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1、关于线性代数二次型第一页，讲稿共四十二页哦二次型的概念二次型的概念定义定义叫做叫做二次型二次型。含有含有n个自变量个自变量 的的二次齐次函数二次齐次函数如果二次型的系数都为实数，则称二次型为如果二次型的系数都为实数，则称二次型为实二次型实二次型。例如例如 是二次型是二次型 不是二次型不是二次型 我们要研究它的什么问题我们要研究它的什么问题?第二页，讲稿共四十二页哦为平面上一条二次曲线为平面上一条二次曲线经坐标变换经坐标变换:几几 何何 背背 景景第三页，讲稿共四十二页哦为空间上一二次曲面的一般形式为空间上一二次曲面的一般形式经坐标变换经坐标变换:几几 何何 背背 景景第四页，讲稿共四十二页哦经
2、坐标变换经坐标变换1、这种结果能否推广到四元，甚至、这种结果能否推广到四元，甚至n元二次型上去？元二次型上去？2、如果可以，相应的变换如何寻找，结果如何实现？、如果可以，相应的变换如何寻找，结果如何实现？现有两个问题：第五页，讲稿共四十二页哦二次型二次型 f对称矩阵对称矩阵 A对称矩阵对称矩阵 A 的秩定义为的秩定义为二次型二次型 f 的秩的秩一一对应一一对应 二次型可表示为二次型可表示为 矩阵形式矩阵形式 （其中（其中A为对称矩阵为对称矩阵）二次型的矩阵及其秩二次型的矩阵及其秩第六页，讲稿共四十二页哦例例4.14 设二次型设二次型求（求（1）f的矩阵的矩阵A;（2）当当X=时，求时，求f的值
3、。的值。解解:（1）（2）第七页，讲稿共四十二页哦例例4.15 设设B为为n阶方阵，阶方阵，因为因为求证二次型求证二次型矩阵是矩阵是 证明证明 所以所以由于由于是一代数式，故是一代数式，故则则从而二次型从而二次型矩阵是矩阵是第八页，讲稿共四十二页哦例例4.16求二次型求二次型的矩阵的矩阵A,并求并求f的秩。的秩。解解:由由例例4.15，得到，得到由于由于故故f的秩为的秩为2。则则由于对称矩阵由于对称矩阵 A 的秩定义为的秩定义为二次型二次型 f 的秩，的秩，如何求二次型的矩阵？如何求二次型的矩阵？第九页，讲稿共四十二页哦例例4.17求二次型求二次型经过线性变换经过线性变换解解:之后的表达式。之
4、后的表达式。令令有有则则第十页，讲稿共四十二页哦只含平方项的二次型只含平方项的二次型 对应的矩阵为对角形矩阵对应的矩阵为对角形矩阵 第十一页，讲稿共四十二页哦二次型的标准形二次型的标准形定义定义就称此二次型为原来二次型的就称此二次型为原来二次型的标准形标准形。如果二次型如果二次型 经过可逆线性变经过可逆线性变换换x=Hy变成变成y的二次型的二次型第十二页，讲稿共四十二页哦定理定理1经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。经过可逆线性变换后，二次型的秩不变。如如例例4.17 经线性变换经线性变换 化得标准形化得标准形 第十三页，讲稿共四十二页哦用配方法把二次型化成标准型用配方法把二次型化成标准型作线
5、性变换作线性变换即即 解解 可得二次型的标准形可得二次型的标准形 例例 第十四页，讲稿共四十二页哦定义设设A,B为为 n 阶方阵阶方阵,如果存在如果存在 n 阶可逆矩阵阶可逆矩阵C,使得使得则称矩阵则称矩阵A与与B是合同的是合同的,称矩阵称矩阵C为为合同变换矩阵合同变换矩阵.结论结论 实对称矩阵一定与对角形矩阵合同。实对称矩阵一定与对角形矩阵合同。第十五页，讲稿共四十二页哦 证明证明 A是对称矩阵，则是对称矩阵，则 AT=A。于是于是（1）（2）定理4.10对于任意可逆矩阵对于任意可逆矩阵C,令令如果如果 A 是对称是对称矩阵矩阵,则则B也是对称矩阵也是对称矩阵,且且R(A)=R(B).第十六
6、页，讲稿共四十二页哦将二次型化为标准形的实质问题将二次型化为标准形的实质问题一般形式一般形式 化为标准形式化为标准形式 经可逆变换经可逆变换 本质问题：寻找可逆矩阵本质问题：寻找可逆矩阵P，使得，使得 回顾上一章知识，能否解决？如何解决？回顾上一章知识，能否解决？如何解决？上一章的结论上一章的结论:对于实对称阵对于实对称阵A,一定存在正交阵一定存在正交阵P使得使得A相似对角阵相似对角阵,即即:第十七页，讲稿共四十二页哦 证：由于证：由于A是是n阶实阶实对称矩阵，则必有正交矩阵对称矩阵，则必有正交矩阵P,P,使使用正交变换化二次型为标准型用正交变换化二次型为标准型对对 作作 正交变换正交变换 则
7、有则有 定理定理4.11任给二次型任给二次型总有正交变换总有正交变换x=Py使使 f 化为标准形化为标准形其中其中为为A的所有特征值的所有特征值.第十八页，讲稿共四十二页哦正交变换对称矩阵对称矩阵A正交矩阵正交矩阵P用正交变换化二次型为标准型用正交变换化二次型为标准型 第十九页，讲稿共四十二页哦用正交变换化二次型为标准型的具体步骤用正交变换化二次型为标准型的具体步骤2.2.求矩阵求矩阵A A的特征值的特征值3.对每个特征值对每个特征值 ，求对应的特征向量，求对应的特征向量 4.将特征向量正交化、单位化，得到将特征向量正交化、单位化，得到1.写出二次型的矩阵写出二次型的矩阵A5.构造正交矩阵，写
8、出相应的正交变换及标准形构造正交矩阵，写出相应的正交变换及标准形 正交矩阵正交矩阵 正交变换正交变换 标准形标准形 第二十页，讲稿共四十二页哦得特征值得特征值可顺次求得单位特征向量可顺次求得单位特征向量例例 用正交变换，化下列二次型为标准形用正交变换，化下列二次型为标准形 解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 由由 令令 则经正交变换则经正交变换 ，可得标准形，可得标准形 第二十一页，讲稿共四十二页哦例、例、试用正交变换化二次型试用正交变换化二次型为标准型为标准型矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为特特征征值值正交化正交化得线性无关的特征向量得线性无关的特征向量 可得特征向量可得特征向量 解解
9、:第二十二页，讲稿共四十二页哦单位化单位化作正交变换作正交变换代入代入f，得到标准型，得到标准型第二十三页，讲稿共四十二页哦例例求下列平面图形所围图形的面积求下列平面图形所围图形的面积：解解A 的特征值为经过正交变换曲线可化为标准形第二十四页，讲稿共四十二页哦惯性定律惯性定律 对于同一个二次型的标准形，非零项的个数是固对于同一个二次型的标准形，非零项的个数是固定的定的(称为称为二次型的二次型的惯性指标惯性指标），等于二次型的秩，且正），等于二次型的秩，且正项的个数是固定的（称为项的个数是固定的（称为正惯性指标正惯性指标），负项的个数也是），负项的个数也是固定的（称为固定的（称为负惯性指标负惯性
10、指标）。f 的惯性指标的惯性指标=f 的矩阵的矩阵 A 的非零特征值的个数的非零特征值的个数=R(A)f 的正惯性指标的正惯性指标=f 的矩阵的矩阵 A 的正特征值的个数的正特征值的个数f 的负惯性指标的负惯性指标=f 的矩阵的矩阵 A 的负特征值的个数的负特征值的个数第二十五页，讲稿共四十二页哦二次型的规范形二次型的规范形 二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理二次型的标准形是可以不同的，但由惯性定理可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是，可知：标准形中正项、负项的项数是固定的，于是，如下形式的标准形是唯一的：如下形式的标准形是唯一的：以以 1 或或-1 为系数的标准形称为为系数的标
11、准形称为二次型的规范形。二次型的规范形。结论结论：二次型的规范形是唯一的。：二次型的规范形是唯一的。补充补充第二十六页，讲稿共四十二页哦4.4.3 二次型的正定性二次型的正定性 定义定义：第二十七页，讲稿共四十二页哦例例 判定下列二次型的正定性判定下列二次型的正定性 正定正定 负定负定 半负定半负定 半正定半正定 不定不定 第二十八页，讲稿共四十二页哦二次型为二次型为正定正定二次型的二次型的必要条件必要条件是是:所有平方项的系数都所有平方项的系数都大于零大于零 二次型为二次型为负定负定二次型的二次型的必要条件必要条件是是:所有平方项的系数都所有平方项的系数都小于零小于零 定理定理4.12 实二
12、次型为实二次型为正定正定二次型的二次型的充分必要条件充分必要条件是是:二次型的标准形的二次型的标准形的n个系数都个系数都大于零。大于零。第二十九页，讲稿共四十二页哦定理定理4.12 实二次型为实二次型为正定正定二次型的二次型的充分必要条件充分必要条件是是:二次型的标准形的二次型的标准形的n个系数都个系数都大于零。大于零。证明证明设可逆变换设可逆变换使得使得充分性充分性任给任给则则若若故故必要性必要性反证反证.假设某个假设某个取取而而结论与结论与f为正定矛盾。为正定矛盾。第三十页，讲稿共四十二页哦判定二次型的正定性判定二次型的正定性定理定理4.134.13 若若A是是n阶实对称矩阵，则下列命题是
13、等价的：阶实对称矩阵，则下列命题是等价的：（1）xTAx是正定二次型（或是正定二次型（或A是正定矩阵）；是正定矩阵）；（2）A的正惯性指标为的正惯性指标为n；（3）存在可逆矩阵）存在可逆矩阵P，使得，使得A=PTP；（4）A的的n个特征值全大于零。个特征值全大于零。第三十一页，讲稿共四十二页哦推论推论第三十二页，讲稿共四十二页哦例例 证明：如果证明：如果A是正定矩阵，则是正定矩阵，则A1、AT都是正定矩阵。都是正定矩阵。因为是正定矩阵，所以的特征值全大于零因为是正定矩阵，所以的特征值全大于零设的特征值为设的特征值为，则，则而的特征值为而的特征值为所以所以的特征值全大于零的特征值全大于零所以所以
14、为正定矩阵为正定矩阵的特征值为的特征值为证明证明第三十三页，讲稿共四十二页哦解出特征值解出特征值故故A是正定矩阵，是正定矩阵，f 是正定二次型。是正定二次型。例例 判断二次型的正定性判断二次型的正定性 解法解法1 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 第三十四页，讲稿共四十二页哦定理定理4.14 (hurwitz4.14 (hurwitz定理）定理）定义定义设设n阶方阵阶方阵我们把我们把n个行列式个行列式都叫做矩阵的顺序主子式。都叫做矩阵的顺序主子式。二次型为正定的充分必要条件是：二次型为正定的充分必要条件是：二次型的矩阵的所有顺序主子式大于二次型的矩阵的所有顺序主子式大于第三十五页，讲稿共四十二页哦
15、推论推论二次型为负定的充分必要条件是：二次型为负定的充分必要条件是：二次型的矩阵的所有奇数阶顺序主子式小于，偶数阶二次型的矩阵的所有奇数阶顺序主子式小于，偶数阶顺序主子式大于顺序主子式大于第三十六页，讲稿共四十二页哦解出特征值解出特征值故故A是正定矩阵，是正定矩阵，f 是正定二次型。是正定二次型。例例 判断二次型的正定性判断二次型的正定性 解法解法1 二次型的矩阵为二次型的矩阵为 第三十七页，讲稿共四十二页哦A的三个顺序主子式为的三个顺序主子式为所以所以A是正定矩阵，是正定矩阵，f 是正定二次型。是正定二次型。例例 判断二次型的正定性判断二次型的正定性 解法解法2 二次型的矩阵为二次型的矩阵为
16、 第三十八页，讲稿共四十二页哦解解 二次型的矩阵二次型的矩阵A的三个顺序主子式为的三个顺序主子式为所以所以 f 为负定二次型。为负定二次型。例例 判断二次型的正定性判断二次型的正定性 第三十九页，讲稿共四十二页哦解解二次型的矩阵为二次型的矩阵为要使要使A正定正定,则应有则应有例例当当 为何值时为何值时,下列二次型是正定的下列二次型是正定的 A的三个顺序主子式为的三个顺序主子式为 第四十页，讲稿共四十二页哦1.将二次型化为标准形将二次型化为标准形 2.求出二次型矩阵的特征值求出二次型矩阵的特征值 3.计算二次型矩阵的顺序主子式计算二次型矩阵的顺序主子式判别正定二次型（矩阵）的判别正定二次型（矩阵）的 三种方法：三种方法：第四十一页，讲稿共四十二页哦感感谢谢大大家家观观看看第四十二页，讲稿共四十二页哦