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1、第 1 页 共 13 页 2022-2023 学年广东省广州市第二中学高一上学期期末数学试题 一、单选题 1若集合1,0,1,0,2AB，则集合AB中元素的个数为（）A1 B2 C3 D4【答案】D【解析】求得AB，由此判断出AB中元素的个数.【详解】依题意1,0,1,2AB，有4个元素.故选：D【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，属于基础题.2与角330终边相同的最小正角是（）A30 B330 C30 D60【答案】C【解析】利用终边相同的角的关系，求得与角330终边相同的最小正角.【详解】与角330终边相同的最小正角为33036030.故选：C【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属
2、于基础题.3若11fxx，则 3f的值为（）A4 B5 C9 D10【答案】B【解析】由13x 计算出x的值，由此求得 3f的值.【详解】由13x 由解得4x，所以 34 15f.故选：B【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题.4已知幂函数 23mf xmx在0,为单调增函数，则实数m的值为（）A3 B2 C2 D2【答案】D【解析】根据 f x为幂函数，求得m的可能取值，再由 f x在0,上的单调性，求得m的值.第 2 页 共 13 页【详解】由于 f x为幂函数，所以231,2mm，当2m 时，2f xx在0,上递减，不符合题意，当2m 时 2f xx在0,上递增，符合题意.故选：
3、D【点睛】本小题主要考查根据函数为幂函数求解析式，考查幂函数的单调性，属于基础题.5若()()(0)f xtanx的周期为1，则1()3f的值为（）A3 B33 C33 D3【答案】D【解析】根据 f x的周期求得，由此求得13f的值.【详解】依题意 1,tan Tf xx，所以1tan333f.故选：D【点睛】本小题主要考查正切函数的周期性，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.6已知实数 x，y，z 满足04x，5log 3y，sin22z，则（）Azxy Byzx Czyx Dxzy【答案】C【分析】根据指数、对数、三角函数的知识确定正确答案.【详解】041x，55log 3log 51y
4、，sin2cos22z，而22，所以0z，所以zyx.故选：C 7已知弧长为cm的弧所对的圆心角为4，则这条弧所在的扇形面积为（）2cm A2 B C2 D4【答案】C【解析】先求得扇形的半径，由此求得扇形面积.【详解】依题意，扇形的半径为44，所以扇形面积为1 422.故选：C 第 3 页 共 13 页【点睛】本小题主要考查扇形半径、面积有关计算，属于基础题.8已知函数 f x是定义在 R 上的偶函数，对于1x，20,x，且12xx，都有 1122120 x fxx fxxx成立，若实数 m满足 1 21 20mf mm fm，则 m的取值范围是（）A,1 B,1 C1,D1,【答案】C【分
5、析】构造函数 F xxf x，根据 F x的单调性和奇偶性化简不等式 1 21 20mf mm fm，进而求得m的取值范围.【详解】依题意，函数 f x是定义在 R 上的偶函数，fxf x，构造函数 F xxf x，则 Fxxfxxf xF x ，所以 F x是奇函数，图象关于原点对称.由于1x，20,x，且12xx，都有 1122120 x fxx fxxx成立，即 12120F xF xxx，所以 F x在0,上递减，所以 F x在R上递减.由 1 21 20mf mm fm，即 1 20F mFm，1 2F mFm，即 21F mFm，所以21,1mmm，所以m的取值范围是1,.故选：C
6、 二、多选题 9下列各组函数中，表示同一函数的是（）A 22,f ttg xx B cos,sin2f xx g xx 第 4 页 共 13 页 C 20,(0)x xf xxg xx x D 42lo,logf xg x g xx【答案】ABD【分析】先判断定义域是否相同，然后对解析式化简后判断对应关系可得.【详解】22,f ttg xx对应关系和定义域显然相同，故 A 正确；B 选项中，因为 sincos2g xxx，所以 B 正确；C 选项中，2fxx的定义域为0,)，g x的定义域为 R，故 C 不正确；D 选项中，显然 ,f xg x的定义域都为(0,)，又 24221lologlo
7、g2f xg xxx，122221loglogl2ogxxg xx，故 D 正确.故选：ABD 10下列说法正确的是（）A“22acbc”是“ab”的充分不必要条件 B“0 xy”是“0 xy”的必要不充分条件 C“对任意一个无理数x，2x也是无理数”是真命题 D命题“Rx，210 x ”的否定是“Rx，210 x ”【答案】AD【分析】利用不等式的基本性质结合特殊值法以及充分条件、必要条件的定义可判断 A 选项；利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义可判断 B 选项；利用特殊值法可判断 C 选项；利用存在量词命题的否定可判断 D 选项.【详解】对于 A 选项，若22acbc，则20c，由不
8、等式的性质可得ab，即“22acbc”“ab”，若ab，取0c，则22acbc，即“22acbc”“ab”，故“22acbc”是“ab”的充分不必要条件，A 对；对于 B 选项，若0 xy，不妨取=1x，1y ，则0 xy，即“0 xy”“0 xy”，若0 xy，取=1x，2y，则0 xy，即“0 xy”“0 xy”，所以，“0 xy”是“0 xy”的既不充分也不必要条件，B 错；对于 C 选项，取2x 为无理数，则22x 为有理数，C 错；对于 D 选项，命题“Rx，210 x ”的否定是“Rx，210 x ”，D 对.故选：AD.11已知函数 22sin12fxx0，的最小正周期为，若 m
9、，2,2n，且第 5 页 共 13 页 4f mf n，则下列结论正确的是（）A的值为 1 B 2f mf n C5,16是函数 f x图象的一个对称中心 Dmn的最大值为3【答案】ACD【分析】化简 f x的解析式，根据 f x的最小正周期求得，再结合 f x的最值、对称中心对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】22sin1 cos 2126fxxx，由于 f x的最小正周期为，所以2,12T，A 选项正确.所以 1 cos 26fxx，由于1cos 21,1cos 2166xx ，所以01 cos 226x，当,2,2m n 时，要使 4f mf n，则 2f mf n，B 选项错误.
10、53cos 2cos0662，516f，所以5,16是函数 f x图象的一个对称中心，C 选项正确.当 2f x 时，cos 216x，3522,Z626xkxkk，由5226k，解得17766k，所以2,1,0,1k ，所以mn的最大值为552366，D 选项正确.故选：ACD 12已知函数 cos2fxx，其中 x表示不超过 x的最大整数，下列说法正确的是（）A函数12yfx为偶函数 B f x的值域为1,0,1 C f x为周期函数，且最小正周期4T 第 6 页 共 13 页 D f x与7log1yx的图像恰有一个公共点【答案】BCD【分析】利用特殊值排除错误选项，证明可能正确的选项正
11、确.【详解】对于 A，由于 110cos0122ff，111cos0222ff所以1122f1122f，所以12yfx不是偶函数，故 A 错；对于 B，由于 x为整数，Zsin222xkkk的值有0,1,1三种情况，所以 f x的值域为0,1,1故 B 正确；对于 C，由于 44xx，所以 4cos4cos2cos222fxxxxfx，故 C 正确；对于 D，由 B 得 0,1,1f x，令7log10 x，得2x 或0 x，而 2cos1,0cos01ff 不是公共点的横坐标.令7log10 x，得8x 或6x，而 8cos41,6cos3cos1ff，所以8,1是两个函数图像的一个公共点.
12、令7log11x，得87x 或67x，而86cos0,cos01727ff，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点8,1，故 D 正确.故选：BCD 三、填空题 13已知a0，则关于 x 的不等式225250 xa xa的解集是_.【答案】5|2xxa 【分析】将不等式的左边进行因式分解，然后比较a和52的大小，再利用一元二次不等式的解法即可求解.【详解】因为关于 x 的不等式225250 xa xa可化为：(25)()0 xxa，又因为a0，所以52a ，所以不等式(25)()0 xxa的解集为5|2xxa，第 7 页 共 13 页 则关于 x的不等式22525
13、0 xa xa的解集是5|2xxa，故答案为：5|2xxa.1413cos80cos10的值为_.【答案】4【分析】根据三角恒等变换的知识进行化简，从而求得正确答案.【详解】13cos80cos10 cos103cos80cos80 cos10 sin803cos80cos80 cos10 132sin80cos8022cos80 cos10 2sin 8060cos80 cos10 2sin20cos80 cos10 2 2 sin10 cos104sin10 cos10.故答案为：4 15 将函数 sin 23fxx的图像向左平移0m m个单位后得到的图像关于 y轴对称，则 m的最小值是_
14、.【答案】12#112【分析】求得平移后的函数解析式，然后根据对称性求得m的取值范围，进而求得m的最小值.【详解】函数 sin 23fxx的图像向左平移0m m个单位后，得到sin 2sin 2233yxmxm，其图像关于y轴对称，所以2,Z32212kmkmk，由于0m，所以m的最小值为12.故答案为：12 16 已知函数 21xf x，2log,023,2xxg xx x，当01m时，关于 x的方程 gf xm解的个数为_.第 8 页 共 13 页【答案】4【分析】令 tf x，得到 g tm，由 2log,023,2xxg xx x的图象得到根 t 的分布，再由 21xf x的图象，得到
15、 tf x的根的个数即可.【详解】解：令 tf x，则 gf xm，化为 g tm，2log,023,2xxg xx x的图象如图所示：因为01m，所以 g tm有三个不同的根123,t t t，其中1230,1,1,2,2,3ttt，函数 21xf x的图象如图所示：由图象知：1tf x有 2 个不同的根，2tf x有 1 个根，3tf x有 1 个根，所以当01m时，关于 x的方程 gf xm解的个数为 4，故答案为：4 四、解答题 17已知集合2Ax axa，2120Bx xx(1)当2a 时，求RAB；(2)若RAB，求 a的取值范围 第 9 页 共 13 页【答案】(1)44RABx
16、x(2)3,2 【分析】（1）解一元二次不等式求得集合B，由补集和并集的定义可运算求得结果；（2）分别在A和A 两种情况下，根据交集为空集可构造不等式求得结果.【详解】（1）由题意得24Axx，4Bx x 或3x，43RBxx，44RABxx.（2）RAB，当0a 时，A，符合题意，当0a 时，由23a，得302a，故 a的取值范围为3,2 18已知sin24sin3cos24cos1，0.2，(1)求tan和sin2的值;(2)若sin2sin2，02，求的大小【答案】(1)tan3，3sin 25；(2)34 【分析】（1）结合二倍角公式，商数关系即可化简求得tan3，以及22tansin
17、2tan1求值；（2）条件等式由诱导公式可得sin2costan2，即可由和差公式求得tan，结合范围即可.【详解】（1）2sincos2sin24sinsincos4sintan3cos24cos12cos4cos2coscos2，2222sincos2tan3sin2sincostan15；（2）sin2sin2costan22，第 10 页 共 13 页 tantantan11tantan，0,，34.19已知函数 21cos3sincos2f xxxx.(1)求函数 f x的单调递减区间；(2)求函数 f x在区间0,2上的最大值与最小值.【答案】(1),63kkkZ(2)最大值为12
18、，最小值为1 【分析】（1）由三角恒等变换化简函数为 cos 23fxx，由整体法求单调递减区间即可；（2）由整体法求得函数值域，即可得最值.【详解】（1）1 cos23113sin2cos2sin2cos 2222223xf xxxxx，令22,2 3xkkkZ，解得,63xkkkZ，故 f x的单调递减区间为,63kkkZ.（2）0,2x，则 42,333x，故 1cos 21,32fxx.故函数 f x在区间0,2上的最大值为12，最小值为1.20已知函数 2R2xxaf xa为定义在1,1上的奇函数.(1)求实数 a的值；(2)设 sin2g xfx，当,12x（12）时，函数 g x
19、的最小值为22，求的取值范围.【答案】(1)1a (2)51212 【分析】（1）由 00f求得a的值.（2）求得 g x的表达式，利用换元法，结合三角函数、函数的单调性、最值等知识求得的取值范围.第 11 页 共 13 页【详解】（1）由于函数 22xxafx 是定义在1,1上的奇函数，所以 010,1,22xxfaaf x ，经检验符合题意.（2）sin2sin2sin 222xxg xfx，,22126xx，令sin2tx，22tth t，则 22tthth t，所以 h t是奇函数，且 h t在R上单调递增，当1sin62t 时，1122112222222h，要使 g x的最小值为22
20、，则1sin22tx，所以5266x，所以552,66 1212.21 生产 A产品需要投入年固定成本 5 万元，每年生产x万件Nx，需要另外投入流动成本 g x万元，且 214,072501135,7xxxg xxxx，每件产品售价为 10 元，且生产的产品当年能全部售完.(1)写出利润 p x（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）(2)年产量为多少万件时，该产品的年利润最大？最大年利润是多少？【答案】(1)2165,0725030,7xxxp xxxx(2)当年产量为5 2万件时，年利润最大，最大年利润为30 10 2万元.【分析】（1）根据“
21、年利润=年销售收入-固定成本-流动成本”求得 p x.（2）结合二次函数的性质以及基本不等式求得正确答案.【详解】（1）依题意，2165,0721055030,7xxxp xxg xxxx.第 12 页 共 13 页（2）由（1）得 21613,0725030,7xxp xxxx，当07x，所以 p x的最大值为 613p；当7x 时，50503030230 10 2xxxx，当且仅当50,5 2xxx时等号成立.由于30 10 213，所以当年产量为5 2万件时，年利润最大，最大年利润为30 10 2万元.22已知函数 2211f xxaxa，Ra.(1)若 f x在区间1,1上不单调，求a
22、的取值范围；(2)已知关于 x 的方程 220f xxx在区间1,2内有两个不相等的实数解，求实数a的取值范围.【答案】(1)2,0(2)931,5 【分析】（1）结合二次函数的对称轴及其性质即可求解；（2）令 22h xfxxx，方程 220f xxx在区间1,2内有两个不相等的实数解，等价于函数 h x在1,2上存在两个零点，结合二次函数的实根分布讨论即可求解.【详解】（1）函数 2211f xxaxa的对称轴为1xa，由 f x在区间1,1上不单调，所以111a ，解得20a，所以a的取值范围为2,0.（2）令 22h xfxxx，方程 220f xxx在区间1,2内有两个不相等的实数解
23、，等价于函数 h x在1,2上存在两个零点，第 13 页 共 13 页 因为 22221,102221,02axaxh xf xxxxaxax，且 h x在0 x 处图像不间断，当2a 时，23,10243,02xh xxxx 无零点；当2a 时，由于 221h xaxa 在1,0上单调，所以 h x在1,0内最多只有一个零点，不妨设 h x的两个零点为1x，2x，且12xx，若 h x有一个零点为 0，则1a，于是 26,1022,02xxh xxxx，零点为 0 或 1，所以1a 满足题意，若 0 不是函数 h x的零点，则函数 h x在1,2上存在两个零点有以下两种情形：（i）若110 x，202x，则 100020hhhh，即1501950aaaa，解得915a.（ii）若1202xx，则 248 10022010295010150aaahahahhaa，解得311a.综上所述，a的取值范围为931,5.