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1、北方工业大学北方工业大学20132013 年春季学期年春季学期开课学院：开课学院：理学院理学院考试方式：考试方式：闭卷闭卷序号概率论与数理统计概率论与数理统计 II II课程试卷答案及评分标准课程试卷答案及评分标准A A 卷卷考试时间：考试时间：120120 分钟分钟班级班级姓名姓名学号学号题题 号号得得 分分阅卷人阅卷人装一一二二三三四四五五六六七七八八总总 分分注意事项：最后一页可以撕下作稿纸，但不能把试卷撕散，撕散试卷作废。一、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）21.设随机变量X服从正态分布N1,1，Y服从正态分布N2,2，且2P|X 1|1 P|Y 2|1,则(C)（A）12订（
2、C）12（B）12（D）122.随机变量X X N N(0 0,1 1),),Y Y N N(1 1,4 4)且相关系数 XYXY 1 1则（D）Y Y 2 2X X 1 1 1 1（B）P P Y Y 2 2X X 1 1 1 1（A）P P Y Y 2 2X X 1 1 1 1（D）P P Y Y 2 2X X 1 1 1 1（C）P P 3.设在一次试验中事件A发生的概率为p,现重复进行n次独立试验,则事件A 至多发生一次的概率为(D)A.1 pn线B.pnC.1(1 p)nD.(1 p)np(1 p)nn14.（1313）设随机变量）设随机变量X,Y的概率分布为：的概率分布为：YX0
3、00 01 10.40.4a1 1b0.10.1已知随机事件已知随机事件X 0与与X Y 1相互独立，则（相互独立，则（B B）（A）a 0.2,b 0.3（B）a 0.4,b 0.1（C）a 0.3,b 0.2.（D）a 0.1,b 0.45.设两个随机变量X和Y的标准差分别为 3 和 2，且它们的相关系数为 0.1，则随机变量4X 3Y的方差是(C)（A）36（B）144.6（C）165.6（D）180二、填空题（每空 3 分，共 15 分）1.设事件A,B至少发生一个的概率为0.7，且P(A)+P(B)=1.2，则A,B至少有一个不发生的概率为_ 0.5_.2.某人投篮命中率为4 45
4、5，直到投中为止，所用投球数为 4 的概率为4/625。3.随机地从区间(0,1)中任取两个数 x 和 y，则|x-y|大于 0.5 的概率是1/4。4.已知X N(3,1),Y N(2,1)，且X,Y相互独立，记Z X 2Y 7,则Z N(0,5)。5.随机变量X X服从参数为 1 的泊松分布，则PX DX=e。1三、计算题(共 5 小题，前 4 小题每题 15 分，最后 1 题 10 分，共 70 分)1、某人下午 6：00 下班，他所累积资料表明：到家时间乘地铁到家的概率乘汽车到家的概率6:356:390.100.306:406:440.250.356:456:490.450.206:5
5、06:540.150.10迟于 6:540.050.05某日他抛一枚均匀硬币决定乘地铁还是乘汽车，结果他是 6:42 到家的。试求他是乘汽车回家的概率？解：设“抛掷一枚均匀硬币出国徽一面乘汽车”记为事件A，那么出另一面就乘地铁记为事件A，他是 6:42 到家的记为事件B，则：PA P A 1，PB A 0.35，P B A 0.252PAPB A0.50.357PAB 0.58330.50.35 0.50.2512PAPB A P A P B A 2、设随机变量 X 的概率密度为1ax,1 x 0,f(x)1 x,0 x 1,0,其他.试求:(1)常数 a；(2)P0 X 2;(3)Y=X2+
6、1 的密度函数.+解解(1)由-21f(x)dx 1，易得 a=1.1.2(2)P0 X 20f(x)dx(1 x)dx 0(3)先求 Y 的分布函数FY(y)P(Y y)P(X21 y)P(X2 y-1).当 y1 时，FY(y)=0;当 1y2 时，FY(y)P(-y-1 X y-1)y-1y-1f(x)dx 0y-1(1 x)dxy-10(1-x)dx 2 y-1-y1;当 y2 时，FY(y)=1.从而y 1,0,FY(y)2y-1-y 1,1 y 2,1,y 2,故 Y 的密度函数为11,1 y 2,fY(y)FY(y)y 10,其他.3、设随机变量X和Y的联合概率分布，是在直线y
7、x和曲线y x2所围封闭区域上的均匀分布，试求(1)概率P PX 0.5,Y 0.6；(2)随机变量X和Y的概率密度f fX X(x x)和f fY Y(y y)(3)随机变量X关于Y y的条件概率密度f fX X|Y Y(x x|y y)。解解设G是直线y x和曲线y x2所围区域，其面积为1S(x x2)dx 016因此X和Y的联合概率密度为6，若(x,y)G，f(x,y)0，若(x,y)G(1)所求概率P PX 0.5,Y 0.66dxdy 6dxdy 0.5；G0 x20.5x(2)当x(0,1)时fX(x)0，对于x(0,1)，有xfX(x)f(x,y)dy 6dy 6(x x2)；
8、x2当y(0,1)时fY(y)0，对于y(0,1)，有yfY(y)f(x,y)dx 6dy 6(y yy)于是，X和Y的概率密度fX(x)和fY(y)为6(x x2)，若x(0,1)，6(yy)，若y(0,1)，fX(x)fY(y)0，若x(0,1)；0，若y(0,1)(3)当 0 x1 时，f fX X|Y Y(x x|y y)f f(x x,y y)1 1。f fY Y(y y)y y y y4、设随机变量X,Y的联合分布律为XY-2-111/8021/81/411/81/84a0求：（1）常数 a、E(X)、E(Y)、D(X)、D(Y)；（2）X 与 Y 的相关系数 XYXY；（3）判断
9、 X 与Y Y的相关性与独立性，并说明理由。解：（1）易得 a=1/4.X,Y的边缘分布为：Xpi-2-1123/81/81/83/8Yp j141/21/23 31 11 13 3115E E(X X)x xi ip pi i 2 2 1 1 1 1 2 2 0 0,E(Y)yjp j1 4,8 88 88 88 8222i ij3 31 11 13 31313E E(X X2 2)x xi i2 2p pi i (2)2)2 2 (1)1)2 2 1 12 2 2 22 2 8 88 88 88 84 4i i,D D(X X)EXEX2 2(EXEX)2 2 1313。4 4E(Y2)y
10、2jp j1j171725259 91117 42，D D(Y Y)E E(Y Y2 2)(EYEY)2 2 。（2）2222 24 44 4E(XY)xiyjpij 0ijCOV(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)0XYC o(vX,Y)0D(X)D(Y)（3）因为XY 0，X与Y不相关。又因为，P P(X X 2)2)3 31，P(Y 1)8 821 13 3 P P(X X 2)2)P P(Y Y 1)1)。8 81616P P(X X 2,2,Y Y 1)1)X与Y不独立。5 5(10(10 分分)设随机变量X和Y的联合密度为，2xe，若 0 y x，f(x,y)0，若不然，求随机变量Z X Y的概率密度f fZ Z(z z)解解随机变量Z X Y的值域显然为(0,)利用二随机变量之和的密度公式zfZ(z)f(x,z x)dx 2zz 2z 2exdx ex(ez 2ez)，其中，由0 z x x,可见z 2 x z，故积分区间为(z 2,z)随机变量Z X Y的概率密度为(ez 2ez)，若z 0，fZ(z)0，若z 0