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1、第 1 页 共 40 页 2022-2023 学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期一月学业质量校内调研数学试题 一、单选题 1已知各项均为正数的等比数列na，123a a a=5，789a a a=10，则456a a a=A5 2 B7 C6 D4 2【答案】A【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以 a4a5a6 故答案为【解析】等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想 2抛物线218yx上一点0,2A x到其对称轴的距离为（）A4 B2 C2 D1【答案】A【分析】利用代入法进行求解即可.【详解】把0
2、,2A x代入抛物线方程中，得2001248xx，因为该抛物线的对称轴为纵轴，所以抛物线218yx上一点0,2A x到其对称轴的距离为 4，故选：A 3直线 x+y10 被圆（x+1）2+y23 截得的弦长等于（）A2 B2 C22 D4【答案】B【详解】第 2 页 共 40 页 如图,圆(x1)2y23 的圆心为 M(1,0)，圆半径|AM|=3，圆心 M(1,0)到直线 x+y1=0 的距离：|1 0 1|22MC，直线 x+y1=0 被圆(x+1)2+y2=3 截得的弦长：222(3)(2)2AB.故选 B.点睛:本题考查圆的标准方程以及直线和圆的位置关系.判断直线与圆的位置关系一般有两
3、种方法：1代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二元方 程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直 线与圆的位置关系这种方法具有一般性，适合于判 断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大 2几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系这种方法的特点是计算量较小当直线与圆相交时,可利用垂径定理得出圆心到直线的距离,弦长和半径的勾股关系.4圆 C 为过点(4,3),(2,5)PQ的圆中最小的圆，则圆 C上的任意一点 M到原点 O 距离的取值范围为（）A2,5 B3,6 C52 2,52 2 D52,52【答案】D【分析】要使圆最小则圆心为 P、Q的中点，求出圆心坐
4、标及其半径，由圆心到原点的距离结合圆的性质即可确定圆 C上的任意一点 M 到原点 O距离的范围.【详解】以 PQ为直径的圆最小，则圆心为(3,4)C，半径为2，圆心到原点的距离为 5，M到原点 O 距离的最小值为52,52.故选：D 5“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕着陆巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测2021 年 2 月 10 日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点).2 月 15 日 17 时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点)平面机动”，同时将近
5、火点高度调整至约 265 公里若此时远火点距离约为 11945 公里，火星半径约为 3395 公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为（）A0.61 B0.67 C0.71 D0.77【答案】A 第 3 页 共 40 页【分析】根据题中的信息列出关于,a c的方程，然后解方程并求离心率即可【详解】设椭圆的方程为22221xyab(0ab)，由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为ac，最大值为ac，根据题意可得近火点满足33952653660ac，3395 1194515340ac，解得9500a，5840c，所以椭圆的离心率为58400.619500cea，故
6、选：A 6 直三棱柱111ABCABC中，ABBC，1ABBCCC，点O为线段AC的中点，若点P在线段1CC上，则直线OP与平面1AOB所成角的正弦值的取值范围是（）A6,13 B6 2 3,33 C3,13 D2 3,13【答案】A【分析】如图所示：以1,BC BA BA为,x y z轴建立空间直角坐标系，计算平面1AOB的法向量为1,1,1n，根据向量夹角公式得到正弦值为2223mm，设2mt，根据二次函数的性质得到最值.【详解】如图所示：以1,BC BA BA为,x y z轴建立空间直角坐标系，设12ABBCCC，则0,0,0B，1,1,0O，10,2,2A，2,0,Pm，0,2m，设平
7、面1AOB的法向量为,nx y z，则12200n BAyzn BOxy，取1x 得到1,1,1n，1,1,OPm，直线OP与平面1AOB所成角的正弦值为22cos,23OP nmOP nOPnm，设2mt，则2,4t，2222211121823312181131813mtmttttt，当3t 时，有最大值为1，当2t 时有最小值为63.故选：A.第 4 页 共 40 页 7已知12,F F是双曲线2222:1(0,0)xyEabab的左，右焦点，点P在E上，D是线段12FF上点，若1212,:1:2,43FPFFD F DPD，则当12PFF面积最大时，双曲线E的方程是（）A221129xy
8、 B221912xy C22136xy D22163xy【答案】C【分析】在1PF D和2PF D分别利用余弦定理得2222648nmx，再在12PFF利用余弦定理，消去x，根据均值不等式求12PF F面积最大时12,PF PF的关系，结合双曲线的性质即可求解.【详解】如图所示 设1PFn，2PFm，1PDF，1FDx，则2PDF，22F Dx，在1PF D中由余弦定理得22168 cosnxx，在2PF D中由余弦定理得222416 16 cos()41616 cosmxxxx，2得2222648nmx，在12PFF中由余弦定理得2222292cos3xnmmnnmmn，联立消去x得2212
9、722nmmn，第 5 页 共 40 页 因为1 21sin23PF FSmn，当12PFF面积最大时即mn最大，由均值不等式可得2222117222 2322nmmnnmmnmn，当且仅当22122nm即2nm时等号成立，mn取得最大值，此时由222229423xnnnn解得33xn，所以123FFn，所以2222112PFPFFF，即12PFF为直角三角形，且12PFD，所以在1PF D中223163nn，解得2 3n，由双曲线的性质可得2112222223PFPFanFFcncab，解得363abc，所以双曲线E的方程为22136xy，故选：C 8已知数列 na满足111Nnnnanan
10、，且前n项和为nS，若Nn，6nSS，则6S的取值范围为（）A73,2 B90,2 C92,2 D0,3【答案】A【分析】利用递推关系可得122nnnnanana，即数列 na是等差数列，结合条件得671 501 60adad ，再利用等差数列求和公式即得.【详解】111Nnnnanan，当1n 时，11a，又111nnnana，2111nnnana，由，得122nnnnanana，即122nnnaaa，数列 na是等差数列.由6nSS，设d为公差，则 671 501 60adad ，解得1156d，第 6 页 共 40 页 则6736152Sd.故选：A.9已知函数 2xf x，则 fx（）
11、A12xx B12 ln2x C2 ln2x D2ln2x【答案】C【分析】根据指数函数的导数公式进行求解即可.【详解】由 2xf x 2 ln2xfx，故选：C 10已知等差数列 na满足3681112aaaa，则9112aa的值为（）A3 B3 C12 D12【答案】B【分析】根据等差数列的性质若mnpq则mnpqaaaa可得.【详解】由等差中项的性质可得，368117412aaaaa，解得73a，71192aaa，911723aaa 故选：B 11已知函数322()f xxaxbxa，则“7ab”是“函数 f x在=1x处有极值10”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件
12、D既不充分又不必要条件【答案】B【分析】求出函数的导函数，依题意可得 1=01=10ff，即可得到方程组，解得a、b再检验，最后根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：因为322()f xxaxbxa，所以2()32fxxaxb，所以 21=32=01=1+=10fabfab a，解得=3=3ab或=4=11ab；当=3=3ab时32()339f xxxx，22()363310fxxxx，即函数在定义域上单调递增，无极值点，故舍去；第 7 页 共 40 页 当=4=11ab时32()41116f xxxx，2()31131118fxxxxx，当1x 或113x 时()0fx，当111
13、3x时()0fx，满足函数在=1x处取得极值，所以7ab，所以由7ab推不出函数 f x在=1x处有极值10，即充分性不成立；由函数 f x在=1x处有极值10推得出7ab，即必要性成立；故“7ab”是“函数 f x在=1x处有极值10”的必要不充分条件；故选：B 12如图，正方形数表中对角线的一列数2,5,10,17,26,37,构成数列 na，则2023a（）2345673579111347101316195913172125611 16212631713 19253137 A220221 B220231 C220221 D220231【答案】D【分析】由题意得出数列 na的递推公式，再通
14、过累加法得出数列 na的通项，即可得出答案.【详解】由题意得数列 na的递推公式为：121nnaan，则121nnaan，1223nnaan，213aa，2n 累加得：2132113572112nnnaann，则21nan，n=1 成立 则2202320231a，故选：D.第 8 页 共 40 页 13设函数 f x是定义在0,上的可导函数，且 2xfxf x，则不等式 242022(2022)2f xxf的解集为（）A2022,2023 B2022,2024 C2022,D0,2023【答案】B【分析】构造函数2()()f xg xx，根据()2()xfxf x得到2()()f xg xx的
15、单调性，再变形不等式由单调性求解即可.【详解】由题知，函数()f x是定义在(0,)上的可导函数，其导函数为()fx，且有()2()xfxf x，即()2()0 xfxf x，设2()()f xg xx，所以243()2()()2()()0 x fxxf xxfxf xg xxx，所以()g x在(0,)上单调递增，因为24(2022)(2022)(2)0f xxf，所以22(2022)(2)(2022)2f xfx，所以2022020222xx，解得20222024x，所以不等式24(2022)(2022)(2)0f xxf的解集为(2022,2024)，故选：B【点睛】关键点睛：根据不等式
16、 2xfxf x构造函数是解题的关键.14若函数 sin(0)6f xx在区间0,上既有极大值又有极小值，则的取值范围为（）A4,3 B4,3 C2,D2,【答案】A【分析】求函数的极值点，由条件列不等式，求的取值范围.【详解】因为 sin(0)6f xx，所以当2,62xkkZ时，即12,3xkkZ时函数 f x取最大值，当32,62xkkZ时，即142,3xkkZ时函数 f x取最小值，第 9 页 共 40 页 故函数 f x的极大值点为12,3xkkZ，极小值点为142,3xkkZ，因为函数 sin(0)6fxx在区间0,上既有极大值又有极小值，所以143，故43，所以的取值范围为4,3
17、.故选：A.15已知函数 f x满足 14fxfx，当1,14x时，lnf xx，若在1,44上，方程=f xkx有三个不同的实根，则实数 k的取值范围是（）A44ln4,e B4ln4,ln4 C4,ln4e D4-,ln4e【答案】D【分析】根据题意求出 f x的解析式，再画出图形，转化成 f x与=y kx的交点问题即可得出答案.【详解】由题意得，当1,14x时，lnf xx 当(1,4x时，11,1)4x，所以 1144ln4lnfxfxxx 即在1,44上，方程=f xkx有三个不同的实根等价与函数 1ln,14=4ln,1,4x xf xx x与函数=y kx的图像有三个交点，函数
18、图像如下 由图像可得，当直线=y kx过点 M 时，直线=y kx与 4ln,1,4f xx x 恰有两个交点，此时ln4k 当直线=y kx与 4ln,1,4f xx x 相切时，设切点为00,4lnxx 则切线斜率为 0004kfxx，所以切线方程为00044lnyxxxx 第 10 页 共 40 页 因为该切线过原点，所以004ln4exx 此时04-ek 所以当4ln4ek 时，直线=y kx与 4ln,1,4f xx x 恰有两个交点,又当直线=y kx过点1,ln44时，44ln4ek 即直线=y kx与 4ln,1,4f xx x 恰有交点时，必与 1ln,14fxx x有交点，
19、综上4,ln4ek.故选:D.16已知sin13a，32b，2396c，则（）Aabc Bcab Cacb Dcba【答案】B【分析】由题可得36a，36b，36c，然后构造函数 sin,0,2xf xxx，利用导数研究函数的单调性即得.【详解】sinsin133336a，3326b，23133969366c，,ca cb，对于函数 sin,0,2xf xxx，2cossinxxxfxx，令 cossing xxxx，0,2x，则 cossincossi0nxxxxxxgx，g x在0,2上单调递减，00g xg，即 0fx，f x在0,2上单调递减，13ff，即sin3sin13，sin13
20、a 32b，cab.故选：B.二、多选题 第 11 页 共 40 页 17在等差数列 na中，已知310a，116a，nS是其前n项和，则（）A72a B1054S C2d D7878SS【答案】ACD【解析】根据已知条件得出1a、d的方程组，解出这两个量的值，利用等差数列的通项公式与求和公式可判断各选项的正误.【详解】由已知条件得31111210106aadaad，解得1142ad.对于 A 选项，716146 22aad，A 选项正确；对于 B 选项，10110 91014090502Sad，B 选项错误；对于 C 选项，2d ，C 选项正确；对于 D 选项，7117213143 2877
21、Sadad，8118287714278822Sadad，所以，7878SS，D 选项正确.故选：ACD.18下列结论错误的是（）A过点1,3A，3,1B 的直线的倾斜角为 30 B若直线2360 xy与直线20axy垂直，则23a C直线240 xy与直线2410 xy 之间的距离是52 D已知2,3A，1,1B，点 P 在 x轴上，则PAPB的最小值是 5【答案】ABC【分析】由斜率公式求出直线 AB 的斜率即可判断 A，根据两条直线垂直求出 a，进而判断 B，利用平行线间的距离公式即可求出答案，进而判断 C，作 B 关于 x轴的对称点 C，进而利用对称性得到答案，进而判断 D.【详解】对
22、A，3 11tan301 32ABk，故 A 错误；对 B，若两条直线垂直，则 2a-3=0，得32a，故错误；对 C，直线240 xy可化为2480 xy，则两条直线间的距离22|1 8|9 51024d，故 C 错误；第 12 页 共 40 页 对 D，如图，设点 B关于 x 轴的对称点为 C（-1，-1），则22|345PAPBPAPCAC，当且仅当 A,P,C三点共线时取“=”，故 D 正确.故选：ABC.19已知椭圆2221(02)4xybb的左，右焦点分别为12,F F，过点1F的直线l交椭圆于A和B两点，若22AFBF的最大值为 5，则下列说法中正确的是（）A椭圆的短轴长为4 3
23、 B当22AFBF最大时，22AFBF C椭圆的离心率为12 DAB的最小值为 3【答案】BCD【分析】通过椭圆的定义得到2248AFBFABa，即228AFBFAB，进而判段当ABx轴时，AB最小，此时8AB最大，求出3b，1c，即可对选项一一进行判定得出答案.【详解】由题意可得：2a，根据椭圆定义可得2248AFBFABa，22AFBF的最大值为 5，8AB 的最大值为 5，根据椭圆性质，当ABx轴时，AB最小，此时8AB最大，此时直线l的方程为xc，将xc 代入椭圆方程得：22214ycb，即22by ，则23ABb，则3b，1c，则对于选项 A：短轴长为2 3，故选项 A 错误；第 1
24、3 页 共 40 页 对于选项 B：当22AFBF最大时，22AFBF，故选项 B 正确；对于选项 C：12cea，故选项 C 正确；对于选项 D：8AB最大值为 5，则AB的最小值为 3，故选项 D 正确；综上所述，选项 BCD 正确，故选：BCD.20如图直角梯形ABCD，/ABCD，ABBC，122BCCDABE 为AB的中点，以DE为折痕把ADE折起，使点 A到达点 P 的位置，且2 3PC，则（）A平面PDE 平面EBCD BPCED C二面角PDCB的大小4 DPC与平面PED所成角的正切值为2【答案】AC【分析】A 选项中，利用折前折后不变的量及勾股定理的逆定理，可证线线垂直，从
25、而证得线面垂直，进而证明面面垂直；B 选项中,先假设PCED，从而证得PDED,再根据ADE不是直角即可推出矛盾，从而得出结论；C 选项中，利用定义找出二面角PDCB的平面角,从而求其值，即可得出结论；D 选项中,利用线面所成角的定义得出PC与平面PED所成角为CPD,计算其正切值即可.【详解】A 选项中，2222=222 2PD ADAEDE,在PDC中,222+C=PDDPC,PCCD，易知CDDE,且PDDED,CD平面PED,CD 平面EBCD,平面PED 平面EBCD,故 A 选项正确；B 选项中,先假设PCED，易知EDCD,PCCDC,可得ED 平面PDC,则PDED，而=4AD
26、EEDP,显然矛盾，故 B 选项错误；第 14 页 共 40 页 C 选项中，易知二面角PDCB的平面角为PDE,根据折叠前后位于同一平面上的线线位置关系不变知=4PDEADE,故 C 选项正确；D 选项中,由上面的分析知，CPD为PC与平面PED所成角，在Rt PCD中，2tan2CDCPDPD,故 D 选项错误；故选:AC 21若函数 22ln1f xxa x在区间3,aa上不单调，则实数a的值可能是（）A2 B3 C2 3 D4【答案】BC【分析】利用导函数判断 f x的单调区间进行求解即可.【详解】f x的定义域为0,，所以3a，A 错误；由题意可得 4afxxx，令 0fx解得2ax
27、，所以当02ax时，0fx，f x单调递减，当2ax 时，0fx，f x单调递增，因为 f x在区间3,aa上不单调，所以3,2aaa，即2269,4aaaa，选项 B：当3a 时，30,94，正确；选项 C：当2 3a 时，29936921 12 318221 12 3aa，所以321 12 3,122，正确；选项 D：当4a 时，11,16，错误；故选：BC 22已知26661201111xaaxaxax，则下列说法正确的有（）A064a B4123562345618aaaaaa C0246365aaaa D1201234562481632642aaaaaaa 第 15 页 共 40 页【
28、答案】ACD【分析】由赋值法以及求导运算依次判断即可.【详解】对于 A，令1x 可得60264a，A 正确；对于 B，对26661201111xaaxaxax两边求导得565126 12161xaaxax，令2x 可得3545126234566 318aaaaaa，B 错误；对于 C，令0 x 得01234561aaaaaaa，令2x 得601234563729aaaaaaa，两式相加得02462730aaaa，则0246365aaaa，C 正确；对于 D，令3x 可得246101235624816326442aaaaaaa，D 正确.故选：ACD.23已知数列 na中，1234,a a a
29、a成等差数列，且23412331 eaaaaaa.若20a，则下列说法正确的是（）A12aa B12aa C34aa D34aa【答案】AD【分析】首先设 e1xf xx，利用导数求出 min00f xf，从而得到e1xx在R上恒成立，即可得到234122343311eaaaaaaaaa，化简得到10a，0d，再依次判断选项即可得到答案.【详解】设 e1xf xx，则 e1xfx，令 0fx，解得0 x.当,0 x 时，0fx，f x为减函数，当0,x时，0fx，f x为增函数.所以 min00f xf，即1xex在R上恒成立.所以23412323431e1aaaaaaaaa，即124320a
30、aa.所以1113203dadaa，即120ad，120aa.因为20a，所以10a，0d.第 16 页 共 40 页 若120aa，则12da.根据2342341eaaaaaa得到因为111aea，当且仅当10a 时等号成立.当10a 时，20a，与已知条件20a 矛盾，120aa不成立.所以10a，20a，又因为120aa，所以12aa，故 A 正确，B 错误.因为10a，0d，20a，所以430aa，即34aa，故 C 错误，D 正确.故选：AD 24已知函数 2lnf xx axaR，则下列说法正确的是（）A当12ea 时，函数 f x恰有两个零点 B当12ea 时，不等式 0f x
31、对任意0 x 恒成立 C若函数 f x有两个零点12,x x，则12ex x D当0a 时，若不等式 e1xf mxmx对0,x恒成立，则实数m的取值范围为0,e【答案】BCD【分析】选项 A 分离参数，构造函数，求导，根据导数与单调性的关系，结合题意判断即可，选项B 由选项 A 可知，当12ea 时，由2ln xax，整理可得 0f x，对任意0 x 恒成立，选项 C 利用对数运算，换元，构造新函数，对新函数求导，利用分析法证明即可，选项 D，不等式变形得到lnelnexxmxmx，令 lnxxx，根据函数单调性，将问题转化为exmx，利用函数导数求 exh xx的最小值即可.【详解】选项
32、A，由0 x，令 22lnln0 xfxxaxax，设 2ln xg xx，则 223212ln1 2lnxxxxxgxxx，令 312ln0exgxxx，当0ex时，0gx，当ex 时，0g x，所以 g x在0,e上单调递减，在e 上单调递增，第 17 页 共 40 页 所以 max1e2eg xg，当1x 时，2ln1101g，所以当1x，0g x，当x ，0g x，所以 g x的图形如图所示：由图可知，函数 f x恰有两个零点时，即ya与2lnxyx有两个不同的交点，此时102ea，故 A 不正确，选项 B，由选项 A，2ln12exg xx，当12ea 时，222lnlnln0 xa
33、axxxaxx，即 0f x 对任意0 x 恒成立，故 B 正确，选项 C，由函数 f x有两个零点12,x x，即12,x x为方程2ln0 xax的两根，即2222ln2ln2ln2xaxxaxxax，所以22112222ln2ln2xaxxax，令221122,txtx且12tt，则1122ln2ln2tattat，所以1212lnln2tttta，欲证12ex x，即证21 2et t，即证明12lnln2tt，只需证明 1212121212l2lnlnn2nltttttttttta，只需证明1212122lnlntttttt，第 18 页 共 40 页 即12112221ln1ttt
34、ttt，设121tmt，则121l,n1mmmm，令 121ln1mFmmxm，所以 22212111411mmFxmmmm 222221011411mmmm mm mm m，所以 F x在1,上为增函数，又 10F，所以 10F mF，综上所述，原不等式成立，故12ex x，故 C 正确，选项 D，当0a 时，lnf xx，则不等式 e1xf mxmx对0,x恒成立，即eln1xmxmxmxx，即elnxxmxmx，即elnelnxxmxmx，令 lnxxx，当0 x 时，x单调递增，所以 elnelnexxxmxmxmx，所以eexxxmmx 对任意0 x 恒成立，即求 exh xx在0,
35、上的最小值，由 22e1eexxxxxhxxx，当01x时，0h x，当在1x 时，0h x，所以 h x在0,1上单调递减，在1,上单调递增，第 19 页 共 40 页 所以 min1eh xh，由elnxxmxmx，得0mx，而0 x，所以0m，所以m的取值范围是：0,e，故选：BCD.三、填空题 25若1,1,2a，则与向量a反方向的单位向量的坐标为_.【答案】1 12,2 22【分析】先求出与向量a同向的单位向量，在反方向的单位向量即可.【详解】1,1,2a，2221122a 112,222aa 则与向量a反方向的单位向量的坐标为1 12,2 22.故答案为：1 12,2 22.26已
36、知抛物线22(0)ypx p，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为_【答案】=1x【详解】试题分析：由222122202422ypxypypyypppyx，准线=1x【解析】抛物线方程及性质 27已知数列 na满足*21nnnaaanN，且122,3aa，则2023a的值为_.【答案】2【分析】首先判断数列的周期，再根据周期求2023a.【详解】由题意得，3211aaa，4322aaa，5433aaa，6541aaa，第 20 页 共 40 页 7652aaa，8763aaa 数列na是周期为 6 的周期数列，6 330231
37、2712aaa.故答案为：2 28 已知直线1yx 与椭圆222210 xyabab相交于A，B两点，且OAOB（O为坐标原点），若椭圆的离心率13,22e，则a的最大值为_【答案】102【分析】将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，向量数量积的坐标运算，求得221211ae，由离心率的取值范围，即可求得a的最大值.【详解】解：设 1122,A x yB x y，由222211yxxyab ，消去 y，可得222222210abxa xab，则2221212222212,abaxxx xabab，由2222222410aaabb ，整理得221ab.12121212111y yxxx xxx.O
38、AOB（其中O为坐标原点），可得0OA OB，12120 x xy y，即1 212110 x xxx，化简得1212210 x xxx.222222212210abaabab .整理得222220aba b.222222bacaa e，代入上式，化简得221211ae，2211121ae.13,22e，平方得21344e，第 21 页 共 40 页 213144e，可得 241431 e，因此2227175215,3162aae，可得2a的最大值为52，满足条件221ab，当椭圆的离心率32e 时，a的最大值为102.故答案为：102.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，韦
39、达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题.29已知函数 3f xx，则过（1,1）的切线方程为_【答案】313244yxyx或【详解】由函数 3f xx，则 23fxx，当点 1,1为切点时，则 13f，即切线的斜率3k，所以切线的方程为131yx，即32yx，当点 1,1不是切点时，设切点3,P m m，则32131mkmm，即2210mm，解得12m 或1m（舍去），所以34k 所以切线的方程为3114yx，即3144yx.30已知函数 312(0)3mfxxxmmx是1,上的单调递增函数.当实数m取最大值时，若存在点P，使得过点P的直线与曲线 yf x围成两个封闭图形，且这
40、两个封闭图形的面积总相等，则点P的坐标为_.【答案】(0,3)【分析】求出函数的导数，利用导数研究函数的单调性，求出m的最大值，结合过点P的直线与曲线 yf x围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等，判断函数的对称性进行求解即可.【详解】由 3123mf xxxmx，得 222mfxxx，f x是1,上的增函数，0fx在1,上恒成立，第 22 页 共 40 页 即：2220mxx在1,上恒成立.设2xt，1,x，1,t，设2mytt，1,t，210myt ，函数2mytt 在1,单调递增，min3ym.min0y即30m，3m，又0m，03m.m的最大值为 3.故得 31323,00,
41、3fxxxxx .将函数 f x的图像向上平移 3 个长度单位，所得图像相应的函数解析式为：3132,00,3xxxxx，由于 xx，x为奇函数，故 x的图像关于原点对称，由此即得函数 f x的图像关于0,3P成中心对称.这表明存在点0,3P，使得过点P的直线与曲线 yf x围成两个封闭图形，且这两个封闭图形的面积总相等.故答案为：(0,3).31“牛顿迭代法”是牛顿在 17 世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r是 0f x 的根，选取0 x作为r初始近似值，过点 00,xf x作 yf x的切线,l l与x轴的交点横坐标为 010000fxxxfxfx，称1x是r的一次近似值；过点
42、11,xf x作 yf x的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为 121110f xxxfxfx，称2x是r的二次近似值；重复以上过程，第 23 页 共 40 页 得到r的近似值序列 nx为“牛顿数列”，即 1nnnnf xxxfx.已知函数 228f xx，数列 nx为“牛顿数列”，设2ln2nnnxax，且11,2nax.数列 na的前n项和nS _.【答案】21n#12n 【分析】求出()fx代入1nx计算，再计算1122nnxx得21122()22nnnnxxxx，左右两边同时取对数得到12nnaa，即na是等比数列，进而求得na的前 n项和nS.【详解】2()28f xx，()4fx
43、x，221()284()42nnnnnnnnnf xxxxxxfxxx，222212221422244(2)2()4244(2)222nnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxx 又2nx 211222lnln()2ln222nnnnnnxxxxxx 又2ln2nnnxax，12nnaa，又11a，na是首项为 1，公比为 2 的等比数列，na的前 n项和1(1)1 22111 2nnnnaqSq，故答案为：21n.32已知函数 22ln4ln28f xxa x xax存在三个零点1x、2x、3x，且满足123xxx，第 24 页 共 40 页 则2312123lnlnln222x
44、xxxxx 的值为_.【答案】16【分析】由 0f x 可得24lnln240axxaxx，令ln2xtx，可得出240tat，构造函数 ln2xg xx，其中0 x，利用导数分析函数 g x的单调性与极值，数形结合可知关于t的方程240tat有两个不等的实根1t、2t，设12tt，且有111ln2xtx，32223lnln22xxtxx，利用韦达定理可求得所求代数式的值.【详解】函数 f x的定义域为0,，由 0f x 可得24lnln240axxaxx，令ln2xtx，可得2242280tata，即240tat，构造函数 ln2xg xx，其中0 x，则 21 ln xgxx.当0ex时，
45、0gx，此时函数 g x单调递增，当ex时，0g x，此时函数 g x单调递减，当01x时，ln22xg xx，当1x 时，ln22xg xx，且 max1e2eg xg，作出函数 g x的图象如下图所示：若使得方程24lnln240axxaxx由三个不等的实根1x、2x、3x，且满足123xxx，则关于t的方程240tat有两个不等的实根1t、2t，设12tt，由韦达定理可得1 24t t，则121022ett，第 25 页 共 40 页 由图可知111ln2xtx，32223lnln22xxtxx，因此，223121 2123lnlnln22216xxxt txxx .故答案为：16.【点
46、睛】关键点点睛：本题考查利用函数的零点求代数式的值，解题的关键在于通过换元ln2xtx，通过分析函数 ln2xg xx的单调性，利用数形结合思想将问题转化为一元二次方程根与系数的关系进行求解.四、解答题 33已知圆 C 的方程为22(1)4xy.(1)直线 l1过点 P(3，1)，倾斜角为 45，且与圆 C交于 A，B 两点，求 AB的长；(2)求过点 P(3，1)且与圆 C相切的直线 l2的方程.【答案】(1)14(2)x=3 或34130 xy 【分析】（1）首先利用点斜式求出直线1l的方程，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用垂直定理、勾股定理计算可得；（2）依题意可得
47、点P在圆外，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当直线的斜率不存在直线得到直线方程，但直线的斜率存在时设直线方程为1(3)yk x，利用点到直线的距离公式得到方程，解得k，即可得解；【详解】（1）解：根据题意，直线1l的方程为11(3)yx ，即20 xy，则圆心1,0到直线1l的距离为12221 1d 故2212 22 4142ABd；（2）解：根据题意，点P在圆外，分两种情况讨论：当直线2l的斜率不存在时，过点3,1P的直线方程是3x，此时2l与圆 C：22(1)4xy相切，满足题意；第 26 页 共 40 页 当直线2l的斜率存在时，设直线方程为1(3)yk x，即310kxyk，直线
48、与圆相切时，圆心1,0到直线的距离为22121kk 解得34k 此时，直线2l的方程为34130 xy，所以满足条件的直线2l的方程是3x 或34130 xy.34已知数列 na的前n项和为nS，且22114426,4nnnnaSaaaS.(1)求数列 na的通项公式；(2)求数列13nna的前n项和nT.【答案】(1)132n(2)2nnTn 【分析】(1)根据na与nS的关系可得120nnaa，从而确定数列 na为等比数列，即可求通项公式；(2)根据错位相减法求和.【详解】（1）由21444nnnnaSaS得21444nnnnaaSS即2144nnnaaa，所以211222nnnnaaaa
49、，因为2126aa，所以322120,20,aaaa，即120nnaa，所以12nnaa，所以数列 na是以13a 为首项，2 为公比的等比数列，所以1113 2nnnaa q.（2）由（1）得11132nnnna，前n项和0121223242(1)2nnTn，1232223242(1)2nnTn，两式相减得11212(12)2222(1)22(1)212nnnnnTnn，第 27 页 共 40 页 即222(1)22nnnnTnn ，所以2nnTn.35已知四棱锥PABCD，底面 ABCD 为菱形，PDPB，H 为 PC 上的点，过 AH 的平面分别交PB，PD于点 M，N，且/BD平面 A
50、MHN (1)证明；MNPC；(2)若 H 为 PC的中点，3PAPCAB，PA 与平面 ABCD 所成的角为 60，求 AD 与平面 AMHN所成角的余弦值【答案】(1)证明见解析；(2)134.【分析】（1）令ACBDO，连接OP，利用线面平行的性质证得/MN BD，再由已知证得BD 平面PAC即可推理作答.（2）证明,OA OD OP两两垂直，再建立空间直角坐标系，借助空间向量求解作答.【详解】（1）连接 MN，令ACBDO，连接OP，如图，因/BD平面 AMHN，平面PBD平面AMHNMN，而BD平面PBD，则/MN BD，第 28 页 共 40 页 菱形ABCD中，ACBD，O 为