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1、推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明数学归纳法数学归纳法间接证明间接证明类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法知识结构知识结构复习复习: 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理思维过程称为推理.1.什么叫推理什么叫推理?2.合情推理的主要形式有合情推理的主要形式有 和和 .归纳归纳类比类比第第1个个第第2个个第第3个个(1)(2)6n nn设第设第n堆由上到下堆由上到下,第第n层有层有an个乒乓球个乒乓球,则则(1)1232nn nan 22nn 22211
2、22222nnnS222(12)(12)2nn 1(1)(21)(1)262n nnn n(1)(2)6n nn 通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，通过归纳推理得出的结论可能正确，也可能不正确，它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推它的正确性需通过严格的证明，猜想所得结论即可用演绎推理给出证明理给出证明.虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的，但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程，对于数学的发现、科学的发明是十分有用的于数学的发现、科学的发明是十分有用的.通过观察实
3、验，通过观察实验，对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数对有限的资料作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（学研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是：（1）通）通过观察个别情况发现某些相同性质；（过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性）从已知的相同性质 中 推 出 一 个 明 确 表 达 的 一 般 性 命 题 （ 猜 想 ）质 中 推 出 一 个 明 确 表 达 的 一 般 性 命 题 （ 猜 想 ） .类比推理的一般步骤：类比推理的一般步骤： 找出两类对象之间可以确切表述的相似特找出两类对象之间可以确切表述的相似特
4、征；征； 用一类对象的已知特征去推测另一类对象用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；的特征，从而得出一个猜想； 检验猜想。即检验猜想。即 观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜想新结论猜想新结论(06广东广东,10)对于任意的两个实数对对于任意的两个实数对(a,b)和和(c,d)，规定：，规定：(a,b)=(c,d),当且仅当当且仅当a=c,b=d；运算运算“ ”为：为：运算运算“ ”为：为： 设设p,qR，若，若 ，则，则 ( ) A.(4，0) B.(2，0) C. (0，2) D.(0，-4) a bc dacbd bcad ( , )( , )(,); a
5、bc dac b d ( , )( , )(,),p q (1,2)( , )(5,0)(1,2)( , )p q (1,2)( , )(5,0)p q 由由得得251202pqppqq (1,2)( , )(1,2)(1, 2)(2,0)p q 根据两类不同事物之间具有的某些类似（或根据两类不同事物之间具有的某些类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或一致）性，推测其中一类事物具有与另一类事物类似（或相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）相同）的性质，这样的推理叫类比推理（简称类比）.类比类比推理是由特殊到特殊的一种推理形式，类比的结论可能是推理是由特殊到特殊的一种
6、推理形式，类比的结论可能是真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理真的，也可能是假的，所以类比推理属于合情推理.虽然类虽然类比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特比推理的结论可能为真，也可能为假，但是它由特殊到特殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用殊的认识功能，对于发现新的规律和事实却十分有用.类比类比推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、推理应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜想归纳、提出猜想.平面图形中的面积与空间图形中的体积常平面图形中的面积与空间图形中的体积常常是类比的两类对象常是类比的两类对象. 类比推理的一般步骤是：（
7、类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的）找出两类事物之间的相似性或一致性相似性或一致性;（2）用一类事物的性质去推测另一类事）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.在等差数列在等差数列an中，若中，若a10=0，则有，则有等式等式a1+a2+an=a1+a2+a19-n(n19,nN*)成立，类比上述性质，成立，类比上述性质，相应地相应地:在等比数列在等比数列bn中，若中，若b9=1，则有等式则有等式 成立成立. b1b2bn=b1b2b17-n(n17,nN*)(由题设可知，如果由题设可知，如果am=0，则，则有有a1
8、+a2+an=a1+a2+a2m-1-n(n2m-1,nN*)成立，如果成立，如果m+n=p+q，其，其中中m，n,p,q是自然数，对于等差数列，是自然数，对于等差数列，则有则有am+an=ap+aq，而对于等比数列，则，而对于等比数列，则有有bmbn=bpbq，所以可以得到结论，若，所以可以得到结论，若bm=1，则有等式，则有等式b1b2bn=b1b2b2m-1-n(n2m-1,nN*)成立，在本题中成立，在本题中m=9.)归纳推理：归纳推理：类比推理：类比推理：实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般性结论猜测一般性结论观察、比较观察、比较联想、类推联想、类推猜测新的结论猜测新的结
9、论简言之：简言之：归纳归纳: : 特殊特殊 一般一般类比类比: : 特殊特殊 特殊特殊简言之：简言之：合合情情推推理理 从具体问从具体问题出发题出发观察、分析、观察、分析、比较、联想比较、联想归纳、归纳、类比类比提出提出猜想猜想从一般性的原理出发，推出某个特殊情况从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为下的结论，这种推理称为演绎推理演绎推理注：注：演绎推理是由演绎推理是由一般一般到到特殊特殊的推理；的推理；“三段论三段论”是演绎推理的一般模式；包是演绎推理的一般模式；包括括大前提大前提-已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提-所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论
10、-据一般原理，对特殊情况做出据一般原理，对特殊情况做出的判断的判断 演绎推理三段论的基本格式三段论的基本格式MP（M是是P）SM（S是是M）SP（S是是P）（大前提）（大前提）（小前提）（小前提）（结论）（结论） 演绎推理（练习）（大前提）形是直角三角形两条边的平方和的三角一条边的平方等于其它）（1（小前提），而，的三边长依次为222345543ABC（结论）是直角三角形ABC（大前提）的图象是一条直线一次函数）（)0(2kbkxy（小前提）是一次函数函数52xy（结论）的图象是一条直线函数52xy在锐角三角形在锐角三角形ABC中，中，ADBC，BEAC，D,E是垂是垂足足.求证：求证：AB的
11、中点的中点M到到D,E的距离相等的距离相等.解答本题需要利用直角三角形解答本题需要利用直角三角形斜边上的中斜边上的中 线性质作为大前提线性质作为大前提.（1）因为有一个内角是直角的三角形是直角）因为有一个内角是直角的三角形是直角 三角形三角形 大前提大前提在在ABD中，中，ADBC，即，即ADB=90 小前提小前提所以所以ABD是直角三角形是直角三角形 结论结论（2）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 大前提大前提 而而M是是RtABD斜边斜边AB的中点，的中点，DM是斜边上的中线是斜边上的中线 小前提小前提所以所以DM= AB. 同理同理EM=
12、 AB.所以所以DM=EM.2 21 12 21 1演绎推理的主要形式就是由大前提、小演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理前提推出结论的三段论推理.三段论推理的依据用集合三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质的所有元素都具有性质P，S是是M的子集，那么的子集，那么S中所有元素都具有性质中所有元素都具有性质P.三段论三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况出
13、了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了一般这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断结从而产生了第三个判断结论论.演绎推理是一种必然性推理演绎推理是一种必然性推理,演绎推理的前提与结论演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实的，推理的形因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论可能导致错误的结论.直接证明直接证明分析法分析法 解题方向比较明确，解题方向比较明确， 利于寻找解题思路；利于寻找解题思路； 综合
14、法综合法 条理清晰，易于表述。条理清晰，易于表述。通常以通常以分析法分析法寻求寻求思路，再用思路，再用综合法综合法有条理地有条理地表述解题过程表述解题过程分析法分析法综合法综合法概念概念直接证明直接证明综合法和分析法的推证过程如下综合法和分析法的推证过程如下：综合法综合法已知条件已知条件结论结论分析法分析法结论结论 已知条件已知条件 综合法综合法 利用已知条件和某些数学定义、定理、利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。出所要证明的结论或所要解决的问题的结果。条件条件结论结论推理论证推
15、理论证条件条件定理定理公理公理定义定义P Q1Q1 Q2Q2 Q3Qn Q(顺推证法、由因导果法顺推证法、由因导果法)b bc c + + c ca ac ca a + + a ab ba ab b + + b bc c= =+ + +2 22 22 22 22 22 2 a ab bc c+ +a a b bc c + +a ab b c c= =a a + +b b + +c c. . 法法1 1: : a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 + + += = b bc c + + c ca a + + a ab ba ab
16、bc c证证为为数数例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = =1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c + + +. .a ab bc c为为数数证证.1 11 11 1a a + +b b + +c c + + +成成立立a ab bc c一一.综合法综合法1 11 11 11 11 11 1+ + + +b bc cc ca aa ab b + + +2 22 22 2111111=+.=+.abcabc 法法2 2: :a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c= =1 1，1 11
17、11 1 a a + + b b+ + c c = =+ + +b bc cc ca aa ab b证证为为数数.111111 a +b +c +成a +b +c +成立立abcabc例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c 0,故只要证故只要证已知已知a0,求证求证:所给条件简单所给条件简单,所证结论复杂所证结论复杂,一般采用分析法一般采用分析法.2 2. .- -a a1 1+ +a a2 2- -a a1 1+ +a a2 22 22 2, ,- -a a1 1+
18、+a a2 2- -a a1 1+ +a a2 22 2. .2 2a a1 1+ +a a2 2a a1 1+ +a a2 22 2+. .) )2 2a a1 1+ +a a2 2) )a a1 1+ +a a( (2 22 22 22 2+(从而只要证从而只要证只要证只要证 即即 ,而上述不等式显然成立而上述不等式显然成立,故原不等式成立故原不等式成立.2 2a a1 1+ +a a2 22 22 2) )1 1( (2 22 2a a1 12 2a a4 4a a1 1+ +a a4 4a a1 1+ +a a2 22 22 22 22 22 2+a aa a) )1 1( (2 2a
19、 a1 1+ +a a2 22 22 2a aa a+) )1 12 2( (2 2a a1 1+ +( (a a4 42 22 22 22 2a aa a+)即即分析法是数学中常用到的一种直接证明分析法是数学中常用到的一种直接证明方法方法,就证明程序来讲就证明程序来讲,它是一种从未知到已知它是一种从未知到已知(从结论从结论到题设到题设)的逻辑推理方法的逻辑推理方法.具体地说具体地说,即先假设所要证明即先假设所要证明的结论是正确的的结论是正确的,由此逐步推出保证此结论成立的充分由此逐步推出保证此结论成立的充分条件条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题而当这些判断恰恰都是已证的命题 (定义、公理、
20、定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题定理、法则、公式等）或要证命题的已知条件时命题得证得证.反证法反证法 证明过程证明过程否定结论否定结论推出矛盾推出矛盾肯定结论，肯定结论，即分三个步骤：即分三个步骤：反设反设归谬归谬存真存真用反证法证明命题的过程用框图表示为：用反证法证明命题的过程用框图表示为： 肯定条件肯定条件否定结论否定结论导导 致致逻辑矛盾逻辑矛盾反设反设 不成立不成立结论结论成立成立本题结论以本题结论以“至少至少”形式出现，从正面思形式出现，从正面思考考有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明有多种形式，不易入手，故可用反证法加以证明.若若x,y都是正实数，且
21、都是正实数，且x+y2,求证：求证： 或或 中至少有一个成立中至少有一个成立.2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+假设假设 或或 都不成立都不成立,则有则有 和和 同时成立同时成立. 因为因为x0且且y0，所以，所以1+x2y,且且1+y2x. 两式相加，得两式相加，得2+x+y2x+2y. 所以所以x+y2. 这与已知条件这与已知条件x+y2矛盾矛盾. 因此因此 和和 中至少有一个成立中至少有一个成立.2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+2 2y yx x1 1+2 22 2y y1 1+（1）当一个命题的结
22、论是以）当一个命题的结论是以“至至多多”“”“至少至少”“”“唯一唯一”或以否定形式出现时，宜用反或以否定形式出现时，宜用反证法来证证法来证.反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛反证法关键是在正确的推理下得出矛盾，矛盾可以是盾可以是与已知条件矛盾，与已知条件矛盾，与假设矛盾，与假设矛盾，与定与定义、公理、定理矛盾，义、公理、定理矛盾，与事实矛盾等方面与事实矛盾等方面.反证法常反证法常常是解决某些常是解决某些“疑难疑难”问题的有力工具，是数学证明问题的有力工具，是数学证明中的一件有力武器中的一件有力武器. （2）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的）利用反证法证明问题时，要注意与之矛盾的定理不能是用本题的结论证明的定理定理不能是用本题的结论证明的定理;否则，将出现循否则，将出现循环论证的错误环论证的错误.