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1、MATLAB大作业作业要求：（1）编写程序并上机实现，提交作业文档，包括打印稿（不含源程序）和电子稿（包含源程序），以班为单位交，作业提交截止时间 6 月 24 日。（2）作业文档内容：问题描述、问题求解算法（方案）、MATLAB 程序、结果分析、本课程学习体会、列出主要的参考文献。打印稿不要求 MATLAB 程序，但电子稿要包含 MATLAB 程序。（3）作业文档字数不限，但要求写实，写出自己的理解、收获和体会，有话则长，无话则短。不要抄袭复制，可以参考网上、文献资料的内容，但要理解，要变成自己的语言，按自己的思路组织内容。（4）从给出的问题中至少选择一题(多做不限，但必须独立完成，严禁抄袭
2、)。（5）大作业占过程考核的 20%，从完成情况、工作量、作业文档方面评分。第一类：绘制图形。（B 级）问题一：斐波那契（Fibonacci）螺旋线，也称黄金螺旋线（Golden spiral），是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。斐波那契螺旋线，以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个 90 度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线，如图所示。问题二：绘制谢尔宾斯基三角形（Sierpinskitriangle）是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基在 1915 年提出,它是一种典型的自相似集。其生成过程为：取
3、一个实心的三角形（通常使用等边三角形），沿三边中点的连线，将它分成四个小三角形，然后去掉中间的那一个小三角形。接下来对其余三个小三角形重复上述操作，如图所示。问题三：其他分形曲线或图形。分形曲线还有很多，教材介绍了科赫曲线，其他还有皮亚诺曲线、分形树、康托（G.Cantor）三分集、Julia 集、曼德布罗集合（Mandelbrot set），等等。这方面的资料很多（如），请分析构图原理并用 MATLAB实现。问题四：模拟掷骰子游戏：掷 1000 次骰子，统计骰子各个点出现的次数，将结果以下表的形式显示，并绘制出直方图。点数出现次数116621503164416251846174问题五：利用
4、MATLAB 软件绘制一朵鲜花，实现一定的仿真效果。提示：二维/三维绘图，对花瓣、花蕊、叶片、花杆等的形状和颜色进行详细设置。第二类：插值与拟合。（B 级）问题一：有人对汽车进行了一次实验，具体过程是，在行驶过程中先加速，然后再保持匀速行驶一段时间，接着再加速，然后再保持匀速，如此交替。注意，整个实验过程中从未减速。在一组时间点上测得汽车的速度如表所示。tv00202040205638688080808410096100104125110125（1）分别使用最近点插值、线性插值、三次埃尔米特插值和三次样条插值进行计算0,110时间段 50 个时间点的速度。（2）绘制插值图形并标注样本点。问题二
5、：估算矩形平板各个位置的温度。已知平板长为5m，宽为3m，平板上35 栅格点上的温度值为 44，25，20，24，30；42，21，20，23，38；25，23，19，27，40。（1）分别使用最近点插值、线性插值和三次样条插值进行计算。（2）用杆图标注样本点。（3）绘制平板温度分布图。问题三：自行车道的设计。对 9 条道路上的自行车道宽度以及自行车与过往机动车之间的平均距离进行测量，数据如表所示。距离（m）车道宽度（m）3（1）对数据进行线性拟合。（2）绘制拟合曲线和样本点。（3）如果自行车与过往机动车之间安全距离的最小距离是，试计算相应的自行车道宽度的最小值。问题四：在水资源工程学中，水库
6、的大小与为了蓄水而拦截的河道中的水流速度密切相关。对于某些河流来说，这种长时间的历史水流记录很难获得。然而通常容易得到过去若干年间关于降水量的气象资料。鉴于此，推导出流速与降水量之间的关系式往往特别有用。只要获得那些年份的降水量数据，就可以利用这个关系式计算出水流速度。下表是在被水库拦截的某河道中测得的数据。降水量（cm）流速（m/s）312794（1）对数据进行线性拟合。（2）绘制拟合曲线和样本点。（3）如果某年的降水量是 120cm，利用拟合直线估算当年的水流速度。（4）若流域面积为 1100km2，估计在其他过程中，如蒸发、深层地下水渗透和消耗用途，损失的降水量占总体降水量的比例。问题五
7、：假设有已知实测数据如下表所示：x xy y假设已知该数据可能满足的原型函数为y(x)=ax+bx2ecx+d，试求出满足数据的最小二乘解 a,b,c,d 的值。提示：曲线拟合并绘图分析第三类：定积分问题。（B 级）问题一：地球密度随着离中心（r=0）距离的变化而变化，不同半径处的密度如表所示，试估算地球质量。r（km）（g/cm）30131100150012245034003630450053806060628063803问题二：河道平均流量 Q（m3/s）可使用速度和深度的乘积的积分来计算（河道横截面不规则），公式如下。Q=()()0其中 V(x)是离岸 x（m）距离处的水速（m/s）,H
8、(x)是离岸 x 距离处的水深（m）。根据收集到的河道离岸不同距离处的水速 V 和水深 H（如表所示），估计流量。xVxH00006909第四类：线性方程组求解。（B 级）问题一：多项式插值指的是采用唯一的 n-1 次多项式对 n 个数据点进行拟合。该多项式的一般形式为：p(x)=p1xn-1+p2xn-2+pn-1x+pn确定这些系数的一种直接方法是，建立 n 个线性代数方程，然后求解。已知一个四次多项式通过 5 个点，如表所示。xy200250300400500（1）建立线性方程组，并求解得到多项式的系数。（2）计算该线性方程组系数矩阵的条件数，并进行解释。（3）绘制多项式曲线并求其零点。
9、问题二：如图所示，5 个反应器通过导管连接在一起。每根导管中化学物的传输率等于流速（Q，单位是 m3/s）乘以化学物浓度（c，单位是 mg/m3）。若系统达到稳定状态，流入和流出每个反应器的质量相等。例如，对于第一个反应器来说，质量守恒可表示为：Q01c01+Q31c3=Q15c1+Q12c1（1）使用 LU 分解计算平衡方程系数矩阵的逆矩阵。（2）求各反应器中化学物的稳态浓度。问题三：静定桁架受力分析。（1）如图所示，求力和反作用力。（2）求受力平衡方程系数矩阵的逆矩阵，对于逆矩阵第二行中的零，作何解释。（3）将节点 1 的力改为方向向上，计算这种改变对 H2和 V2的影响。（4）将节点1
10、的力撤销，而在节点1 和 2 处施加 1500N 的水平外力，求节点3处垂直反作用力（V3）。第五类：一元方程求解。（B 级）问题一：在热力学中，下列多项式将干燥空气的零压力比热 c（单位为 kJ/（kgK）p与温度（单位为 K）关联起来了：Cp=+10-4T+10-11T3+10-14T4（1）绘制在 T=01200K 范围内，cp随温度变化的曲线。（2）求对应于（kgK）比热的温度。问题二：在化学工程中，将水蒸汽（H2O）加热到足够高的温度，使得大部分水发生分解或分离而形成氧气（O2）和氢气（H2）：H2OH2+2O2如果假定其中只存在这一种化学反应，那么已经发生分解的H2O 所占比列 x
11、 可以表示为：K=1212+其中 K 为该反应的平衡系数，Pt为混合物的总压强。如果 Pt=4，且 K=，那么求满足该式子的 x 值。第六类：最优化问题。（B 级）问题一：最大利润问题。某公司生产两种产品的产量分别为x，ykg，其相应的成本满足以下函数：C(x,y)=x2+2xy+2y2+2000已知产品 x 的价格为 200 元/kg，产品 y 的价格为 300 元/kg，并假定两种产品全部售完，试求使公司获得最大利润产品产量以及公司的最大利益润。问题二：作用在螺旋桨上的总阻力可以通过下式估计:0.95 2()D=0.01+2摩擦力升力其中，D=阻力，=飞行高度与海平面之间的大气密度比(ra
12、tioofairdensity)，W=重量，V=速度。如图所示，当速度增加时，对阻力的两个部分受到的影响是不同的。摩擦阻力随速度的增加而增加，但由升力引起的阻力却随速度的增加而下降。二者的结合导致一个最小的阻力。（1）如果=、W=16000，求最小阻力及阻力最小时的速度值。（2）进行敏感性分析以确定当 W 为 1200020000 的过程中，最优值是如何变化的，取=。螺旋桨上阻力与速度的关系图问题三：如图所示，一个梯子通过支撑角分别与两个面接触，梯子的最大可能长度可以通过计算下面函数取值最小时的值而确定。2L()=+sinsin()对于1=2=2m 的情况，绘制 L 随变化的图形，其中的取值范
13、围为 45135。通过一个墙角连接两个墙面的梯子1问题四：对于一架稳定水平航行的喷气机，推力与阻力平衡，升力与重力平衡(如图所示)。在这种情况下，当阻力与速度的比例最小时，会出现最佳巡航速度。阻力可以用下式计算:2C=C0+?其中C0是零升力时的阻力系数，是升力系数，AR 是展弦比。在稳定水平飞行的情况下，升力系数可以用下式计算:2=2其中 W 是喷气机重量（N），是空气密度（kg/m3）,是速度(m/s),?A 是机翼平面面积(m2)，然后阻力可以用下式计算:=W在稳定水平飞行中，喷气机受到的四个主要力使用这些公式，确定在海平面上 10 千米飞行的 670kN 喷气机的最佳稳定巡航速度。在计
14、算中应用以下参数：A=150m2，AR=，C0=，=0.413 kg/m3。问题五：某公司经营两种设备，第一种设备每件售价 29 元，第二种设备每件售价 455 元。根据统计，售出第一种设备一件所需的营业时间平均为小时，第二种设备是（2+*X2）,其中 X2 是第二种设备的售出数量。已知该公司在这段时间内的总营业时间为 800 小时，试确定使营业额最大的营业谋划。提示：即两种设备各准备售出多少件，使得在规定的营业时间里营业额最大。这是一个有约束的最优化问题求解，考虑用 fmincon 函数问题六：某车间生产 A、B 两种产品，已知生产产品 A、B 需要原料分别为 3 公斤和 4 公斤，所需的工
15、时分别为 5 分钟和 3 分钟，现在可以应用的原料为 120 公斤，工时为 150 分钟，每生产一件 A 和 B 分别可获得 7 元和 5 元的利润，应当如何安排生产 A、B 的件数，才能使车间获得最大利润？提示：线性规划问题，考虑用 linprog 函数问题七：某种作物在全部生产过程中至少需要 32 公斤氮，磷以 24 公斤为宜，钾不得超过 42 公斤。现有甲、乙、丙、丁4 种肥料，各种肥料的单位价格及含氮、磷、钾的数量如下表所示:各种肥料的单位价格及含氮、磷、钾的数量（单位：kg）各种元素及价格氮磷钾价格甲乙00丙00丁请问，应如何配合使用这些肥料，使得既能满足作物对氮、磷、钾的需要，又能
16、使施肥成本最低？提示：线性规划问题，考虑用 linprog 函数第七类：常微分方程求解。问题一（B 级）：生活在南非克鲁格国家公园的黑斑羚种群x(t)可以用如下方程来建模。dx/dt=(r-bx sinat)x其中 r，b 和 a 是常数，输入它们的值和 x 的初值，计算两年时间内每个月的黑斑羚种群数量，并绘制变化曲线。问题二（A 级）：80kg 的伞兵(paratrooper)在 600m 高度从飞机跳落，5s 后降落伞打开，作为时间函数的伞兵高度 y(t)由如下方程给出：y=g+()/y?(0)?=?600?m(0)=0/其中，g=s2为重力加速度，m=80kg 为伞兵质量。空气阻力(t)
17、和速度平方成比例，但降落伞打开前后取不同的比例常数。()=)2，t 51()2，t 5s2(（1）在K1=0，K2=0 的假设下，求自由落体的解析解。问：降落伞在什么高度打开?需多长时间到达地面?着地的冲击速度是多少?绘出高度关于时间的曲线，并对图形作适当的标注。（2）在K1=1/15，K2=4/15 的情况下，问：降落伞在什么高度打开?需多长同问到达地面?着地的冲击速度是多少?绘出高度关于时间的曲线，并对图形作适当标注。问题三（A 级）：在以水平 x 轴、垂直 y 轴、发射点为原点的静态直角坐标系中，确定球形炮弹的轨迹。在此坐标中，发射体初速度大小为0，且和x 轴之间的角度为0弧度。发射体仅
18、受重力和空气阻力 D 的影响。气动阻力取决于或许存在的任何风力。描述发射体运动的方程如下：x=cos，y=sin，=cos，=gsin.该问题的常数有重力加速度 g=s2，质量 m=15kg，初速度0=50m/s。假设风向为水平、风速为特定时间函数w(t)。气动阻力正比于炮弹相对于风速之平方：(D()=w(t)2+2),2式中，阻力系数 c=，空气密度=m3，炮弹截面面积 s=m2。考虑下面四种不同的风力条件：无风，始终有 w(t)=0.稳定逆风，始终有 w(t)=-10m/s.间歇顺风，时间 t 的整数部分为偶数时，w(t)=10m/s；否则为零。阵风，w(t)是均值为 O、标准差为 10m
19、/s 的高斯随机变量。在 MATLAB 中，实数 t 的整数部分用 floor(t)函数计算。O 均值标准差的高斯随机变量可由 randn 函数产生。对于这四种风力条件的每种情况，进行如下计算：求 17 条运动轨迹，初始角为 5 度的倍数，即0=k/36，k=1，2，.，17。把 17条轨迹画在同一幅图上。请确定，哪条轨迹的射程最远，并说出该轨迹的初始角度、飞行时间、射程、落地速度以及求解该方程所需的计算步数。四种风力条件中的哪个需要的计算量最多?为什么?问题四（A 级）：在 1968 年墨西哥奥林匹克运动会上,BobBeamon 创造了一项跳远(long jump)世界纪录。它比前世界纪录多
20、了。从那以后，该记录仅在 1991 年于东京举行的比赛中被 MikePowell 以打破一次。在 Beamon 不可思议的一跳之后，有些人认为 2250m 海拔的墨西哥城的较低空气阻力是贡献因素。本题就研究这种可能性。本题的数学模型和前面的炮弹轨迹模型相同。固定的直角坐标系有水平 x 轴、垂直 y 轴，且以起跳板为原点。运动员起跳初速度的大小为0，与 x 轴的夹角为0弧度。起跳后仅受重力和气动阻力 D 作用。D 正比于速度大小的平方。在无风情况下，跳远运动描述方程如下x=cos，y=sin，=气动阻力为cos，=gsin.(D=2+2)2本题所用常数重力加速度 g=s2，质量 m=80kg，阻力系数 c=，跳远运动员的截面积为m2，起跳角度0=/8弧度。请用不同初速度0和空气密度，计算四种不同的跳远。每次跳远长度为：x(t)，而腾空时长t由条件 y(t)=O 决定。（1）高海拔处的标称跳远。0=10m/s,=m3。（2）海平面处的标称跳远。0=10m/s,=m3。（3）高海拔处短跑选手跳法。=m3。请确定跳远长度达到 Beamon 的纪录所需的初速度0。（4）海平画处短跑选手跳法。=m3，以及由(3)算得的0初速度。请用你的计算结果完成下列表格的填写。0？Theta0RhoDistance？空气密度和起跳初速度，哪个影响更大?