】A 选项，(1)4,(1)2ff，即(1)(1)ff，则()f x不是奇函数，即 A 不正确；B 选项，0 x 时，22()2112f xxxx ，对称轴为1x，开口向下，故()f x在(,0)上递增，0
11、x 时22()211f xxxx，对称轴为=1x，开口向上，故()f x在(0,)上递增，且2202 0102 01，于是得()f x在 R 上单调递增，则 12120 xxf xf x，B 正确；C 选项，0 x 时，220,()()21()2()12xf xfxxxxx ，0 x 时，220,()()21()2()12xf xfxxxxx ，0 x 时，()()2(0)2f xfxf 综上得：对任意xR，则有()()2f xfx成立，C 正确；D 选项，因为(0)1f，则 0 不是|()|yf xmx的零点，0 x 时，|()|()|0f xf xmxmx，令|()|(),f xg xym
12、x，依题意函数()yg x的图象与直线ym有两个公共点，0 x 时，令2()210f xxx ，解得：12,12x，结合0 x 可得：12,0 x，令2()210f xxx ，解得：,1212,x，第 7 页 共 14 页 结合0 x 可得：,12x，0 x 时，22()2110f xxxx 恒成立，综上：()0f x 时，12,()0 xf x 时，12x ，于是得 12,012,12012,12xxxg xxxxxxx ，由对勾函数知，g x在0,1上递减，在1,上递增，又 g x在12,0)上递减，在(,12上递增，如图：直线1ym与()yg x的图象有两个公共点，14m，直线2ym与(
13、)yg x的图象有两个公共点，20m，从而得函数()yg x的图象与直线ym有两个公共点时0m 或4m，所以实数 m的取值范围是(,0)(4,)，D 正确 故选：BCD 三、填空题 13计算:22318lg902lg34_.【答案】21【解析】由指数的运算性质与对数的运算性质化简即可得出答案.第 8 页 共 14 页【详解】222233318lg902lg342lg9lg10lg9214 故答案为：21【点睛】本题主要考查了指数的运算性质与对数的运算性质，属于基础题.14已知扇形的圆心角为3，弧长为45，则扇形的面积为_.【答案】2425【分析】利用圆心角和弧长求出半径，根据扇形面积公式求解即
14、可.【详解】依题意，扇形的半径412553lr，所以扇形的面积1141224225525Slr，故答案为：2425.15已知tan 26，则7tan 212_【答案】17【分析】由题意利用二倍角的正切公式求得tan 23的值，再利用两角和的正切公式求得7tan 2tan 21234的值【详解】已知tan 26，22tan 46tan 2331tan6，则tan 2tan7134tan 2tan 2123471tan 2tan34，故答案为17【点睛】本题主要考查二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题 16已知函数21()21xxf x，若对于任意的,2xt t，不等式()()0f
15、 xtf x恒成立，则实数 t的取值范围是_【答案】(,4 【分析】先判断()f x在R上是奇函数和增函数，故题意可转化成2,2xt xt t，求 max2x即可第 9 页 共 14 页 求解【详解】()f x的定义域为R，且2112()()2112xxxxfxf x，所以()f x为奇函数，212()12121xxxf x，对任意12,xx 12122112122 2222221102121212121 21xxxxxxxxf xf x，所以()f x为单调递增函数，由()()0f xtf x，得()()f xtf x，即()()f xtfx，所以,2xtx xt t ，即2,2xt xt
16、t恒成立，因为当,2xt t时，max222xt，所以2(2),tt，解得4t ，故答案为：(,4 四、解答题 17已知集合R1Ax x 或3x，集合 23Bx kxk.(1)当1k 时，求AB；(2)若AB是空集，求实数k的取值范围.【答案】(1)12xx (2)4k k 或32k 【分析】（1）先根据补集的定义求出集合A，再将集合,A B取交集；（2）需要分类讨论集合B是否为空集.【详解】（1）集合13Axx，当1k 时，集合22Bxx，所以12ABxx.（2）当AB是空集时，分两种情况：情况一：集合B 时，23kk，所以3k；情况二：集合B 时，3k，要使AB是空集，第 10 页 共 1
17、4 页 则需要满足31k 或23k，解得4k 或32k，所以这种情况下，实数k的取值范围为4k k 或332k.综上，实数k的取值范围为4k k 或32k.18已知为第一象限角,且sin2cos.（1）求sin2的值;（2）求的sin4值.【答案】（1）45；（2）3 1010【解析】（1）利用平方关系以及二倍角的正弦公式求解即可；（2）利用两角和的正弦公式求解即可.【详解】（1）2222sincos1(2cos)cos1 52 5cos,sin55 2 554sin22sincos2555（2）2222 553sinsincos4222551100【点睛】本题主要考查了二倍角的正弦公式以及两
18、角和的正弦公式，属于基础题.19已知函数1()e,()21xf xg xx其中e为自然对数的底数，e2.71828(1)判断()g x单调性，并用定义证明；(2)求方程()()f xg x实数解的个数【答案】(1)()g x为(1,)上的单调递减函数；证明见解析(2)唯一的实数解 【分析】（1）根据函数单调性的定义判断并证明即可；（2）令1()()()e21xh xf xg xx，易知()h x在(1,)单调递增，又因为102h，1(0)02h，所以()h x在(1,)存在唯一零点01,02x，从而得出结论【详解】（1）1()21g xx的定义域为(1,)对任意的121xx 第 11 页 共
19、14 页 2112121211112121211xxg xg xxxxx 2112121121111xxxxxx 211212021111xxxxxx 所以 12,()g xg xg x为(1,)上的单调递减函数.（2）由()()f xg x可得()()0f xg x，令1()()()e21xh xf xg xx 易知()h x在(1,)单调递增 又因为111112021e22e21e2eh，1(0)02h 所以()h x在(1,)存在唯一零点01,02x 所以()()f xg x有唯一的实数解01,02x.20已知函数()sinsincos66f xxxxa的最大值为 1，（1）求常数a的值
20、；（2）求函数()f x的单调递减区间；（3）求使()0f x成立的 x 的取值集合.【答案】（1）1a；（2）42,2,33kkkZ；（3）2|22,3xkxkkZ【解析】（1）利用两角和与差的公式化简成为sin()yAx的形式，根据三角函数的性质可得a的值（2）将内层函数看作整体，放到正弦函数的减区间上，解不等式得函数的单调递减区间；（3）根据三角函数的性质求解()0f x成立的x的取值集合【详解】（1）由题意：函数()sin()sin()cos66f xxxxa，化简得：()sin coscos sinsin coscos sincos6666f xxxxxxa 3sincosxxa 2
21、sin()6xa，sin()6x的最大值为 1，()2 11f xa，解得：1a （2）由（1）可知()2sin()16f xx 第 12 页 共 14 页 根据三角函数的性质可得：262xk，32()2kkZ 即322262kxk，()kZ 解得：42233kxk，()kZ，()f x的单调递减区间为42,2,33kkkZ；（3）由题意：()0f x，即2sin()1 06x，可得：1sin()62x 522666kxk，()kZ 解得：2223kxk()kZ()0f x成立的x的取值范围是2|22,3xkxkkZ【点睛】本题考查了三角函数的化简和计算能力，三角函数的性质的运用属于基础题 2
22、1国家质量监督检验检疫局于 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阀值与检验国家标准新标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫克/百毫升，小于 80 毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于 80 毫克/百毫升为醉酒驾车经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下：该函数模型如下：0.540sin()13,02()39014,2xxxf xex 根据上述条件，回答以下问题：（1）试计算喝 1 瓶啤酒多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？（2）试计算喝一瓶啤酒多少小时后才可以驾车？（时间以整小时计算）
23、（参考数据：ln152.71,ln303.40,ln904.50）第 13 页 共 14 页【答案】（1）喝 1 瓶啤酒后 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值 53 毫克/百毫升；（2）喝 1 瓶啤酒后需 6 小时后才可以驾车.【详解】（1）由图可知，当函数 f x取得最大值时，02x，此时 40sin133fxx，当32x，即32x 时，函数 f x取得最大值为max53y.故喝 1 瓶啤酒后 1.5 小时血液中的酒精含量达到最大值 53 毫克/百毫升.（2）由题意知，当车辆驾驶人员血液中的酒精小于 20 毫克/百毫升时可以驾车，此时2x.由0.5901420 xe，得：0.5115xe
24、，两边取自然对数得：0.51lnln15xe 即0.5ln15x，2ln155.42x，故喝 1 瓶啤酒后需 6 小时后才可以驾车.22已知函数()ln e1,()ln e1xxf xg x(1)试判断函数1()2f xx的奇偶性，并证明；(2)若对任意的ln2,ln4x，都有不等式()()ln0g xf xxk恒成立，求实数 k 的取值范围【答案】(1)偶函数；证明见解析(2)20,3 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断并证明；（2）利用参变量分离法可得ee1e1xxxk在ln2,ln4x上恒成立，利用换元法(令e1xt)及函数的单调性求出ee1e1xxx的最大值，即可求解k的取值范围【
25、详解】（1）1h()ln e12xxx的定义域为R ee111e1()()ln e1ln e1lnln02ee211xxxxxxxh xhxxxxx 所以1()ln e12xh xx为偶函数.（2）对任意的ln2,ln4x，都有不等式()()ln0g xf xxk恒成立，第 14 页 共 14 页 e1lnln0e1xxxk恒成立，即e1lnln0e1xxxlnek在ln2,ln4x上恒成立，即ee1e1xxxk在ln2,ln4x上恒成立，令e1,1,3xtt ee1(1)(2)23e1xxxttttt 令2()3,1,3g tttt 1 21212121212121 222222()()3(3)()()()t tg tg tttttttttttt t 当12,1,2t t且12tt时，121 21 20,20,0ttt tt t，则12()()0g tg t 当122,3,t t且12tt时，121 21 20,20,0ttt tt t，则12()()0g tg t 可得()g t在1,2上单调递减，在2,3上单调递增 又20(1)6,(3)3gg，所以()g t在1,3上的最大值为203 203k，即实数 k的取值范围是20,3