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1、第四章大数定律和中心极限定理本讲稿第一页，共三十页一一.切比雪夫不等式切比雪夫不等式 若r.v.X的期望和方差存在，则对任意0，有这就是著名的切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式。不等式。它有以下等价的形式：1 1 大数定率大数定率本讲稿第二页，共三十页例例 已知某种股票每股价格已知某种股票每股价格X X的平均值为的平均值为1 1元，标准元，标准差为差为0.10.1元，求元，求a,a,使股价超过使股价超过1+a1+a元或低于元或低于1-a1-a元的概元的概率小于率小于10%10%。解解:由切比由切比雪夫不等式雪夫不等式令令本讲稿第三页，共三十页一一.依概率收敛依概率收敛设Xn为随机变量
2、序列，X为随机变量，若任给0,使得则称Xn依概率收敛依概率收敛于于X.可记为可记为本讲稿第四页，共三十页如如意思是意思是:当当a时时,Xn落在落在内的概率越来越大内的概率越来越大.而而意思是意思是:,当当本讲稿第五页，共三十页二二.几个常用的大数定律几个常用的大数定律1.切比雪夫切比雪夫大数定律大数定律 设Xk,k=1,2,.为独立的随机变量序列，且有相同的数学期望，及方差20，则即若任给0,使得本讲稿第六页，共三十页证明证明:由切由切比雪夫不等式比雪夫不等式这里这里故故本讲稿第七页，共三十页2.贝努利贝努利大数定律大数定律 设进行设进行n次独立重复试验，每次试验中事件次独立重复试验，每次试验
3、中事件A发生发生的概率为的概率为p，记，记fn为为n次试验中事件次试验中事件A发生的频率，则发生的频率，则证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则由切由切比雪夫大数定理比雪夫大数定理本讲稿第八页，共三十页3.辛钦大数定律辛钦大数定律 若若Xk,k=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量序列随机变量序列,EXk=,k=1,2,则则推论推论:若若Xi,i=1.2,.为独立为独立同分布同分布随机变量随机变量序列序列,E(X1k)=,则则本讲稿第九页，共三十页 2 中心极限定理中心极限定理一一.依分布收敛依分布收敛 设设Xn为随机变量序列，为随
4、机变量序列，X为随机变量，其对应为随机变量，其对应的分布函数分别为的分布函数分别为Fn(x),F(x).若在若在F(x)的连续点，的连续点，有有则称则称Xn依分布收敛依分布收敛于于X.可记为可记为本讲稿第十页，共三十页二二.几个常用的中心极限定理几个常用的中心极限定理1.独立同分布独立同分布中心极限定理中心极限定理(Levy-Lindeberg)设设Xn为独立为独立同分布同分布随机变量序列，若随机变量序列，若EXk=，DXk=2 ，k=1,2,则则Xn满足满足中心极限中心极限定理。定理。根据上述定理，当根据上述定理，当n充分大时充分大时本讲稿第十一页，共三十页例例1.1.将一颗骰子连掷将一颗骰
5、子连掷100100次，则点数之和不少于次，则点数之和不少于500500的概的概率是多少？率是多少？解解:设设 Xk为第为第k 次掷出的点数次掷出的点数,k=1,2,100,则则X1,X100独立同分布独立同分布.由中心极限定理由中心极限定理本讲稿第十二页，共三十页设随机变量设随机变量 n(n=1,2,.)服从参数为服从参数为n,p(0p1)的二项的二项分布，则分布，则2.德莫佛德莫佛-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace)证明证明:设设第第i次试验事件次试验事件A发生发生第第i次试验事件次试验事件A不发生不发生则则由中心极限定理由中心极限定理,结论得证结
6、论得证本讲稿第十三页，共三十页本讲稿第十四页，共三十页 例例2 2 在一家保险公司里有在一家保险公司里有1000010000个人参加寿命保个人参加寿命保险，每人每年付险，每人每年付1212元保险费。在一年内一个人死亡元保险费。在一年内一个人死亡的概率为的概率为0.6%0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得，死亡时其家属可向保险公司领得10001000元，元，问：问：(1)(1)保险公司亏本的概率有多大？保险公司亏本的概率有多大？(2)(2)其他条件不变，为使保险公司一年的利润不其他条件不变，为使保险公司一年的利润不少于少于6000060000元，赔偿金至多可设为多少？元，赔偿金至多可设为多少？
7、本讲稿第十五页，共三十页解解:设设X X表示一年内死亡的人数，则表示一年内死亡的人数，则XB(n,p),XB(n,p),其中其中n=10000n=10000，p=0.6%p=0.6%，设设Y Y表示保险公司一年的利润，表示保险公司一年的利润，Y=10000 Y=10000 12-1000X12-1000X于是由中心极限定理于是由中心极限定理 (1)PY0=P10000 (1)PY0=P10000 12-1000X12-1000X060000=P1000012-aX60000=PX 60000/a 0.9;（2）设赔偿金为）设赔偿金为a元，则令元，则令由中心极限定理由中心极限定理,上式等价于上式
8、等价于本讲稿第十七页，共三十页例例3 3 根根据据以以往往经经验验，某某种种电电器器元元件件的的寿寿命命服服从从均均值值为为100100小小时时的的指指数数分分布布.现现随随机机地地取取1616只只，设设它它们们的的寿寿命命是是相相互互独独立立的的.求求这这1616只只元元件件的的寿寿命命的的总总和和大大于于19201920小小时时的的概率概率.由题给条件知，诸由题给条件知，诸Xi独立独立，1616只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为解解:设第设第i i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)本
9、讲稿第十八页，共三十页由题给条件知由题给条件知,诸诸X Xi i独立独立,1616只元件的寿命的总和为只元件的寿命的总和为解解:设第设第i i只元件的寿命为只元件的寿命为Xi,i=1,2,16E(Xi)=100,D(Xi)=10000依题意，所求为依题意，所求为P(Y1920)由于由于E(Y)=1600,D(Y)=160000由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N(0,1)P(Y1920)=1-P(Y 1920)=1-(0.8)1-=1-0.7881=0.2119本讲稿第十九页，共三十页例例4 4.(.(供电问题供电问题)某车间有某车间有200200台车床台车床,在生产期间由于在生产期间由于
10、需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车.设开工率为设开工率为0.6,0.6,并设每台车床的工作是独立的，且在并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力开工时需电力1 1千瓦千瓦.问应供应多少瓦电力就能以问应供应多少瓦电力就能以99.9%99.9%的概率保证该车间不会的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产因供电不足而影响生产?本讲稿第二十页，共三十页用用X X表示在某时刻工作着的车床数，表示在某时刻工作着的车床数，解：对每台车床的观察作为一次试验，解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验观察该台车床在某时刻是否工每次试验观察该台车床
11、在某时刻是否工作，工作概率为作，工作概率为0.60.6，共进行，共进行200200次试验次试验.依题意，依题意，XB(200,0.6),现在的问题是：现在的问题是：P(XN)0.999的最小的的最小的N N.求满足求满足设需设需N N台车床工作，台车床工作，（由于每台车床在开工时需电力（由于每台车床在开工时需电力1 1千瓦，千瓦，N N台工作台工作所需电力即所需电力即N N千瓦千瓦.）本讲稿第二十一页，共三十页 由德莫佛由德莫佛-拉普拉斯极限定理拉普拉斯极限定理近似近似N(0,1),于是于是 P(XN)=P(0XN)这里 np=120,np(1-p)=48由3准则，此项为0。本讲稿第二十二页，
12、共三十页查正态分布函数表得查正态分布函数表得由由 0.999，从中解得从中解得N141.5,即所求即所求N=142.也也就就是是说说,应应供供应应142 142 千千瓦瓦电电力力就就能能以以99.9%99.9%的的概概率保证该车间不会因供电不足而影响生产率保证该车间不会因供电不足而影响生产.3.1,故故本讲稿第二十三页，共三十页例例5 5 在一个罐子中在一个罐子中,装有装有1010个编号为个编号为0-90-9的同样的球，的同样的球，从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码从罐中有放回地抽取若干次，每次抽一个，并记下号码.问对序列问对序列 X Xk k,能否应用大数定律？能否应用大数定律
13、？诸诸X Xk k 独立同分布，且期望存在，故能使用大数独立同分布，且期望存在，故能使用大数定律定律.解解:k=1,2,E(Xk)=0.1,(1)设设，k=1,2,本讲稿第二十四页，共三十页 即对任意的即对任意的0,解解:k=1,2,E(Xk)=0.1,诸诸X Xk k 独立同分布，且期望存在，故能使用独立同分布，且期望存在，故能使用 大数定律大数定律.本讲稿第二十五页，共三十页(2)(2)至少应取球多少次才能使至少应取球多少次才能使“0 0”出现的频率在出现的频率在0.09-0.110.09-0.11之间的概率至少是之间的概率至少是0.95?0.95?解：设应取球解：设应取球n n次，次，0
14、 0出现频率为出现频率为由中心极限定理由中心极限定理近似近似N(0,1)本讲稿第二十六页，共三十页近似近似N(0,1)本讲稿第二十七页，共三十页欲使欲使即即查表得查表得从中解得从中解得即至少应取球3458次才能使“0”出现的频率在0.09-0.11之间的概率至少是0.95.本讲稿第二十八页，共三十页(3)(3)用中心极限定理计算在用中心极限定理计算在100100次抽取中次抽取中,数码数码“0 0”出现次数在出现次数在7 7和和1313之间的概率之间的概率.解：在解：在100100次抽取中次抽取中,数码数码“0 0”出现次数为出现次数为由中心极限定理由中心极限定理,近似近似N N(0,1)(0,1)即即近似近似N(0,1)E(Xk)=0.1,D(Xk)=0.09本讲稿第二十九页，共三十页即在即在100100次抽取中，数码次抽取中，数码“0 0”出现次数在出现次数在7 7和和1313之间的概率为之间的概率为0.6826.0.6826.=0.6826近似近似N(0,1)本讲稿第三十页，共三十页