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1、第四章大数定律和中心极限定理第1页，本讲稿共30页一一.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫(Chebyshev)不等式。它有以下等价的形式：1 1 大数定率大数定率第2页，本讲稿共30页例 已知某种股票每股价格X的平均值为1元，标准差为0.1元，求a,使股价超过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。解:由切比雪夫不等式令第3页，本讲稿共30页一一.依概率收敛依概率收敛设Xn为随机变量序列，X为随机变量，若任给0,使得则称Xn依概率收敛于X.可记为第4页，本讲稿共30页如意思是:当a时,Xn落在内的概率越来越大.而意思是:,当第5页，
2、本讲稿共30页二二.几个常用的大数定律几个常用的大数定律1.切比雪夫大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则即若任给0,使得第6页，本讲稿共30页证明:由切比雪夫不等式这里故第7页，本讲稿共30页2.贝努利大数定律 设进行n次独立重复试验，每次试验中事件A发生的概率为p，记fn为n次试验中事件A发生的频率，则证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由切比雪夫大数定理第8页，本讲稿共30页3.辛钦大数定律辛钦大数定律 若若Xk,k=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列,EXk=,k=1,2,则则推论:若Xi,i=1
3、.2,.为独立同分布随机变量序列,E(X1k)=,则第9页，本讲稿共30页 2 中心极限定理中心极限定理一一.依分布收敛依分布收敛 设Xn为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在F(x)的连续点，有则称Xn依分布收敛于X.可记为第10页，本讲稿共30页二二.几个常用的中心极限定理几个常用的中心极限定理1.独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理(Levy-Lindeberg)设设Xn为独立为独立同分布同分布随机变量序列，若随机变量序列，若EXk=，DXk=2 ，k=1,2,则则Xn满足中满足中心极限心极限定理。定理。根据上述定理，当根据上述定理，当n充
4、分大时充分大时第11页，本讲稿共30页例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于500的概率是多少？解解:设设 Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则X1,X100独立同分布独立同分布.由中心极限定理第12页，本讲稿共30页设随机变量n(n=1,2,.)服从参数为n,p(0p1)的二项分布，则2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace)证明:设第i次试验事件A发生第i次试验事件A不发生则由中心极限定理,结论得证第13页，本讲稿共30页第14页，本讲稿共30页 例2 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，
5、每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：(1)保险公司亏本的概率有多大？(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于60000元，赔偿金至多可设为多少？第15页，本讲稿共30页解:设X表示一年内死亡的人数，则XB(n,p),其中n=10000，p=0.6%，设Y表示保险公司一年的利润，Y=1000012-1000X于是由中心极限定理 (1)PY0=P1000012-1000X60000=P1000012-aX60000=PX60000/a0.9;（2）设赔偿金为a元，则令由中心极限定理,上式等价于第17页，本讲稿共30页例3
6、根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布.现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的.求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.由题给条件知，诸Xi独立，16只元件的寿命的总和为解解:设第设第i i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y1920)第18页，本讲稿共30页由题给条件知,诸Xi独立,16只元件的寿命的总和为解解:设第设第i i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为P(Y1920)由于E(Y)=1600,D(Y)=
7、160000由中心极限定理,近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119第19页，本讲稿共30页例例4 4.(.(供电问题供电问题)某车间有某车间有200200台车床台车床,在生产期间由于在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为设开工率为0.6,0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在开并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力工时需电力1 1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%99.9%的概率保证该车间不会的概率保证
8、该车间不会因供电不足而影响生产因供电不足而影响生产?第20页，本讲稿共30页用X表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工作，工作概率为0.6，共进行200次试验.依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：P(XN)0.999的最小的N.求满足设需N台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.）第21页，本讲稿共30页 由德莫佛-拉普拉斯极限定理近似N(0,1),于是于是 P(XN)=P(0XN)这里 np=120,np(1-p)=48由3准则，此项为0。第22页，本讲稿共30页查正态分布函数表得由由 0.
9、999，从中解得从中解得N141.5,即所求N=142.也就是说,应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产.3.1,故第23页，本讲稿共30页例5 在一个罐子中,装有10个编号为0-9的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.问对序列Xk,能否应用大数定律？诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律.解:k=1,2,E(Xk)=0.1,(1)设，k=1,2,第24页，本讲稿共30页 即对任意的即对任意的0,解:k=1,2,E(Xk)=0.1,诸Xk 独立同分布，且期望存在，故能使用 大数定律.第25页，本讲稿共30页(2)(2)至
10、少应取球多少次才能使至少应取球多少次才能使“0 0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.09-0.110.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95?0.95?解：设应取球n次，0出现频率为由中心极限定理近似N(0,1)第26页，本讲稿共30页近似N(0,1)第27页，本讲稿共30页欲使即查表得从中解得即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.第28页，本讲稿共30页(3)(3)用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100100次抽取中次抽取中,数码数码“0 0”出现次数在出现次数在7 7和和1313之间的概率之间的概率.解：在解：在100100次抽取中次抽取中,数码数码“0 0”出现次数为出现次数为由中心极限定理,近似N(0,1)即近似N(0,1)E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09第29页，本讲稿共30页即在即在100100次抽取中，数码次抽取中，数码“0 0”出现次数在出现次数在7 7和和1313之间的概率为之间的概率为0.6826.0.6826.=0.6826近似N(0,1)第30页，本讲稿共30页