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1、一次函数典型例题剖析一次函数典型例题剖析 一次函数是初中数学学习的重要内容，它是“数”与“形”的有机结合体，也是中考试题的热点之一如何学好一次函数呢？下面对本章的一些典型例题进行剖析，希望对大家的学习有所帮助1 关于一次函数的有关概念 例1 当m取什么值时，y（m2)xm24是正比例函数? 分析 由正比例函数意义可知，m20,且常数项m240 解由m240且m20，得m2且m2 所以当m2时,函数y（m2）xm24是正比例函数 点评 形如ykxb（k、b是常数，k0）的函数，叫做一次函数特别地，当b0时，即为正比例函数ykx特别注意，k0是函数存在的必要条件2结合图像对实际问题中的函数关系进行
2、分析例2 列火车从南京站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间,火车到达镇江站减速停车下列图像中,大致刻画火车在这段时间速度随时间变化情况的是（ ） 分析与解 火车开出时加速，速度随时间变化而增大，匀速行驶时，速度是保持不变，减速时速度随时间变化而减小，最终为0，图像B大致能反映这一变化情况，故选项为B例3 2008年5月12日14时28分四川省汶川发生里氏8.0级地震某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480 km的灾区，乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1。25 h（从甲组出发时开始计时)图1中的折线ABD和线段EF分别表示甲、乙两组
3、所走路程y甲（km）、y乙(km）与时间x(h）之间的函数关系对应的图像请根据图像所提供的信息，回答下列问题： (1)由于汽车发生故障，甲组在途中停留了_h； （2)甲组的汽车排除故障后,立即提速赶往灾区甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米?(3)为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的距离不超过25 km请通过计算判断，按图像所表示的走法是否符合约定 分析与解 (1) t4.931.9(h） (2)确定甲距出发点的距离，也就是求点A或B的纵坐标这就转化为求直线BD的关系式由图可知，可通过求点C的坐标加以解决而求点C的坐标必须先求出直线EF的关系式 设直线EF的
4、关系式为y乙kxb(k0) 因为点E（1.25，0)、F(7。25,480）在直线EF上，则得，解得 所以直线EF的关系式是y乙80x100 因为点C在直线EF上，且点C的横坐标为6，代入上式，得 y380，所以点C的坐标是（6，380） 设直线BD的关系式为 y甲mxn（m0） 因为点C（6，380）、D（7，480)在直线BD上，所以,解得 所以直线BD的关系式是y甲100x220。 把点B的横坐标4。9代入y甲，得B(4。9，270)，所以甲组在排除故障时，距出发点的路程是270 km （3）由图像可知甲、乙两组在4.9 h和7h时，两车相距最远 在4.9 h时,y乙y甲804.9100
5、(1004.9220）22 km； 在7h时，y甲y乙1007220（807100）20 km 因为22 km和20 km都小于25 km，所以按图像所表示的走法符合约定 说明 解决函数图像问题的关键是在阅读文字语言的同时，要能对图像进行观察、分析，以获取有效解题信息,从读图、识图到用图，增强运用函数图像的能力2关于一次函数图像和性质 例4已知一次函数的图像经过点(3，3)，且与直线y4x3的交点在x轴上 (1)求这个一次函数的关系式； （2)此函数的图像经过哪几个象限？ (3）求此函数的图像与坐标轴围成的三角形面积 分析(1)本题中一次函数的关系式有两个待定系数k和b,题中给定了它过（3,3
6、）,又由其与直线y4x3的交点在x轴上,可先求出该交点的坐标，然后由待定系数法求出它的关系式；（2）依据k和b的值可确定直线经过的象限；（3)根据直线与坐标轴的交点确定三角形的边长及这边上的高 解 （1）由直线y4x3，得 当y0时，x 所以它与x轴的交点为(,0） 所以直线ykxb经过点（3，3）和点(，0），可得，解得 所以这个一次函数的关系式为yx1 (2）因为k0，b10,所以此函数的图像经过第一、二、四象限 (3)因为当x0时,y1；当y0时,x，所以该一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为 说明 一次函数ykxb(k0）的图像是一条经过点(，0）和点(0，b）的直线，“k值定增减
7、，b值定上下”，即k值决定了一次函数的增减性，b值决定了直线与y轴交点的位置3关于一次函数的实际应用例5某市粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食,全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库已知甲库有粮食100 t，乙库有粮食80 t，而A库的容量为70 t,B库的容量为110 t从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表（表中“元tkm”表示每吨粮食运送1 km所需钱数) (1）若甲库运往A库粮食x t,请写出将粮食运往A、B两库的总运费y（元）与x（吨)的函数关系式; （2)当甲、乙两库各运往A、B两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少?分析本题可以通过列表格的方
8、法将运往各仓库的粮食数量表示出来（如下表），结合题目中的路程和运费表,帮助理解题意，建立函数关系式 解(1)根据题意,得 y1220x1025 (100x)1215(70x)820110(100x） 30x39 200(0x70). （2）上述一次函数中k300，所以y随x的增大而减小即当x70 t时,总运费最省 最省的总运费为307039 20037 100（元），即从甲库运往A库70 t粮食，往B库运送30 t粮食，从乙库运往B库80 t粮食时，总运费最省为37 100元说明 应用一次函数可以解决生产实践、日常生活中的很多如行程、面积等实际问题因此,我们在学习过程中应注重应用的理解和学习，以达到学以致用的目的3