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1、横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系 三个坐标轴的正方向符合右手系.一、空间直角坐标系第1页/共87页面面面空间直角坐标系共有八个卦限第2页/共87页空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点第3页/共87页二、空间两点间的距离第4页/共87页空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为第5页/共87页解解原结论成立.第6页/共87页解解设P点坐标为所求点为第7页/共87页空间直角坐标系 空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）小结第8页/共87页填空题练习题练习题第9页/共87页向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1
2、 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：三、向量或或或1.1.1.1.概念概念概念概念第10页/共87页自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点M M与原点与原点构成的向量.第11页/共87页1 加法：（平行四边形法则）特殊地：若 分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）2.向量的加
3、减法第12页/共87页向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减法第13页/共87页3.向量与数的乘法第14页/共87页数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系定理定理第15页/共87页按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.第16页/共87页 例例33 化简解解第17页/共87页 例例4 4 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形.证证与 平行
4、且相等,结论得证.第18页/共87页4.低阶行列式第19页/共87页第20页/共87页（按列（或行）展开）第21页/共87页 1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号2.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式(对角线法则)注意：第22页/共87页性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式 称为行列式 的转置行列式.记 说明说明：行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第23页/共87页例如性质性质3 3 如果行列式有两行（列
5、）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.此行列式为零.第24页/共87页性质性质性质性质4 4 4 4 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘性质性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，以同一数k，等于用数k乘此行列式.则此行列式为零第25页/共87页性质性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一例如例如数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变第26页/共87页性质性质7上三
6、角行列式等于对角线上元素的乘积上三角行列式等于对角线上元素的乘积例如例如第27页/共87页解一解一第28页/共87页解二解二第29页/共87页5.5.5.5.向量的坐标向量的坐标向量的坐标向量的坐标第30页/共87页 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影 向量在 轴上的投影第31页/共87页按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的坐标坐标：向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：第32页/共87页方向角的定义方向角的定义 非零向量与三条坐标轴正向的夹角向量向量 的与三条坐标轴的方向角为的与三条坐标轴的方向角为 6.向量的模与方向余弦的坐标表示式方向角的范围：第3
7、3页/共87页由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式第34页/共87页当 时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第35页/共87页方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为第36页/共87页解解第37页/共87页第38页/共87页思考题思考题思考题解答思考题解答对角线的长为第39页/共87页启示启示 两向量作这样的运算,结果是一个数量.定义定义7.两向量的内积(数量积或点积)结论结论结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另两向量的数量积等于其中一个向量的模
8、和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.第40页/共87页关于数量积的说明关于数量积的说明:第41页/共87页内积符合下列运算规律：内积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（3 3）分配律）分配律：（2 2）数因子的结合律）数因子的结合律：第42页/共87页两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为第43页/共87页解解第44页/共87页证证第45页/共87页8.两向量的外积(向量积或叉积)第46页/共87页定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.第47页/共87
9、页设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式第48页/共87页向量积还可用三阶行列式表示/由上式可推出第49页/共87页 外积的几何意义外积的几何意义:例如，第50页/共87页外积符合下列运算规律：外积符合下列运算规律：（1）反交换律：（3）分配律：分配律：（2）关于数因子的结合律：关于数因子的结合律：第51页/共87页解解第52页/共87页解解三角形ABC的面积为第53页/共87页设上式为混合积的坐标表达式上式为混合积的坐标表达式9.9.向量的混合积第54页/共87页解解第55页/共87页（1）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：第56页/共87页解解第57页/共87页上式
10、中正负号的选择必须和行列式的符号一致.第58页/共87页向量的数量积向量的向量积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）小结第59页/共87页思考题思考题思考题解答思考题解答第60页/共87页练习题练习题平行四边形的面积 以为邻边的平行六面体的体积 零向量 零向量 垂直 平行 第61页/共87页 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，那么这向量就于一平面，那么这向量就叫做该平面的法线向量叫做该平面的法线向量法线向量的特征：法线向量的特征：垂直于平面内的任一向量已知设平面上的任一点为必有四、平面及其方程1.1.1.1.平面的点法式方程平面
11、的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程第62页/共87页上式称为平面的上式称为平面的点法式方程点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形的图形其中法向量已知点第63页/共87页解解取所求平面方程为化简得第64页/共87页取法向量化简得所求平面方程为解解第65页/共87页由平面的点法式方程上式称为平面的上式称为平面的一般方程一般方程法向量2.平面的一般方程第66页/共87页平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标
12、原点；平面通过 轴；平面平行于 轴；平面平行于 坐标面；类似地可讨论 情形.类似地可讨论 情形.平面通过 坐标面；第67页/共87页设平面为将三点坐标代入得解解第68页/共87页将代入所设方程得称为平面的截距式程称为平面的截距式程第69页/共87页设平面为由平面过原点知所求平面方程为解解第70页/共87页设平面为由所求平面与已知平面平行得解解第71页/共87页化简得令代入体积式所求平面方程为第72页/共87页（通常取锐角）定义定义定义定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.3.两平面的夹角第73页/共87页按照两向量夹角余弦公式,得两平面夹角余弦公式
13、两平面夹角余弦公式即即,两平面夹角公式两平面夹角公式第74页/共87页4.4.两平面的位置关系两平面的位置关系第75页/共87页 例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：解解夹角第76页/共87页 例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面平行但不重合第77页/共87页 例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面重合.第78页/共87页解解第79页/共87页第80页/共87页上式称为上式称为点到平面距离公式点到平面距离公式.第81页/共87页平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角.点到平面的距离公式.点法式方程.一般方程.截距式方程.（注意两平面的位置特征）小结第82页/共87页思考题思考题思考题解答思考题解答第83页/共87页练练 习习 题题第84页/共87页第85页/共87页【授课小结】通过本课题学习，学生应该达到：1、会进行向量的坐标表示，向量的运算（线形运算、数量积、向量积和混合积）；2、会求平面方程，平面与平面之间的夹角，点到平面的距离【课后练习】（一）P045习题1、2、3.第86页/共87页感谢您的观看！第87页/共87页