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1、平面向量与空间向量【基础知识】一、平面向量平行向量(共线向量)：方向相同或相反的向量，称为平行向量记作平行向量也称为共线向量规定零向量与任 意向量平行。两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作，则叫与的夹角 说明：（1）当时，与同向；（2）当时，与反向；（3）当时，与垂直， 记； 规定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的 范围0q180实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下： （）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向 相反；当时，方向是任意的平面向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则叫做与的数
2、量积（或内积） 规定 两向量夹角的余弦（） 二、重要定理、公式：1、平面向量基本定理：，是同一平面内两个不共线的向量，那么，对于这个平面内任一向量，有且仅有一对实数 ，使（1）平面向量的坐标表示 特别地，（2） 若，则 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标2、两个向量平行的充要条件（坐标表示） 向量共线定理：向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数，使 设， ，则 3、两个向量垂直的充要条件（坐标表示） 设，则4、平面内两点间的距离公式 （1）设，则或 （2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为A、B， (平面内两点间的距离公式)5、线段的定比分
3、点公式: 设点P分有向线段所成的比为，即，则 (线段定比 分点的坐标公式)6、三角形的四个“心”；重心：三角形三条中线交点. 外心：三角形三边垂直平分线相交于一点. 内心：三角形三内角的平分线相交于一点. 垂心：三角形三边上的高相交于一点. 非零向量与有关系是：是方向上的单位向量二、 空间向量 空间直角坐标系中的坐标表示： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使 ，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中 的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标空间向量的直角坐标运算律：（1）若， 则， ， ； （2）若，则 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标
4、减去起点的坐标模长公式：若， 则空间向量两向量夹角公式：空间中两点间的距离公式：若，则例题讲解1.（2012高考重庆理）设R，向量且，则=（ ） （A） （B） （C） （D）102.（2012高考浙江理）设a，b是两个非零向量。下列说法正确的是（ ）A.若|a+b|=|a|-|b|，则ab B.若ab，则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|，则存在实数，使得b=a D.若存在实数，使得b=a，则|a+b|=|a|-|b|3.(2012高考四川理)设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（ ） A、 B、 C、 D、且4.(2012高考辽宁理)已知两个非零向
5、量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是 ( ) (A) ab (B) ab (C)0,1,3 (D)a+b=ab5.(2012高考江西理)在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段的中点，则= A2 B4 C5 D106.(2012高考湖南理)在ABC中，AB=2，AC=3，= 1则. A. B. C. D.7.(2012高考广东理）若向量=（2,3），=（4,7），则= （ ） A（-2,-4） B (3,4) C (6,10) D (-6,-10)8. （2012高考广东理）对任意两个非零的平面向量和，定义若平面向量a，b满足|a|b|0， a与b的夹角，且和都在集合中，则=（
6、 ） A B.1 C. D. 9. （2012高考安徽理）在平面直角坐标系中，将向量按逆时针旋转后，得向量，则点 的坐标是（ ） 10. （2012高考天津理）已知为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足， 若，则= （ ） （A） （B） （C） （D）11.（2012高考全国卷理）中，边上的高为，若，则 A B C D 12.（2012高考新课标理）已知向量夹角为 ，且；则13.（2012高考浙江理）在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_.16. （2012高考北京理）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为_， 的最大值为_。17.（2012高考安徽理
7、）若平面向量满足：，则的最小值是。 18. （2012高考江苏）在矩形中，点为的中点，点在边上，若， 则的值是 1. （2012高考新课标理）已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球 的直径，且；则此棱锥的体积为（ ） 2.（2012高考四川理）下列命题正确的是（ ） A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C、若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D、若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行3. （2012高考四川理）如图，半径为的半球的底面圆在平面内，过点
8、作平面的垂线交半球面于点，过圆的直径作平面成角的平面与半球面相交，所得交线上到平面的距离最大的点为，该交线上的一点满足，则、两点间的球面距离为（ ） A、 B、 C、 D、4. （2012高考陕西理）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱，则直线与直线 夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 4.2012高考湖南理）某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是（ ） 8.【2012高考湖北理4】已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为俯视图侧视图2正视图第8题图4242A B C D9.（2012高考广东理）某几何体的三视图如图所示，它的体积为 （ ） A12 B.45 C.57 D.8110. （2012高考四川理）如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与 所成角的大小是_。11. （2012高考江苏）如图，在长方体中，则四棱锥的体积 为 cm3 12. （2012高考广东理）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点 E在线段PC上， PC平面BDE （1）证明：BD平面PAC； （2）若PH=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值；