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1、MATLAB大作业作业规定：(1)编写程序并上机实现，提交作业文档，涉及打印稿(不含源程序)和电子稿(包含源程 序)，以班为单位交,作业提交截止时间6月 2 4 日。(2)作业文档内容：问题描述、问题求解算法(方案)、M AT L AB 程序、结果分析、本课程学习体会、列出重要的参考文献。打印稿不规定M A T L AB 程序，但电子稿要包含M AT L AB程序。(3)作业文档字数不限，但规定写实，写出自己的理解、收获和体会，有话则长，无话则短。不要抄袭复制，可以参考网上、文献资料的内容，但要理解，要变成自己的语言，按自己的思绪组织内容。(4)从给出的问题中至少选择一题(多做不限，但必须独立
2、完毕,严禁抄袭)。(5)大作业占过程考核的2 0%,从完毕情况、工作量、作业文档方面评分。第 一 类：绘制图形。(B级)问题一：斐波那契(F i b o n a c c i)螺旋线，也称黄金螺旋线(G o l d e n s p i r a l),是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线的图案，是自然界最完美的经典黄金比例。斐波那契螺旋线，以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里面画一个9 0 度的扇形,连起来的弧线就是斐波那契螺旋线,如图所示。问题二：绘制谢尔宾斯基三角形(S i e r p i n s k i t r i a n g l e)是一种分形
3、，由波兰数学家谢尔宾斯基在1 9 2 0 2 3 提此它是一种典型的自相似集。其生成过程为:取一个实心的三角形（通常使用等边三角形），沿三边中点的连线，将它提成四个小三角形,然后去掉中间的那一个小三角形。接下来对其余三个小三角形反复上述操作，如图所示。AAA AAAA AAAA A AA盒AAAA问题三:其他分形曲线或图形。分形曲线尚有很多，教材介绍了科赫曲线，其他尚有皮亚诺曲线、分形树、康 托（G.Ca n t o r）三分集、J u l i a 集、曼德布罗集合（M a n d eL b r o t set）,等等。这方面的资料很多（如），请分析构图原理并用M A T L A B 实现。问
4、题四：模拟掷骰子游戏:掷1000次骰子，记录骰子各个点出现的次数，将结果以下表的形式显示，并绘制出直方图。点数123456出现次数16615016416218417 4问题五：运用M A T L A B 软件绘制一朵鲜花，实现一定的仿真效果。提醒:二维/三维绘图，对花瓣、花蕊、叶 片 一、花杆等的形状和颜色进行具体设立。第二类:插值与拟合。（B级）问题一:有人对汽车进行了一次实验，具体过程是，在行驶过程中先加速，然后再保持匀速行驶一段时间，接着再加速，然后再保持匀速，如此交替。注意，整个实验过程中从未减速。在一组时间点上测得汽车的速度如表所示。（1）分别使用最近点插值、线性插值、三次埃尔米特插
5、值和三次样条插值进行计算t0204056688 08 49 61041 1 0V02020388 08 010 01 0012 5125 0,110 时间段5。个时间点的速度。（2）绘制插值图形并标注样本点。问题二:估算矩形平板各个位置的温度。已知平板长为5 m,宽为3 m,平板上3 X 5 栅格点上的温度值为 44,25,2 0,24,30;42,21,20,23,38;2 5,23,19,2 7,4 0 1.(1)分别使用最近点插值、线性插值和三次样条插值进行计算。(2)用杆图标注样本点。(3)绘制平板温度分布图。问题三：自行车道的设计。对 9条道路上的自行车道宽度以及自行车与过往机动车之
6、间的平均距离进行测量,数据如表所示。距 离(D1)2.41.52.41.81.82.91.231.2车道宽度(m)2.92.12.32.11.82.71.52.91.5(1)对数据进行线性拟合。(2)绘制拟合曲线和样本点。(3)假如自行车与过往机动车之间安全距离的最小距离是1.8 m,试计算相应的自行车道宽度的最小值。问题四:在水资源工程学中，水库的大小与为了蓄水而拦截的河道中的水流速度密切相关。对于某些河流来说，这种长时间的历史水流记录很难获得。然而通常容易得到过去若干年间关于降水量的气象资料。鉴于此，推导出流速与降水量之间的关系式往往特别有用。只要获得那些年份的降水量数据,就可以运用这个关
7、系式计算出水流速度。下表是在被水库拦截的某河道中测得的数据。降水量(c m)8 8.91 08.510 4.113 9.71 2 79 41 16.89 9.1流 速(m3/s)1 4.61 6.71 5.32 3.21 9.51 6.11 8.11 6.6(1)对数据进行线性拟合。(2)绘制拟合曲线和样本点。(3)假如某年的降水量是1 2 0 c m,运用拟合直线估算当年的水流速度。(4 )若流域面积为1 1 0 0 k m2,估计在其他过程中，如蒸发、深层地下水渗透和消耗用途,损失的降水量占总体降水量的比例。问题五：假设有已知实测数据如下表所示:X0.10.20.30.40.50.60.7
8、0.80.91.0y2.32012.642.93.28853.63.9 04.2 14.54.825.1707 07008904719132275假设已知该数据也许满足的原型函数为y(x)=a x+b x2e-c x+d,试求出满足数据的最小二乘 解a,b,c,d的值。提醒：曲线拟合并绘图分析第三类:定积分问题。(B级)问题一：地球密度随着离中心(r=0)距离的变化而变化,不同半径处的密度如表所示，试估算地球质量。r(km)011001 5 0024 5 03 400363 0450053806060628 0638 0P(g/era,*)1312.41211.29.75.75.24.73.6
9、3.43问 题 二：河道平均流量Q(m：/s)可使用速度和深度的乘积的积分来计算(河道横截面不 规 则)，公式如下。/WQ=I V(x)H(x)dx其 中V(x)是离岸x(m)距离处的水速(m/s),H (x)是离岸x距离处的水深(m)。根据收集到的河道离岸不同距离处的水速V和水深H (如表所示)，估计流量。X01.64.14.86.16.89V00.0 80.6 10.6 80.5 50.4 20X01.12.84.668.19H00.2 10.7 81.8 71.4 41.2 80.2第四类:线性方程组求解。(B级)问题一:多项式插值指的是采用唯一的n1次多项式对n个数据点进行拟合。该多项
10、式的一般形式为：p(x)=p i x 1+p 2 X n 2+p“-i x+p n拟定这些系数的一种直接方法是，建立n个线性代数方程，然后求解。已知一个四次多项式通过5个点，如表所示。X2 0 02 5 0y0.7 4 60.6 753 0 04 0 05 0 00.6 1 60.5 2 50.4 57(1)建立线性方程组,并求解得到多项式的系数。（2）计算该线性方程组系数矩阵的条件数，并进行解释。（3）绘制多项式曲线并求其零点。问题二:如图所示，5个反映器通过导管连接在一起。每根导管中化学物的传输率等于流 速（Q,单位是mY s）乘以化学物浓度（c,单位是mg/n?）。若系统达成稳定状态，流
11、入和流出每个反映器的质量相等。例如，对于第一个反映器来说，质量守恒可表达为：Qo 1 c oi+Qsi c 3-Q I 5C1+Q 12cl（1 ）使用L U分解计算平衡方程系数矩阵的逆矩阵。（2）求各反映器中化学物的稳态浓度。问题三:静定桁架受力分析。（1）如图所示，求力和反作用力。（2）求受力平衡方程系数矩阵的逆矩阵,对于逆矩阵第二行中的零，作何解释。（3）将节点1的力改为方向向上，计算这种改变对H?和V?的影响。(4)将节点1 的力撤消，而在节点1 和 2处施加1 5 0 0 N 的水平外力,求节点3处垂直反作 用 力(V3).第 五 类：一元方程求解。(B级)问题一:在热力学中，下列多
12、项式将干燥空气的零压力比热c p(单位为k J/(kg K)与温度(单位为K)关联起来了：CP=0.9 9 4 0 3+1.6 7 1 X 1 0 T+9.7 2 1 5 X1 0 V-9.5 8 3 8 X 1 0 T，l.9 5 2 0 X 1 0 T (1 )绘制在T=0 l 2 0 0 K 范围内，c。随温度变化的曲线。(2)求相应于1.1 kJ/(kg K)比热的温度。问题 二：在化学工程中，将水蒸汽(H Q)加热到足够高的温度，使得大部分水发生分解或分离而形成氧气(。2)和 氢 气(H z):H?O-H 2号。2假如假定其中只存在这一种化学反映,那么已经发生分解的H2O 所占比列X
13、可以表达为：x 2PtK=-TTT1 X、L-V X其中K为该反映的平衡系数，3为混合物的总压强。假如R=4,且 K=0.0 5,那么求满足该式子的x 值。第六类:最优化问题。(B级)问题一：最大利润问题。某公司生产两种产品的产量分别为x,y kg,其相应的成本满足以下函数：C (x,y )=x2+2 x y+2 y +2 0 2 3已知产品x的价格为2 0 0 元/k g,产品y的价格为3 0 0 元/k g,并假定两种产品所有售完,试求使公司获得最大利润产品产量以及公司的最大利益润。问题二：作用在螺旋桨上的总阻力可以通过下式估计：,0.95/勿D=O.OIC TK2+(o W /摩擦力升力
14、其中，D=阻力，。=飞行高度与海平面之间的大气密度比(r at i o o f air de n s it y),W=重量，V=速度。如图所示，当速度增长时，对阻力的两个部分受到的影响是不同的。摩擦阻力随速度的增长而增长，但由升力引起的阻力却随速度的增长而下降。两者的结合导致一个最小的阻力。(1 )假如0=0.6,W=1 6 0 0 0 ,求最小阻力及阻力最小时的速度值。(2)进行敏感性分析以拟定当W为 1 2 0 2 3 -2 0 2 3 0 的过程中，最优值是如何变化的，取户0.6。螺旋桨上阻力与速度的关系图问题三:如图所示，一个梯子通过支撑角分别与两个面接触,梯子的最大也许长度可以通过计
15、算下面函数取值最小时的。值而拟定。,、w2L(6)=s in 9 +s in(-a-e)对于w】=W 2=2 m 的情况，绘制L随a变化的图形，其中a 的取值范围为4 5 1 3 5。通过一个墙角连接两个墙面的梯子问题四:对于一架稳定水平航行的喷气机，推力与阻力平衡，升力与重力平衡(如图所示)。在这种情况下，当阻力与速度的比例最小时，会出现最佳巡航速度。阻力品 可以用下式计算：ClCD=CDO+1TAR其中C o o是零升力时的阻力系数,Q是升力系数，A R是展弦比。在稳定水平飞行的情况下，升力系数可以用下式计算：_ 2W品 pv2A其 中W是喷气机重量(N),p是空气密度(kg/n?),u是
16、速度(m/s),A是机翼平面面积(m 2)，然后阻力可以用下式计算：在稳定水平飞行中，喷气机受到的四个重要力使用这些公式，拟定在海平面上1 0千米飞行的6 7 0 kN喷气机的最佳稳定巡航速度。在计算中应用以下参数：A=1 5 0 m2,A R=6.5,CD 0=0.0 1 8,p=0.4 1 3 kg/m3问题五:某公司经营两种设备，第一种设备每件售价2 9元，第二种设备每件售价4 5 5元。根据记录，售出第一种设备一件所需的营业时间平均为0 .5小时,第二种设备是(2 +0.2 5*X 2),其 中X 2是第二种设备的售出数量。已知该公司在这段时间内的总营业时间为8 0 0小时,试拟定使营
17、业额最大的营业谋划。提醒:即两种设备各准备售出多少件，使得在规定的营业时间里营业额最大。这是一个有约束的最优化问题求解，考虑用f m i n c o n函数问题六:某车间生产A、B两种产品，已知生产产品A、B需要原料分别为3 公斤和4 公斤,所需的工时分别为5 分钟和3 分钟，现在可以应用的原料为1 2 0 公斤,工时为150分钟,每生产一件A和 B分别可获得7 元和5 元的利润，应当如何安排生产A、B 的件数，才干使车间获得最大利润？提醒:线性规划问题，考虑用1 in p r o g 函数问题七:某种作物在所有生产过程中至少需要3 2 公斤氮，磷 以 2 4 公斤为宜，钾不得超过4 2公斤。
18、现有甲、乙、丙、丁 4 种肥料，各种肥料的单位价格及含氮、磷、钾的数量如下表所示：各种肥料的单位价格及含氮、磷、钾的数量(单位：kg)各种元素及价格甲乙丙丁氮0.030.300.15磷0.0500.200.10钾0.14000.07价格0.0 40.1 50.100.125。请问，应如何配合使用这些肥料，使得既能满足作物对氮、磷、钾的需要,又能使施肥成本最低？提醒:线性规划问题，考虑用1 inprog函数第七类：常微分方程求解。问题一(B级):生活在南非克鲁格国家公园的黑斑羚种群x(f)可以用如下方程来建模。dx/dt=(ibx sin a ty x其中r,b 和 a 是常数，输入它们的值和x
19、 的初值,计算两年时间内每月的黑斑羚种群数量，并绘制变化曲线。问题二(A级)：80kg的伞兵(p arat r o。pe r)在 6 00m高度从飞机跳落,5 s后降落伞打开，作为时间函数的伞兵高度y(t)由如下方程给出：y=-g +a(t)/my(0)=600 my(0)=Om/s其中，g=9.81m/s2为重力加速度,m =80 k g为伞兵质量。空气阻力a(t)和速度平方成比例，但降落伞打开前后取不同的比例常数。小(t 5 sa(t)=5s(1)在K1=0,K2=0的假设下，求自由落体的解析解。问：降落伞在什么高度打开?需多长时间到达地面?着地的冲击速度是多少?绘出高度关于时间的曲线,并
20、对图形作适当的标注。4(2)在K1=1 /1 5,K2=4/1 5的情况下，问：降落伞在什么高度打开?需多长同问到达地面？着地的冲击速度是多少?绘出高度关于时间的曲线,并对图形作适当标注。问题三(A级)：在以水平x轴、垂 直y轴、发射点为原点的静态直角坐标系中，拟定球形炮弹的轨迹。在此坐标中，发射体初速度大小为火，且和x轴之间的角度为名弧度。发射体仅受重力和空气阻力D的影响。气动阻力取决于或许存在的任何风力。描述发射体运动的方程如下：x=v cos 9,y=vsin 0,.g D6=-cos 9,v=-gsin0.v m该问题的常数有重力加速度g=9.8 1 m/s2,质量m =15 k g,
21、初速度%=50m/s。假设风向为水平、风速为特定期间函数w(t)。气动阻力正比于炮弹相对于风速之平方：COS r cD(t)=(x-w(t)2+y2),式中，阻力系数c=0.2,空气密度p=1.29 k g/m 3,炮弹截面面积s=0.25m2 考虑下面四种不同的风力条件：无风,始终有w(t)=0.稳定逆风，始终有w(t)=-1 0m/s.间歇顺风，时 间t的整数部分为偶数时,w(t)=10m/s;否则为零。阵风，w(t)是均值为0、标准差为1 0m /s的高斯变量。在M ATLAB中，实 数t的整数部分用flo o r(t)函数计算。0均值。标准差的高斯变量可由ra n d n函数产生。对于
22、这四种风力条件的每种情况，进行如下计算：求17条运动轨迹,初始角为5 度的倍数，g|J 90=k n/3 6,k=l,2.1 7。把 1 7 条轨迹画在同一幅图上。请拟定，哪条轨迹的射程最远，并说出该轨迹的初始角度、飞行时间、射程、落地速度以及求解该方程所需的计算步数。四种风力条件中的哪个需要的计算量最多?为什么？问 题 四 A级)在 1 9 6 8 年墨西哥奥林匹克运动会上,B o bB e a m o n 发明了一项跳远(l o n g j um p)世界纪录8.9 0 m。它比前世界纪录多了 0.8 0 m。从那以后，该记录仅在1 9 9 1 年于东京举行的比赛中被M i k eP o
23、w el l 以8.9 5 m 打破一次。在 B e a m o n 不可思议的一跳之后，有些人认为2 2 5 0 m 海拔的墨西哥城的较低空气阻力是奉献因素。本题就研究这种也许性。本题的数学模型和前面的炮弹轨迹模型相同。固定的直角坐标系有水平x 轴、垂 直 y轴,且以起跳板为原点。运动员起跳初速度的大小为为，与x轴的夹角为。弧度。起跳后仅受重力和气动阻力D 作用。D正比于速度大小的平方。在无风情况下，跳远运动描述方程如下x=v c o s 0，y =v s in 9 ,.g D0 c o s 0,v -gs in0.vm气动阻力为D=芋(尸+V)本题所用常数重力加速度g=9.8 1 m/s
24、2,质 量 m=8 0 k g,阻力系数c=0.7 2,跳远运动员的截面积为0.5 0 m2,起跳角度。o=2 2.5/8 弧度。A请用不同初速度火和空气密度p,计算四种不同的跳远。每次跳远长度为：x ),而腾空时长t/由条件y (t f)=O 决定。1(A)高海拔处的标称跳远。v0=1 0 m/s,p =0.9 4 k g/m3o(2)海平面处的标称跳远。v0=1 0 m/s,p=l.2 9 k g/m3o(3)高海拔处短跑选手跳法。p=0.9 4 k g/m3o请拟定跳远长度达成B e amo n的 8.9 0 m纪录所需的初速度%。(4)海平画处短跑选手跳法。p=L 2 9 k g/m3,以及由(3)算得的%初速度。请用你的计算结果完毕下列表格的填写。v0 Th e t a 0 Rh o D is t a ne e1 0.0 0 0 0 2 2.5 0 0 0 0.9 40 0?空气密度和起跳初速度,哪个影响更大?1 0.000022.5 0 0 01 .2 900?22.500 00.940 08.90 0 0?2 2.50001 .2 9 00?