《江苏省苏州市常熟中学2022-2023学年高三上学期一月学业质量校内调研数学试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省苏州市常熟中学2022-2023学年高三上学期一月学业质量校内调研数学试题.docx（23页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、20222023学年度第一学期高三年级一月份学业质量校内调研数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解方程组，可得集合.【详解】解方程组可得或，故.故选：D.2. 已知复数，为虚数单位，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用复数除法运算求得，然后求得.【详解】，.故选：C3. “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“
2、1+1”问题它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩若将14拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】写出所有等式，计算基本事件的总数，再计算事件拆成的和式中，加数全部为素数所包含的基本事件，即可得到答案；【详解】，共有13个和式，其中加数全部为素数为，共3个基本事件，故选：A4. 黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的
3、个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先根据数字黑洞的定义求出，再利用三角化简得，平方即得解.【详解】解：根据“数字黑洞”的定义，任取数字2023，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即，平方得，.故选：D5. 设偶函数的定义域为，且满足，对于任意都有（） 成立，（1）不等式解集为 （2）不等式解集为 （3）不等式解集为（4）不等式解集为其中成立的是（ ）.A. （
4、1）与（3）B. （1）与（4）C. （2）与（3）D. （2）与 （4）【答案】A【解析】【分析】对于（1）（2）令得的单调性，分，两种情况解决.对于（3）（4）构造函数根据判断单调性，由求解即可.【详解】当时，则，在上为增函数，偶函数的定义域为，在上为减函数，当时，则，当时，（1）正确，（2）错误设则，是偶函数，且在上为增函数，不等式，或不等式解集为，（3）正确，（4）错误，故选：A6. 已知双曲线的离心率为，过左焦点且与实轴垂直的弦长为1，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点P为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【
5、解析】【分析】根据题意求出的值，则双曲线方程为，则，设，列出有关的表达式，再根据渐近线方程即可解得其的取值范围.【详解】根据题意知：，故，双曲线方程为，则，设，则，根据渐近线方程知：，即，两边同时倒数可得：，故故选：C7. 已知三棱台中，三棱锥的体积为4，三棱锥的体积为8，则该三棱台的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设，棱台高为，由已知得，根据棱台的体积公式可得三棱台的体积【详解】设，棱台高为，由已知，得，得，三棱台的体积为，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查了三棱台、三棱锥的体积的求法，解题的关键点是利用底面积与高的转化8. ，则（ ）A. B. C. D.
6、 【答案】C【解析】【分析】先构造函数，通过求导判断单调性，比较出b和c的大小；再找中间值和，通过构造函数，证明，判断，构造函数，通过单调性判断，于是证明，即可求得a、b、c的大小关系.【详解】令则，显然即单调递减，所以，即，.令则，即在上单调递增所以，即，所以令则当时，即在上单调递增又，所以当时，所以，即即，又，所以，即.综上：.故选：C.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上9. 已知函数 在区间上有且仅有个零点，则（ ）A. 在区间上
7、有且仅有个对称轴B. 的最小正周期可能是C. 的取值范围是D. 在区间上单调减【答案】BD【解析】【分析】根据题意求出的范围，然后再一一求解.【详解】因为且所以又因为函数 在区间上有且仅有个零点，所以满足，即，所以C不正确，A不正确；的最小正周期为，所以B正确；因为且所以，又因为，即所以在区间上单调减，即D正确.故选：BD.10. 甲袋中装有4个白球，2个红球和2个黑球，乙袋中装有3个白球，3个红球和2个黑球先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球用，分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用B表示乙袋取出的球是白球，则（ ）A. ，两两互斥B. C. 与B是相互独立事件D. 【
8、答案】AB【解析】【分析】对于A，由互斥事件的定义判断，对于B，由条件概率的公式求解即可，对于C，由独立事件的定义判断，对于D，由求解【详解】对于A，由题意可知，不可能同时发生，所以，两两互斥，所以A正确，对于B，由题意可得，所以，所以B正确，对于C，因为，所以，所以与B不是相互独立事件，所以C错误，对于D，由C选项可知D是错误的，故选：AB11. 双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数和双曲余弦函数下列结论正确的是（ ）A. B. C. 若与双曲余弦函数和双曲正弦函数共有三个交点，分别为，则D. 是一个偶函数，且
9、存在最小值【答案】ABD【解析】【分析】利用指数的运算、指数函数图像以及双曲正弦、余弦函数的定义可判断各选项的正误.【详解】对于A选项，设，当时，函数单调递减；当时，函数单调递增；所以，所以，A选项正确；对于B选项，B选项正确；对于D选项，是一个偶函数且在为减函数，为增函数，所以时取最小值1，D选项正确.对于C选项，函数单调递增，且值域R，若与双曲余弦函数和双曲正弦函数共有三个交点，则,由双曲余弦函数为偶函数得，由得，所以，C选项错误.故选：ABD.12. 如图，已知A，B是相互垂直的两条异面直线，直线AB与a，b均相互垂直，垂足分别为A，B，且，动点P，Q分别位于直线A，B上，且P异于A，Q
10、异于B.若直线PQ与AB所成的角，线段PQ的中点为M，下列说法正确的是（ ）A. PQ的长度为定值B. 三棱锥的外接球的半径长为定值C. 三棱锥的体积为定值D. 点M到AB的距离为定值【答案】ABD【解析】【分析】根据题意，将图形还原为长方体，进而根据题意求出，进而判断A，B；根据，进而判断C；设交于R，则R为CQ的中点，取AB的中点N，然后证明四边形RBNM是平行四边形，进而证明，最后求得答案.【详解】如图，将图形还原为长方体，因为，所以（易知其为锐角）是PQ与AB所成的角，即，易知，则.A正确；对B，易知三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，则其直径为4，半径为2.B正确；对C，不为定值.C
11、错误；对D，设交于R，则R为CQ的中点，连接MR，取AB的中点N，连接MN，又因为M为PQ的中点，所以，而，故，所以四边形RBNM是平行四边形，则，因为，则.因为AB平面BCDQ，平面BCDQ，所以，则，所以点M到AB的距离为1.D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，若两个空，第一个空2分，第二个空3分，共计20分请把答案填写在答题卡相应位置上13. 设随机变量，若，则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据二项分布的性质和题意可得，解一元二次不等式即可.【详解】由题意知，则，由，得，整理，得，解得，故答案为：14. 的展开式中所有有理项的系数之和为_.【答案】【解析
12、】【分析】先根据二项式展开式通项，找出有理项，再计算有理项的系数之和.【详解】由二项式定理，可得的展开式通项为，当，即时，为有理项，所以所有有理项的系数之和为.故答案为：.15. 已知是平面向量，与是单位向量，且，若，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定的最小值.【详解】如下图所示，设 且 点B在以F为圆心，DE为直径的圆上又 当点B为圆F和线段FA的交点的时候，最短故答案为：16. 设为抛物线的焦点，、为抛物线上不同三点，且，为坐标原点，若、的面积分别为、，则_.【答案】3【解析】【分析】确定抛物线的焦点的坐标，结合图
13、形分别求解、，可得，利用点是的重心，即可求得结论.【详解】解：如图，连接设、三点的坐标分别为,，,，,，则抛物线的焦点的坐标为，点是的重心故答案为：3四、解答题：本大题共6小题，共计70分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c若（1）求的值；（2）若，求cosB的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用数量积定义式，整理等式，利用余弦定理以及正弦定理，可得答案；（2）根据余弦定理整理等式，求得，利用同角平方式，结合诱导公式以及余弦和角公式，可得答案.【小问1详解】由，则，设，则，根据余弦定理，可得，化
14、简可得，根据正弦定理可得：，则.【小问2详解】由，根据余弦定理，可得，整理可得，则，由，则，由，则，根据正弦定理，可得，即，故，.18. 记为数列的前项和，已知，且数列是等差数列.（1）证明：是等比数列，并求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析； （2）.【解析】【分析】（1）由题可得，然后根据项与前项和的关系可得，再根据等比数列的定义即得；（2）由题可得，然后利用分组求和法及求和公式即得.【小问1详解】，设，则，又数列为等差数列，当时，又，即：，又，是以1为首项，为公比的等比数列，即；【小问2详解】，且，.19. 某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了100位市
15、民进行调查结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占（1）请根据以上数据填写下面列联表，并依据小概率值的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意度与是否为上班族存关联？满意不满意合计上班族非上班族合计（2）为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查规定：抽样的次数不超过，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到时，抽样结束若，写出的分布列和数学期望；请写出的数学期望的表达式（不需证明）附：0.
16、10.050.010.00500012.7063.8416.6357.87910.828参考公式：，其中【答案】（1）填表见解析；认为市民对交通的满意度与是否上班有关 （2） 分布列见解析；期望；【解析】分析】(1)根据题意完成列联表，进而利用公式计算可得，查表分析可得结果；(2) （i）由（1）可知市民的满意度和不满意度均为，计算可得的分布列和数学期望；（ii）由（i）可得.【小问1详解】由题意可知满意不满意合计上班族154055非上班族351045合计5050100零假设为：市民对交通的满意度与是否上班独立，因为；根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班
17、有关，此推断犯错误的概率不大于0.001【小问2详解】（i）当时，的取值为1，2，3，4，5，由（1）可知市民的满意度和不满意度均为；所以，所以的分布列为12345P所以；（ii）20. 如图，在梯形中，将沿边翻折，使点翻折到点，且（1）证明：平面（2）若为线段的中点，求二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明平面；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求二面角的余弦值【小问1详解】等腰梯形中，则则，又由，可知又，面，面故面【小问2详解】过点C作平面，以C为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系则，则，设面法向量为则，则，令，则，则又面
18、一个法向量为故二面角的余弦值为21. 椭圆C：（）的左右焦点分别为，上顶点为A，且，（1）求C的方程；（2）若椭圆E：（且），则称E为C的倍相似椭圆，如图，已知E是C的3倍相似椭圆，直线l：与两椭圆C，E交于4点（依次为M，N，P，Q，如图）且，证明：点T（k，m）在定曲线上【答案】（1） （2）证明见解析【解析】【分析】对于（1），设，其中.由可得，结合，可得.对于（2），分别将l：与两椭圆方程联立，设，注意到，结合题目条件得，后可证明结论.【小问1详解】设，其中.由题意知半焦距，因为，所以，所以，所以C的方程为【小问2详解】证明：椭圆C的3倍相似椭圆E的方程为，即联立l与C的方程，得，消去
19、y并整理，得，则，即，设，由韦达定理有：，所以联立l与E的方程，得，消去y并整理，得，则，即，设，由韦达定理有：，所以，注意到，.所以线段NP，MQ的中点相同，所以又，得.又，所以，即，化简，得满足，所以，即点T（k，m）在定双曲线上【点睛】关键点点睛：本题涉及求椭圆方程，及结合椭圆中的新定义解题.（1）问较为基础，解决（2）关键为发现线段NP，MQ的中点相同，继而得到，后由韦达定理可得结论.22. 已知函数，.（1）讨论的单调性；（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减 （2）【解析】【分析】（1）求出导函数，利用的范围，判断导函数的符号，推出函
20、数的单调区间即可.（2）不等式等价于在上恒成立，构造函数，通过函数的导数，利用二次函数的性质，说明极值点一正一负，设函数，利用导函数，结合函数的单调性，转化求解的范围即可.【小问1详解】解：（1）因为的定义域为，且.若，则，所以在上单调递增.若，令，得.当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】（2）不等式在上恒成立等价于在上恒成立，令，则.对于函数，所以其必有两个零点.又两个零点之积为-1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点，则，即.此时在上单调递增，在上单调递减，故，即.设函数，则.当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增.又，所以.由在上单调递增，得.故的取值范围为.