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1、第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面【授课时数授课时数】总时数：4学时.【学习目标】1、知道空间直角坐标系、向量、平面方程的概念；2、会进行向量的坐标表示，向量的运算（线形运算、数量积、向量积和混合积）；3、会求平面方程、平面与平面、点到平面的距离，会判断平面与平面之间的位置关系（平行、垂直）【重、难点重、难点】重点：向量概念，向量坐标表示及其运算，向量的数量积与向量积，平面的点法式方程 难点：两向量的向量积，平面与平面的位置关系，由实例讲解方法第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平
2、面横轴横轴纵轴纵轴竖轴竖轴定点定点空间直角坐标系空间直角坐标系 三个坐标轴的正方三个坐标轴的正方向符合右手系向符合右手系.一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面面面面面面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面空间的点空间的点有序数组有序数组特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点坐标面上的点坐标面上的点第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几
3、何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离二、空间两点间的距离第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面空间两点间距离公式空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解原结论成立原结论成立.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解设设P点坐标为点坐标为所求点为所求点为第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几
4、何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式（注意它与平面直角坐标系的区别）（注意它与平面直角坐标系的区别）（轴、面、卦限）（轴、面、卦限）小结小结第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面填空题填空题练习题练习题第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量.零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量.|向量的模：向量的
5、模：向量的大小向量的大小.单位向量：单位向量：三、向量三、向量三、向量三、向量或或或或或或1.1.1.1.概念概念概念概念第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量.相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量.负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量.向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点M M与原点与原点构成的向量构成的向量.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间
6、平面1 加法：加法：（平行四边形法则）（平行四边形法则）特殊地：若特殊地：若 分为同向和反向分为同向和反向（平行四边形法则有时也称为三角形法则）（平行四边形法则有时也称为三角形法则）2.2.2.2.向量的加减法向量的加减法向量的加减法向量的加减法第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合律：（3）2 减减法法第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面3.3.3.3.向量与数的乘法向量与
7、数的乘法向量与数的乘法向量与数的乘法第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系定理定理定理定理第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量个与原向量同方向的单位向量.第九章第九章
8、向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 例例33 化简化简解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 例例4 4 试用向量方法证明：对角线互相平分的四试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面4.4.4.4.低阶行列式低阶行列式低阶行列式低阶行列式第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平
9、面向量与空间平面第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面（按列（或行）展开）（按列（或行）展开）第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 1.红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号的乘积冠以负号2.对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式(对角线法则)注意：注意：第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面性质性质性质性质1 1 1 1 行列式与它的转置行
10、列式相等行列式与它的转置行列式相等.行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式.记记 说明说明：行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面例如例如性质性质3 3 如果行列式有两行（列）完全相同，如果行列式有两行（列）完全相同，则则性质性质性质性质2 2 2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）,行列式变号行列式变号.此行列式为零此行列式为零.第九章第九章 向量向量与空
11、间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面性质性质性质性质4 4 4 4 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘行列式的某一行（列）中所有的元素都乘性质性质5行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列式中如果有两行（列）元素成比例，以同一数以同一数k，等于用数，等于用数k乘此行列式乘此行列式.则此行列式为零则此行列式为零第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面性质性质 把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一同一例如例如数然后加到另一列数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行列式不变对
12、应的元素上去，行列式不变第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面性质性质7上三角行列式等于对角线上元素的乘积上三角行列式等于对角线上元素的乘积例如例如第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解一解一第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解二解二第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面5.5.5.5.向量的坐标向量的坐标向量的坐标向量的坐标第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间
13、解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影 向向量量在在 轴轴上上的的投投影影第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面按基本单位向量的按基本单位向量的坐标分解式坐标分解式：在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分向量分向量：向量的向量的坐标坐标：向量的向量的坐标表达式坐标表达式：特殊地：特殊地：第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面方向角的定义方向角的定义 非零向量与三条坐标轴正向的夹角非零向量与三条坐标轴正向
14、的夹角向量向量 的与三条坐标轴的方向角为的与三条坐标轴的方向角为 6.6.6.6.向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式向量的模与方向余弦的坐标表示式方向角的范围：方向角的范围：第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向.向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面当当 时，时，向量方向余弦的
15、坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面思考题思考题思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析
16、几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面启示启示 两向量作这样的运算两向量作这样的运算,结果是一个数量结果是一个数量.定义定义7.7.7.7.两向量的内积两向量的内积两向量的内积两向量的内积(数量积或点积数量积或点积数量积或点积数量积或点积)结论结论结论结论 两向量的数量积等于其中一个向量的模和另两向量的数量积等于其中一个向量的模和另一个向量在这向量的方向上的投影的乘积一个向量在这向量的方向上的投影的乘积.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面关于数量积的说明关于数量积的说明:第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课
17、题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面内积符合下列运算规律：内积符合下列运算规律：（1 1）交换律）交换律：（3 3）分配律）分配律：（2 2）数因子的结合律）数因子的结合律：第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面两向量夹角余弦的坐标表示式两向量夹角余弦的坐标表示式由此可知两向量垂直的充要条件为由此可知两向量垂直的充要条件为第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面证证第九章第九章 向量向
18、量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面8.8.8.8.两向量的外积两向量的外积两向量的外积两向量的外积(向量积或叉积向量积或叉积向量积或叉积向量积或叉积)第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面定义定义关于向量积的说明：关于向量积的说明：/向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面设设向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量
19、与空间平面向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示/由上式可推出由上式可推出第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 外积的几何意义外积的几何意义:例如，例如，第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面外积符合下列运算规律：外积符合下列运算规律：（1）反交换律反交换律：（3）分配律：分配律：（2）关于数因子的结合律：关于数因子的结合律：第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析
20、几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解三角形三角形ABC的面积为的面积为第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面设设上式为混合积的坐标表达式上式为混合积的坐标表达式9.9.9.9.向量的混合积向量的混合积向量的混合积向量的混合积第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义：关于混合积的说明：关于混合积的说明：第九章第九章 向量向量与
21、空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面上式中正负号的选择必须和行列式的符号一致上式中正负号的选择必须和行列式的符号一致.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）小结小结小结小结第九章第九章
22、 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面思考题思考题思考题解答思考题解答第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面练习题练习题平行四边形的面积平行四边形的面积 以以为邻边为邻边的平行六面体的体的平行六面体的体积积 零向量零向量 零向量零向量 垂直垂直 平行平行 第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，那么这向量就于一平面，那么这向量就叫做该平面的法线向量叫做该平面的法线向量法线向量的特征：法线向量的特
23、征：垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量已知已知设平面上的任一点为设平面上的任一点为必有必有四、平面及其方程四、平面及其方程四、平面及其方程四、平面及其方程1.1.1.1.平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程平面的点法式方程第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面上式称为平面的上式称为平面的点法式方程点法式方程 平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形的图形其中法向量其中法向量已知
24、点已知点第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解取取所求平面方程为所求平面方程为化简得化简得第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面取法向量取法向量化简得化简得所求平面方程为所求平面方程为解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面由平面的点法式方程由平面的点法式方程上式称为平面的上式称为平面的一般方程一般方程法向量法向量2.2.2.2.平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程平面的一般方程第九章第九章 向量向量与空间解析几何与
25、空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；平面通过平面通过 轴；轴；平面平行于平面平行于 轴；轴；平面平行于平面平行于 坐标面；坐标面；类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.平面通过平面通过 坐标面；坐标面；第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面设平面为设平面为将三点坐标代入得将三点坐标代入得解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面将将代入所设
26、方程得代入所设方程得称为平面的截距式程称为平面的截距式程第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面设平面为设平面为由平面过原点知由平面过原点知所求平面方程为所求平面方程为解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面设平面为设平面为由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面化简得化简得令令代入体积式代入体积式所求平面方程为所求平面方程为第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何
27、 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面（通常取锐角）（通常取锐角）定义定义定义定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.3.3.3.3.两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角两平面的夹角第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面按照两向量夹角余弦公式按照两向量夹角余弦公式,得得两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式即即,两平面夹角公式两平面夹角公式第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面4.4.两平面的位置关系两平面的位置关系第九章第九章 向量向
28、量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解夹角夹角第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面平行但不重合两平面平行但不重合第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面 例例6 6 研究以下各组里两平面的位置关系：研究以下各组里两平面的位置关系：解解两平面重合两平面重合.第九章第九章 向量向量与空
29、间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面解解第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面上式称为上式称为点到平面距离公式点到平面距离公式.第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的夹角两平面的夹角.点到平面的距离公式点到平面的距离公式.点法式方程点法式方程.一般方程一般方程.截距式方
30、程截距式方程.（注意两平面的位置特征）（注意两平面的位置特征）小结小结小结小结第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面思考题思考题思考题解答思考题解答第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面练练 习习 题题第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面第九章第九章 向量向量与空间解析几何与空间解析几何 课题一课题一 向量与空间平面向量与空间平面【授课小结授课小结】通过本课题学习，学生应该达到：1、会进行向量的坐标表示，向量的运算（线形运算、数量积、向量积和混合积）；2、会求平面方程，平面与平面之间的夹角，点到平面的距离【课后练习课后练习】（一）（一）P045习题习题1、2、3.