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1、第 1 页 共 20 页 2023 届江苏省苏州市常熟中学高三上学期一月学业质量校内调研数学试题 一、单选题 1已知集合2,Ax y yx，,2Bx yyx，则AB（）A 1,4 B0,C1,2 D 1,1,2,4【答案】D【分析】解方程组22yxyx，可得集合AB.【详解】解方程组22yxyx可得11xy 或24xy，故 1,1,2,4AB.故选：D.2已知复数26i1 iz，i为虚数单位，则z（）A2 2 B2 3 C2 5 D2 6【答案】C【分析】利用复数除法运算求得z，然后求得z.【详解】26i1 i26i1 i1 3i1 i24i1 i1 i2z ，4 162 5z.故选：C 3“
2、哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：任意一个大于 2 的偶数都可以写成两个素数（质数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题它是 1742 年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中都取得了相当好的成绩若将 14 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为素数的概率为（）A313 B513 C27 D37【答案】A【分析】写出所有的等式，计算基本事件的总数，再计算事件拆成的和式中，加数全部为素数所包含的基本事件，即可得到答案；第 2 页 共 20 页【详解】141 132 1213 1，共有 13 个和式，其中加数全部为素数为77,311,1
3、13，共 3 个基本事件，313P，故选：A 4黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为 a，若1cos43a，则sin2（）A79 B29 C29 D79【答案】D【分析】先根据数字黑洞的定义求出123a，再利用三角化简得2sincos3，平方即得解.【详解】解：根据“数字黑洞”的定义，任取数字 2023，经过一步之后为
4、 314，经过第二步之后为 123，再变为 123，再变为 123，所以数字黑洞为 123，即123a，12332coscoscossin4442a21cos23，2sincos3，平方得21 2sincos1 sin29，7sin29.故选：D 5设偶函数()f x的定义域为(,0)(0,)，且满足 20f，对于任意1212,0,x xxx都有 222112210nnxf xxf xxx（Nn）成立，（1）不等式210fxx解集为13,022 （2）不等式210fxx解集为131,222 （3）不等式 20220f xx解集为,22,第 3 页 共 20 页（4）不等式 20220f xx解
5、集为 2,00,2 其中成立的是（）.A（1）与（3）B（1）与（4）C（2）与（3）D（2）与（4）【答案】A【分析】对于（1）（2）令0n 得 f x的单调性，分0 x，0 x 两种情况解决.对于（3）（4）构造函数 2022,f xg xx根据 222112210nnxf xxf xxx判断单调性，由 202202f xgxgx求解即可.【详解】当0n 时，则 22211212211200nnxf xxf xf xf xxxxx，yf x在0,上为增函数，偶函数 f x的定义域为,00,，yf x在,0上为减函数，当0 x 时，则 2102102,fxfxfx1212,2xx，当0 x
6、时，2102102,fxfxfx 310212,22xx ，（1）正确，（2）错误 设 2022,f xg xx则 1220222022202220221221121220222022121212120f xf xg xg xxf xxf xxxxxxxxxxx，2022fxg xx是偶函数，且在0,上为增函数，20f 不等式 202202f xg xgx，2,2xx 或2x 不等式 20220f xx解集为,22,，（3）正确，（4）错误，故选：A 6已知双曲线222210,0 xyabab的离心率为52，过左焦点且与实轴垂直的弦长为 1，A、B分别是双曲线的左、右顶点，点 P 为双曲线右支
7、上位于第一象限的动点，PA，PB的斜率分别为1k，2k，则12kk的取值范围是（）第 4 页 共 20 页 A1,3 B1,2 C1,D2,【答案】C【分析】根据题意求出,a b的值，则双曲线方程为2214xy，则2,0A，2,0B，设00(,)P xy，列出12kk有关00,xy的表达式，再根据渐近线方程即可解得其12kk的取值范围.【详解】根据题意知：52ca，221ba，故2a，1b，双曲线方程为2214xy，则2,0A，2,0B，设00(,)P xy，则220014xy，00 x，00y，00000201020022242yyx yxxxxkky，根据渐近线方程知：00102yx，即0
8、0201yx，两边同时倒数可得：0012xy，故012012xkky 故选：C 7已知三棱台111ABCABC中，三棱锥111AA BC的体积为 4，三棱锥1AABC的体积为 8，则该三棱台的体积为（）A123 3 B124 2 C124 3 D124 7【答案】B【分析】设1 1112,ABCA B CSSSS，棱台高为h，由已知得212Sh，124Sh，根据棱台的体积公式可得三棱台的体积V【详解】设1 1112,ABCA B CSSSS，棱台高为h，由已知1 1 12143A A B CVS h，得212Sh，11183AABCVS h，得124Sh，三棱台111ABCABC的体积为221
9、1212241224121134 23Vh ShhhhSS S，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查了三棱台、三棱锥的体积的求法，解题的关键点是利用底面积与高的转化 第 5 页 共 20 页 80.2ea，7log 8b，6log 7c，则（）Aabc Bbac Cacb Dcab【答案】C【分析】先构造函数ln(1)()lnxf xx，通过求导判断单调性，比较出 b和 c的大小；再找中间值65和76，通过构造函数()e1xg xx，证明e1xx，判断0.265e，构造函数ln()6ln6xxh x，通过单调性判断67log 76，于是证明ca，即可求得 a、b、c的大小关系.【详解】令ln
10、(1)()lnxf xx(0)x 则2ln(1)ln(1)()(1)lnxxxxfxx xx，显然()0fx 即()f x单调递减，所以ln7ln8ln6ln7，即67log 7log 8，cb.令()e1xg xx(0)x 则()e10 xg x，即()g x在0,)上单调递增 所以()(0)0g xg，即e1xx，所以0.260.215 e 令ln()6ln6xxh x 则11()6ln6h xx 当()0h x时，6ln6x，即()h x在6(,)ln6上单调递增 又(6)0h，所以当6x 时，()(6)0h xh 所以(7)(6)0hh，即7ln706ln6 即67log 76，又76
11、65，所以0.2676log 765e，即ca.综上：acb.故选：C.二、多选题 第 6 页 共 20 页 9已知函数 2sin03fxx在区间0,上有且仅有3个零点，则（）A f x在区间0,上有且仅有3个对称轴 B f x的最小正周期可能是34 C的取值范围是7 10,)33 D f x在区间0,4上单调减【答案】BD【分析】根据题意求出的范围，然后再一一求解.【详解】因为0,x且0 所以222,333x 又因为函数 2sin03fxx在区间0,上有且仅有3个零点，所以满足23,43，即7 10,33，所以 C 不正确，A 不正确；f x的最小正周期为23 6,57，所以 B 正确；因为
12、0,4x且0 所以222,3343x，又因为7 10,33，即23432 所以 f x在区间0,4上单调减，即 D 正确.故选：BD.10甲袋中装有 4 个白球，2 个红球和 2 个黑球，乙袋中装有 3 个白球，3 个红球和 2 个黑球先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球用1A，2A，3A分别表示甲袋取出的球是白球、红球和黑球，用 B表示乙袋取出的球是白球，则（）A1A，2A，3A两两互斥 B213P B A C3A与 B 是相互独立事件 D 13P B 【答案】AB【分析】对于 A，由互斥事件的定义判断，对于 B，由条件概率的公式求解即可，对于 C，由独立事件的定义判断，对
13、于 D，由123()()()()P BP ABP A BP A B求解【详解】对于 A，由题意可知1A，2A，3A不可能同时发生，所以1A，2A，3A两两互斥，所以 A 正确，第 7 页 共 20 页 对于 B，由题意可得2221131(),()844912P AP A B，所以2221()1121()34P A BP B AP A，所以 B 正确，对于 C，因为321()84P A，3131()4912P A B，1234413137()()()()89494918P BP ABP A BP A B，所以33()()()P A BP A P B，所以3A与 B不是相互独立事件，所以 C 错误
14、，对于 D，由 C 选项可知 D 是错误的，故选：AB 11双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数eesinh2xxx和双曲余弦函数eecosh2xxx下列结论正确的是（）Acoshsinh1xxx Bsinhsinh coshcosh sinhxyxyxy C若ym与双曲余弦函数1C和双曲正弦函数2C共有三个交点，分别为123,x xx，则12312xxx Dcoshyx是一个偶函数，且存在最小值【答案】ABD【分析】利用指数的运算、指数函数图像以及双曲正弦、余弦函数的定义可判断各选项的正误.【详解】对于 A 选
15、项，coshsienhxxx，设 e1xg xx，e1xgx，当0 x 时，0gx，函数 g x单调递减；当0 x 时，0gx，函数 g x单调递增；所以 00g xg，所以coshsinhe1xxxx，A 选项正确；对于 B 选项，sinhcoshcoshsineeeeheeee4xxyyxxyyxyxy eeeeeeeeee42sinhx yx yy xx yx yx yy xx yx yx yxy ，B 选项正确；对于 D 选项，coshyx是一个偶函数且在,0为减函数，0,为增函数，所以0 x 时取最小值 1，D 选项正确.第 8 页 共 20 页 对于 C 选项，函数eesinh2x
16、xx单调递增，且值域为 R，若ym与双曲余弦函数1C和双曲正弦函数2C共有三个交点，则1m,由双曲余弦函数1C为偶函数得120 xx，由ee12xx得3ln(12)x，所以123ln(12)xxx，C 选项错误.故选：ABD.12如图，已知 A，B 是相互垂直的两条异面直线，直线 AB 与 a，b 均相互垂直，垂足分别为 A，B，且2 3AB，动点 P，Q分别位于直线 A，B上，且 P异于 A，Q异于 B.若直线 PQ与 AB 所成的角6，线段 PQ 的中点为 M，下列说法正确的是（）APQ的长度为定值 B三棱锥ABPQ的外接球的半径长为定值 C三棱锥ABPQ的体积为定值 D点 M到 AB 的
17、距离为定值【答案】ABD【分析】根据题意，将图形还原为长方体，进而根据题意求出,PE PQ，进而判断 A，B；根据A BPQPABQVV，进而判断 C；设,BD CQ交于 R，则 R为 CQ的中点，取 AB 的中点 N，然后证明四边形 RBNM是平行四边形，进而证明MNAB，最后求得答案.【详解】如图，将图形还原为长方体APFEBCDQ，第 9 页 共 20 页 因为/ABEQ，所以PQE（易知其为锐角）是PQ与AB所成的角，即6PQE，易知2 3ABEQ，则2,4PEPQ.A 正确；对 B，易知三棱锥ABPQ的外接球与长方体APFEBCDQ的外接球相同，则其直径为 4，半径为2.B 正确；对
18、 C，1113=2 33323A BPQP ABQABQVVSPABQPABQPA 33BQCB，不为定值.C 错误；对 D，设,BD CQ交于 R，则 R为 CQ 的中点，连接 MR，取 AB 的中点 N，连接 MN，又因为 M为PQ 的中点，所以1/,2MRPC MRPC，而1/,2NBPC NBPC，故/,MRNB MRNB，所以四边形 RBNM 是平行四边形，则/,MNRB MNRB，因为2CQPE，则112MNRBCQ.因为 AB平面 BCDQ，RB 平面 BCDQ，所以RBAB，则MNAB，所以点 M 到 AB 的距离为1.D 正确.故选：ABD.三、填空题 13设随机变量(18,
19、)XBp，若()4D X，则p的取值范围为_【答案】1 2,3 3【分析】根据二项分布的性质和题意可得()18(1)4D Xpp，解一元二次不等式即可.【详解】由题意知，(18,)XBp，则()(1)18(1)D XnpPpp，由()4D X，得18(1)4pp，整理，得29920pp，解得1233p，故答案为：1 23 3，1451x 的展开式中所有有理项的系数之和为_.【答案】16【分析】先根据二项式展开式通项，找出有理项，再计算有理项的系数之和.【详解】由二项式定理，可得51x 的展开式通项为 515C1,0,1,2,3,4,5rrrrTxr，当第 10 页 共 20 页 50,2,4r
20、，即5,3,1r 时，1rT为有理项，所以所有有理项的系数之和为 535315551C1C1C1 10516 .故答案为：16.15已知,a b c是平面向量，a与c是单位向量，且,2a c，若28150bb c，则ab的最小值为_【答案】171【分析】把条件的二次方程分解成两个向量的积，得到这两个向量互相垂直，结合图形确定ab的最小值.【详解】如下图所示，设35OAaOBbOCcODcOEc，28150 bb c 且1ac 228150 bb cc 350bcbc 35bcbc 35DBbc EBbc，点 B 在以 F 为圆心，DE为直径的圆上 又BAab 当点 B为圆 F和线段 FA 的交
21、点的时候，BAab最短 22411171 ab 故答案为：171 第 11 页 共 20 页 16设F为抛物线24xy 的焦点，P、Q、R为抛物线上不同三点，且0FPFQFR，O为坐标原点，若OFP、OFQ、OFR的面积分别为1S、2S、3S，则222123SSS_.【答案】3【分析】确定抛物线24xy 的焦点F的坐标，结合图形分别求解1S、2S、3S，可得222123SSS，利用点F是PQR的重心，即可求得结论.【详解】解：如图，连接,OP OQ OR PF QF RF 设P、Q、R三点的坐标分别为1(x,1)y，2(x,2)y，3(x,3)y，则2221122334,4,4xy xyxy
22、抛物线24xy 的焦点F的坐标为(0,1)，1111122OFPSSOFxx，2221122OFQSSOFxx，3331122OFRSSOFxx，22222212312312314SSSxxxyyy，0FPFQFR，点F是PQR的重心 12333Fyyyy 2221233SSS 故答案为：3 第 12 页 共 20 页 四、解答题 17已知ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c若2BC BAAC ABCA CB(1)求sinsinAC的值；(2)若2cos2aCbc，求 cosB 的值【答案】(1)2(2)3 2108 【分析】（1）利用数量积定义式，整理等式，利用余弦定理以及正弦
23、定理，可得答案；（2）根据余弦定理整理等式，求得cos A，利用同角平方式，结合诱导公式以及余弦和角公式，可得答案.【详解】（1）由2BC BAAC ABCA CB，则cos2coscosBCBABACABACA CBC，设,ABc ACb BCa，则cos2coscosacBbcAbaC，根据余弦定理，可得2222222222222acbbcaabcacbcabacbcab，化简可得22ca，根据正弦定理可得：2sin2sinCA，则sin2sinAC.（2）由2cos2aCbc，根据余弦定理，可得222222abcabcab，整理可得222bcabc，则2221cos22bcaAbc，23
24、sin1cos2AA，由sin2sinAC，则6sin4C，由3624，则sinsinAC，根据正弦定理，可得ac，即AC，故210cos1 sin4CC，coscoscoscossinsinBACACAC 110363 21024248.18记nS为数列 na的前n项和，已知11a，223a，且数列423nnnSna是等差数列.(1)证明：nan是等比数列，并求 na的通项公式；(2)设13,nnnna nbnna为奇数为偶数，求数列 nb的前2n项和2nT.【答案】(1)证明见解析；13nnna；(2)2122338nnTn.第 13 页 共 20 页【分析】（1）由题可得4239nnnS
25、nan，然后根据项与前n项和的关系可得1632101nnnanann，再根据等比数列的定义即得；（2）由题可得1,3,nnn nbn为奇数为偶数，然后利用分组求和法及求和公式即得.【详解】（1）11a，223a，11S，253S，设423nnncnSna，则19c，218c，又数列 nc为等差数列，9ncn，4239nnnSnan，2349nnnaSn，当2n时，1121491nnnaSn，12321401nnnnanaann，1632101nnnanann，又210n，1301nnaann，即：1131nnaann，又1101a，nan是以 1 为首项，13为公比的等比数列，113nnan，
26、即13nnna；（2）13,nnnna nbnna为奇数为偶数，且13nnna，1,3,nnn nbn为奇数为偶数，132121 321333nnTn 第 14 页 共 20 页 221223 1 93 311213321 988nnnnnnn，2122338nnTn.19某机构为了解市民对交通的满意度，随机抽取了 100 位市民进行调查结果如下：回答“满意”的人数占总人数的一半，在回答“满意”的人中，“上班族”的人数是“非上班族”人数的37；在回答“不满意”的人中，“非上班族”占15(1)请根据以上数据填写下面2 2列联表，并依据小概率值0.001的独立性检验，分析能否认为市民对于交通的满意
27、度与是否为上班族存关联？满意 不满意 合计 上班族 非上班族 合计 (2)为了改善市民对交通状况的满意度，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查规定：抽样的次数不超过n nN，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到n时，抽样结束 若5n，写出5X的分布列和数学期望；请写出nX的数学期望的表达式（不需证明）附：0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 0 x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：22n adbcabcdacbd，其中nabcd 【答案】(1)填表见解析；认为市
28、民对交通的满意度与是否上班有关(2)分布列见解析；期望为3116；1122nnEX 第 15 页 共 20 页 【分析】(1)根据题意完成列联表，进而利用公式计算可得2，查表分析可得结果；(2)（i）由（1）可知市民的满意度和不满意度均为12，计算可得5X的分布列和数学期望；（ii）由（i）可得11()22nnE X.【详解】（1）由题意可知 满意 不满意 合计 上班族 15 40 55 非上班族 35 10 45 合计 50 50 100 零假设为0H：市民对交通的满意度与是否上班独立，因为2210015 103540250025.25310.8285050554599；根据小概率值0.00
29、1的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为市民对交通的满意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于 0.001（2）（i）当5n 时，5X的取值为 1，2，3，4，5，由（1）可知市民的满意度和不满意度均为12；所以5112P X，52122P X，53132P X，54142P X，54152P X，所以5X的分布列为 5X 1 2 3 4 5 P 12 212 312 412 412 所以523441111131123452222216E X ；（ii）23111111111()12312222222nnnnE Xnn 20如图，在梯形ABCD中，ABCD，2ADDCBC，60ABC，将
30、ACD沿边AC翻折，第 16 页 共 20 页 使点D翻折到P点，且2 2PB (1)证明：BC平面PAC(2)若E为线段PC的中点，求二面角EABC的余弦值【答案】(1)证明见解析(2)39331 【分析】（1）利用线面垂直判定定理去证明BC平面PAC；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法去求二面角EABC的余弦值【详解】（1）等腰梯形ABCD中，ADBCCD，ABCD，60ABC，则30CABACDDAC 则90ACB，ACBC 又由222BCPCBP，可知BCPC 又PCACC，AC面PAC，PC面PAC 故BC面PAC（2）过点 C作CN 平面ABC，以 C为原点，分别以CACBCN、
31、所在直线为xyz、轴建立空间直角坐标系 则0,0,0C，0,2,0B，2 3,0,0A，31,0,22E，则2 3,2,0AB ，313,0,22EA 设面EAB法向量为(,)mx y z 第 17 页 共 20 页 则00m ABm EA，则2 320313022xyxz，令1x，则3y，3 3z=，则1,3,3 3m 又面ABC一个法向量为0,0,1n 3 33cos,933111 327m n 故二面角EABC的余弦值为39331 21椭圆 C：22221xyab（0ab）的左右焦点分别为1F，2F，上顶点为 A，且122FF，1260AF F (1)求 C 的方程；(2)若椭圆 E：2
32、222xyab（0且1），则称 E为 C 的倍相似椭圆，如图，已知 E 是 C的 3 倍相似椭圆，直线 l：ykxm与两椭圆 C，E交于 4 点（依次为 M，N，P，Q，如图）且MNNP，证明：点 T（k，m）在定曲线上【答案】(1)22143xy(2)证明见解析 【分析】对于（1），设12,0(,0)FcF c，其中222abc.由122FF 可得1c，结合1260AF F，可得2a.对于（2），分别将 l：ykxm与两椭圆方程联立，设11N x y,，22,P xy，33,M x y，44,Q xy，注意到1234xxxx，结合题目条件得3MQNP，后可证明结论.【详解】（1）设12,0(
33、,0)FcF c，其中222abc.由题意知半焦距11cOF，因为1260AF F，第 18 页 共 20 页 所以112cos60OFaAF，所以2213ba，所以 C的方程为22143xy（2）证明：椭圆 C 的 3 倍相似椭圆 E的方程为22343xy，即221129xy 联立 l与 C 的方程，得22143xyykxm，消去 y 并整理，得2223484120kxkmxm，则22221644 344120k mkm，即2243km，设11N x y,，22,P xy，由韦达定理有：122834kmxxk，212241234mx xk，所以222221212122224 41284 3
34、434343434mkmkmxxxxx xkkk 联立 l与 E 的方程，得221129xyykxm，消去 y 并整理，得2223484360kxkmxm，则22222644 344360k mkm，即22129km，设33,M x y，44,Q xy，由韦达定理有：342834kmxxk，234243634mx xk，所以222223434342224 43684 3 1294343434mkmkmxxxxx xkkk，注意到1234xxxx，1212343422yyk xxmk xxmyy.所以线段 NP，MQ的中点相同，所以MNPQ又MNNP，得3MQNP.又22223434341MQx
35、xkxxkxx，22221212121NPxxkxxkxx 所以34123xxxx，即2222224 3 1294 3 4333434kmkmkk ，化简，得224129mk满足2243km，所以2244193mk，即点 T（k，m）在定双曲线2244193yx上【点睛】关键点点睛：本题涉及求椭圆方程，及结合椭圆中的新定义解题.（1）问较为基础，解决（2）关键为发现线段 NP，MQ 的中点相同，继而得到34123xxxx，第 19 页 共 20 页 后由韦达定理可得结论.22已知函数 1lnf xaxx，Ra.(1)讨论 f x的单调性；(2)若关于x的不等式 2f xxe在0,上恒成立，求a
36、的取值范围.【答案】(1)f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减(2)11e,eee 【分析】（1）求出导函数，利用a的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可.（2）不等式 2f xxe等价于12ln0axxxe在0,上恒成立，构造函数，通过函数的导数，利用二次函数的性质，说明极值点一正一负，设函数 12lngaxxxex，利用导函数，结合函数的单调性，转化求解a的范围即可.【详解】（1）解：（1）因为 1lnf xaxx的定义域为0,，且 2211aaxfxxxx.若0a，则0fx，所以 f x在0,上单调递增.若a0，令 0fx，得1xa.当10,xa时，0fx；当1,xa
37、 时，0fx.所以 f x在10,a上单调递增，在1,a上单调递减.（2）（2）不等式 2f xxe在0,上恒成立等价于12ln0axxxe在0,上恒成立，令 12lngaxxxex，则 222111axaxgxxxx .对于函数21yxax，240=a，所以其必有两个零点.又两个零点之积为-1，所以两个零点一正一负，设其中一个零点00,x，则20010 xax，即001axx.此时 g x在00,x上单调递增，在0,x 上单调递减，第 20 页 共 20 页 故 00g x，即00000112ln0exxxxx.设函数 112lneh xxxxxx，则 222211111ln111lnhxxxxxxx .当0,1x时，0h x；当1,x时，0h x.所以 h x在0,1上单调递减，在1,上单调递增.又 1e0ehh，所以01,eex.由001axx在1,ee上单调递增，得11e,eeea.故a的取值范围为11e,eee.