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1、北师大版实验教材数学九年级上册北师大版实验教材数学九年级上册角平分线的性质定理及逆定理角平分线的性质定理及逆定理线段垂直平分线的性质定理及逆定理线段垂直平分线的性质定理及逆定理等腰三角形与直角三角形等腰三角形与直角三角形尺规作图尺规作图本章主要知识点本章主要知识点一、角平分线的性质定理及逆定理一、角平分线的性质定理及逆定理角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.1 1、角平分线性质定理、角平分线性质定理在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.2 2、角平分线性质定理的逆定理、角平分线
2、性质定理的逆定理三角形的三条角平分线相交于一点三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点并且这一点到三边的距离相等到三边的距离相等.3 3、三角形的角平分线性质、三角形的角平分线性质(2)求证求证:AB=AC+CD例例1：如图：如图,在在ABCABC中中,已知已知AC=BC,C=900,AD是是ABCABC的角平分线的角平分线,DEAB,垂足为垂足为E.l(1)如果如果CD=4cm,求求AC的长的长;EDABC(1)解：解：AD是是ABC的角平分的角平分线线，C=90，DEABDE=CD=4cmAC=BC B=BAC(等等边对边对等角等角)C=90，B=90=45BDE=9045=45BE=D
3、E(等角等角对对等等边边)在等腰直角三角形在等腰直角三角形BDE中中 (勾股定理勾股定理)，AC=BC=CD+BD=(4+)cm(2)证证明：由明：由(1)的求解的求解过过程可知，程可知，RtACD RtAED(HL)AC=AEBE=DE=CD，AB=AE+BE=AC+CD例例1.如如图图，在，在ABC中中AC=BC，C=90，AD是是ABC的角平分的角平分线线，DEAB，垂足，垂足为为E(1)已知已知CD=4 cm，求，求AC的的长长；(2)求求证证：AB=AC+CD DABEC二、线段垂直平分线的性质定理及逆定理二、线段垂直平分线的性质定理及逆定理线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距线
4、段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等离相等.1 1、线段垂直平分线性质定理、线段垂直平分线性质定理 到一条线段两个端点距离相等的点到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段在这条线段的垂直平分线上的垂直平分线上.三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等.2 2、线段垂直平分线定理的逆定理、线段垂直平分线定理的逆定理 3 3、三角形三边中垂线性质三角形三边中垂线性质例例2：已知：如图，：已知：如图，DE,DF分别是分别是ABD和和ACDACD的的高，高，且且DE=DF.DE=DF.求证：求证：ADAD垂直平分垂直平分EFEFABCEFD证明证明:如图如图 DEA
5、B,DFAC AED=AFD=在在Rt ADE和和Rt ADF中，中，DE=DF,AD=AD Rt ADE Rt ADF AE=AF 点点A在线段在线段EF的垂直平分线上的垂直平分线上 又又DE=DF 点点D在线段在线段EF的垂直平分线上的垂直平分线上 AD垂直平分垂直平分EF三、等腰三角形与直角三角形三、等腰三角形与直角三角形（1）与等腰三角形、等）与等腰三角形、等边边三角形有关的三角形有关的结论结论：性性质质：等腰三角形的两个底角相等，即等等腰三角形的两个底角相等，即等边对边对等角；等角；等腰三角形的等腰三角形的顶顶角平分角平分线线、底、底边边上的中上的中线线、底、底边边上上 的高互相重合
6、；（三的高互相重合；（三线线合一）合一）等腰三角形两底角的平分等腰三角形两底角的平分线线相等，两条腰上的中相等，两条腰上的中线线相相等，两条腰上的高相等。等，两条腰上的高相等。等等边边三角形的三角形的三条三条边边都相等，都相等，三个角都相等，并且每三个角都相等，并且每个角都等于个角都等于60；判定：判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对对等等边边）有一个角是有一个角是60的等腰三角形是等的等腰三角形是等边边三角形；三角形；三个角都相等的三角形是等三个角都相等的三角形是等边边三角形。三角形。（1）与等腰三角形、等）与等腰三角形、等边边三角形有关的三角
7、形有关的结论结论：（2）与直角三角形有关的）与直角三角形有关的结论结论：勾股定理的逆定理；勾股定理的逆定理；在直角三角形中，如果一个在直角三角形中，如果一个锐锐角等于角等于30，那么它所，那么它所对对的直角的直角边边等于斜等于斜边边的一半；的一半；斜斜边边和一直角和一直角边对应边对应相等的两个直角三角形全等。相等的两个直角三角形全等。(HL)例例3 3：已知如图：在：已知如图：在ABCABC中中,ABC=45,ABC=450 0,H,H是是高高ADAD、BEBE的交点的交点 1)1)求证求证:BH=AC.:BH=AC.ACBH证明线段相等有两种方法证明线段相等有两种方法:1.1.当两条线段在不
8、同三角形当两条线段在不同三角形中中,则证明两个三角形全等则证明两个三角形全等.2.2.当两条线段在同一个三角当两条线段在同一个三角形中形中,则利用等腰三角形的则利用等腰三角形的等角对等边等角对等边.2).2).若把若把BACBAC改为钝角改为钝角,请请你按题设要求在钝角三角你按题设要求在钝角三角形形ABCABC中画出该题的图形？中画出该题的图形？ACBH结论结论BH=ACBH=AC还成立吗还成立吗?一个图形的某些条件变化后一个图形的某些条件变化后,要能分清变与不变的结果要能分清变与不变的结果,这是解决这一类问题的基本这是解决这一类问题的基本思路思路.例例4.已知：如图，在已知：如图，在 ABC
9、中，中，AB=AC，A=1200，AB的垂直平分的垂直平分线MN分分别交交BC,AB于点于点M,N.求求证：CM=2BMBACMN证明：连接证明：连接AMAB=AC,BAC=1200 C=B=300 MN是线段是线段AB的垂直平分线的垂直平分线 MA=MB MAB=B=300，即，即CAM=900在在Rt CAM中，由中，由 C=300，得，得AM=CMBM=CM,即即CM=2BMCABMND例例4.已知：如图，在已知：如图，在 ABC中，中，AB=AC，A=1200，AB的垂直平分的垂直平分线MN分分别交交BC,AB于点于点M,N.求求证：CM=2BM四、尺规作图四、尺规作图1、线段的垂直平分线的作法、线段的垂直平分线的作法2、角的平分线的作法、角的平分线的作法例例5：任意画一个角，利用尺：任意画一个角，利用尺规规将其二等分、四等分将其二等分、四等分已知：如已知：如图图，AOB求作求作：(1)射射线线OC，使，使AOC=BOC；(2)射射线线OD、OE，使，使AOD=DOC=COE=EOB作法作法:(1)1、在、在OA和和OB上分上分别别分分别别截取截取OM、ON，使，使OM=ON 2分分别别以以M、N为圆为圆心，以大于心，以大于 MN的的长为长为半径作弧，半径作弧，两弧在两弧在AOB内交于点内交于点C 3作射作射线线OC OC就是就是AOB的平分的平分线线 NMABO