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1、4.1 特征函数 4.2 大数定律 4.3 随机变量序列的两种收敛性 4.4 中心极限定理,第四章 大数定律与中心极限定理,4.1 特征函数,特征函数是处理概率论问题的有力工具，其作用在于：,可将卷积运算化成乘法运算；可将求各阶矩的积分运算化成微分运算；可将求随机变量序列的极限分布化成一般的函数极限问题；.,4.1.1 特征函数的定义,定义4.1.1 设 X 是一随机变量，称 (t) = E( eitX ) 为 X 的特征函数. (必定存在),注意：,是虚数单位.,注 意 点(1),(1) 当X为离散随机变量时，,(2) 当X为连续随机变量时，,这是 p(x) 的傅里叶变换,特征函数的计算中用
2、到复变函数，为此注意：,注 意 点(2),(1) 欧拉公式：,(2) 复数的共轭：,(3) 复数的模：,性质4.1.1,4.1.2 特征函数的性质,|(t)| (0)=1,性质4.1.2,性质4.1.3,性质4.1.4,若 X 与 Y 独立，则,性质4.1.5,定理4.1.1,特征函数的定理,一致连续性.,定理4.1.2,定理4.1.3,定理4.1.4,唯一性.,定理4.1.5,非负定性.,逆转公式.,连续场合，,4.2 大数定律,讨论 “概率是频率的稳定值”的确切含义； 给出几种大数定律： 伯努利大数定律、切比雪夫大数定律、 马尔可夫大数定律、辛钦大数定律.,4.2.1 伯努利大数定律,定理
3、4.2.1（伯努利大数定律）,设 n 是n重伯努利试验中事件A出现的次数，每次试验中 P(A) = p, 则对任意的 0，有,4.2.2 常用的几个大数定律,大数定律一般形式：,若随机变量序列Xn满足：,则称Xn 服从大数定律.,切比雪夫大数定律,定理4.2.2,Xn两两不相关，且Xn方差存在，有共同的上界，则 Xn服从大数定律.,证明用到切比雪夫不等式.,马尔可夫大数定律,定理4.2.3,若随机变量序列Xn满足：,则 Xn服从大数定律.,(马尔可夫条件),辛钦大数定律,定理4.2.4,若随机变量序列Xn独立同分布，且Xn的数学期望存在。则 Xn服从大数定律.,(1) 伯努利大数定律是切比雪夫
4、大数定律的特例.,注 意 点,(2) 切比雪夫大数定律是马尔可夫大数定律的特例.,(3) 伯努利大数定律是辛钦大数定律的特例.,4.3 随机变量序列的两种收敛性,两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.,4.3.1 依概率收敛,定义4.3.1 (依概率收敛),大数定律讨论的就是依概率收敛.,若对任意的 0，有,则称随机变量序列Yn依概率收敛于Y, 记为,依概率收敛的性质,定理4.3.1 若,则Xn与Yn的加、减、乘、除依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.,4.3.2 按分布收敛、弱收敛,对分布函数列 Fn(x)而言，点点收敛要求太高.,定义
5、4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有,则称Fn(x) 弱收敛于 F(x) ，记为,相应记,按分布收敛,依概率收敛与按分布收敛的关系,定理4.3.2,定理4.3.3,4.3.3 判断弱收敛的方法,定理4.3.4,辛钦大数定律的证明思路,欲证:,只须证：,4.4 中心极限定理,讨论独立随机变量和的极限分布, 本指出极限分布为正态分布.,4.4.1 独立随机变量和,设 Xn 为独立随机变量序列，记其和为,4.4.2 独立同分布下的中心极限定理,定理4.4.1 林德贝格勒维中心极限定理,设 Xn 为独立同分布随机变量序列，数学期望为, 方差为 20，则当 n 充分大时，有,应用之例: 正态随机数
6、的产生； 误差分析,例4.4.1 每袋味精的净重为随机变量，平均重量为 100克，标准差为10克. 一箱内装200袋味精，求一箱味精的净重大于20500克的概率?,解:,设箱中第 i 袋味精的净重为 Xi, 则Xi 独立同分布，,且 E(Xi)=100，Var(Xi) =100，,由中心极限定理得，所求概率为：,= 0.0002,故一箱味精的净重大于20500克的概率为0.0002. (很小),例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为,求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.,解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，,且 E(Xi) =9
7、.62，Var(Xi) =0.82，故,= 0.99979,4.4.3 二项分布的正态近似,定理4.4.2 棣莫弗拉普拉斯中心极限定理,设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n 充分大时，有,是林德贝格勒维中心极限定理的特例.,二项分布是离散分布，而正态分布是连续分布，所以用正态分布作为二项分布的近似时，可作如下修正：,注 意 点 (1),中心极限定理的应用有三大类：,注 意 点 (2),ii) 已知 n 和概率，求y ；,iii) 已知 y 和概率，求 n .,i) 已知 n 和 y，求概率；,一、给定 n 和 y，求概率,例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9
8、)的部件组成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.,解：用,由此得：,Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0.,又记Y=X1+X2+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.,二、给定 n 和概率，求 y,例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床， 每台机床工作时需15kw电力. 问共需多少电力, 才可 有95%的可能性保证正常生产?,解：用,设供电量为y, 则从,Xi=1表示第i台机床正常工作, 反之记为Xi=0.,又记Y=X1+X2+X200，则 E(Y)=140，Var(Y)=42.,中解得,三、给定 y 和概率，求 n,例4.4.5 用调查
9、对象中的收看比例 k/n 作为某电视节 目的收视率 p 的估计。 要有 90 的把握，使k/n与p 的差异不大于0.05，问至少要调查多少对象？,解：用,根据题意,Yn表示n 个调查对象中收看此节目的人数，则,从中解得,Yn 服从 b(n, p) 分布，k 为Yn的实际取值。,又由,可解得,n = 271,例4.4.6 设每颗炮弹命中目标的概率为0.01， 求500发炮弹中命中 5 发的概率.,解: 设 X 表示命中的炮弹数, 则,X b(500, 0.01),0.17635,(2) 应用正态逼近:,P(X=5) = P(4.5 X 0，有,林德贝格条件,则,李雅普诺夫中心极限定理,定理4.4.4 李雅普诺夫中心极限定理,设Xn 为独立随机变量序列，若存在 0，满足：,李雅普诺夫条件,则,林德贝格条件较难验证.,例4.4.7 设 X1, X2 , . , X99相互独立, 且服从不同的 0-1分布,试求,解: 设 X100, X101, .相互独立, 且与X99同分布,则可以验证Xn满足 =1的李雅普诺夫条件，且,由此得,