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1、华中科技大学华中科技大学 力学力学(l xu)(l xu)系系钱钱 勤勤材材 料料 力力 学学Mechanics of MaterialsTel:87543837(O)第一页，共90页。第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强度强度材料力学材料力学(ci lio l xu)(ci lio l xu)*平面弯曲平面弯曲(wnq)(wnq)的概念的概念*梁的载荷及计算简图梁的载荷及计算简图*剪力与弯矩剪力与弯矩*剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图*剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分关系*纯弯曲梁的正应力纯弯曲梁的正应力*梁的切应力梁的切应力*梁梁弯曲时的强度计算弯曲
2、时的强度计算第二页，共90页。剪力与弯矩剪力与弯矩梁的内力梁的内力(nil)(nil)上节回顾上节回顾上节回顾上节回顾(hug)(hug)(hug)(hug)弯曲弯曲(wnq)变形变形 直直线变成曲线线变成曲线的变形形式，简称的变形形式，简称弯曲弯曲。梁梁外力外力垂直于垂直于杆的轴线，使得杆的杆的轴线，使得杆的轴线由轴线由以弯曲为主要变形的杆件以弯曲为主要变形的杆件平面弯曲平面弯曲外力外力作用在梁的作用在梁的纵向对称平面纵向对称平面内，内，使梁的使梁的 轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形第三页，共90页。剪力剪力(FS)与横截面的法向垂直与横截面的法向垂直
3、(chuzh)的内的内力力 弯矩弯矩(M)横截面上的内力偶矩横截面上的内力偶矩剪力与弯矩剪力与弯矩梁的内力梁的内力(nil)(nil)上节回顾上节回顾上节回顾上节回顾(hug)(hug)(hug)(hug)第四页，共90页。符号符号(fho)规定规定剪力与弯矩剪力与弯矩梁的内力梁的内力(nil)(nil)剪力与弯矩的正负号规则剪力与弯矩的正负号规则(guz)(guz)剪剪剪剪力力力力F FS S使使使使截截截截开开开开部部部部分分分分梁梁梁梁段段段段产产产产生生生生顺顺顺顺时时时时针针针针方方方方向向向向转转转转动趋势者为正；逆时针方向转动者为负。动趋势者为正；逆时针方向转动者为负。动趋势者为
4、正；逆时针方向转动者为负。动趋势者为正；逆时针方向转动者为负。FSFS弯弯弯弯矩矩矩矩M M 由由下下转转向向上上为为正正(微微段段向向上上凹凹)，反之为负。反之为负。上节回顾上节回顾上节回顾上节回顾 第五页，共90页。实用实用(shyng)(shyng)法则法则弯矩弯矩：剪力与弯矩剪力与弯矩(外力矩外力矩(l j)左顺右逆，左顺右逆，M为正。为正。剪力剪力：(外力外力(wil)左上右下，左上右下，FS为正。为正。上节回顾上节回顾上节回顾上节回顾 第六页，共90页。剪力图剪力图(lt)(lt)和弯矩图和弯矩图一、剪力方程一、剪力方程(fngchng)(fngchng)和弯矩方程和弯矩方程(fn
5、gchng)(fngchng)二、剪力图二、剪力图(lt)(lt)和弯矩图和弯矩图第四章第四章 弯曲强度弯曲强度三、列方程法作剪力图和弯矩图三、列方程法作剪力图和弯矩图四、叠加法作弯矩图四、叠加法作弯矩图第七页，共90页。剪力图剪力图(lt)(lt)和弯矩图和弯矩图剪力方程剪力方程(fngchng)一、剪力方程一、剪力方程(fngchng)(fngchng)和弯矩和弯矩方程方程(fngchng)(fngchng)弯矩方程弯矩方程剪力随横截面变化的函数表达式剪力随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式弯矩随横截面变化的函数表达式第八页，共90页。剪力图剪力图(lt)二、剪力图二、剪力
6、图(lt)(lt)和弯矩图和弯矩图弯矩图弯矩图2.剪力正值画在上方剪力正值画在上方(shn fn)，负值画在下方。，负值画在下方。做法：做法：1.横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；横轴表示横截面位置，纵轴表示剪力或弯矩；剪力随横截面的变化曲线剪力随横截面的变化曲线弯矩随横截面的变化曲线弯矩随横截面的变化曲线剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图3.弯矩弯矩正正值画在值画在下下方，方，负负值画在值画在上上方。方。正值弯矩在受拉边正值弯矩在受拉边第九页，共90页。作剪力图作剪力图(lt)和弯矩图的方法：和弯矩图的方法：二、剪力图二、剪力图(lt)(lt)和弯矩图和弯矩图 1.列方程法列方程法 2.叠加
7、法叠加法 3.控制点法控制点法剪力图剪力图(lt)(lt)和弯矩图和弯矩图第十页，共90页。三、列方程法作剪力图三、列方程法作剪力图(lt)(lt)和弯矩图和弯矩图剪力图剪力图(lt)(lt)和弯矩图和弯矩图第十一页，共90页。2.列内力列内力(nil)方程方程例例 2 作图示梁的内力图作图示梁的内力图(lt)。解：解：Mx_ql823.作内力图作内力图(lt)1.求支反力求支反力剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图第十二页，共90页。例例 3 作图示梁的内力图作图示梁的内力图(lt)。FalFblFxSMxFabl内力图内力图(lt)特点：特点：解：解：2.列内力列内力(nil)方程方程3.作内力图
8、作内力图1.求支反力求支反力FS 图突变，突变值等于集中力大小，图突变，突变值等于集中力大小，M图图转折。转折。集中力作用截面，集中力作用截面，第十三页，共90页。例例4 作图示梁的内力图作图示梁的内力图(lt)。lM eFxS集中集中(jzhng)力力偶作用偶作用截面截面(jimin)(jimin)，M M图突变，突变值等图突变，突变值等MxlM belM ae内力图特点：内力图特点：解：解：2.列内力方程列内力方程3.作内力图作内力图1.求支反力求支反力于集中力偶大小，于集中力偶大小，FS图图不变。不变。第十四页，共90页。作梁的内力图的一般作梁的内力图的一般(ybn)(ybn)步骤步骤求
9、约求约束束(yush)反力反力截取截取研究研究对象对象受受力力图图(lt)列平列平衡方衡方程程求解求解内力内力画内画内力图力图静力静力平衡平衡方程方程载荷载荷突变突变处分处分段段内力内力按正按正向假向假设设矩心矩心取截取截面形面形心心内内力力方方程程图形图形应封应封闭闭剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图第十五页，共90页。例例3 已知已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN m，求梁的内力求梁的内力(nil)。解：解：1）求约束）求约束(yush)反反力：力：MA(F)=12FE+M0-8F-24q=0 FAy=49kN；FE=32kNBAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyFAx=0
10、F FE E Fx=FAx=0 Fy=FAy+FE-F-4q=0 2)截面截面(jimin)法求内力法求内力3)AB段段:0 x14mx1FAy0q F Fy y=F FA Ay y-qx1-FS1S1=0 FS1=49-9=49-9x x1 MM1 1FS1c c2 22 2 Mc(F)=M1+qx1/2-FAyx1=0 M1=49x1-4.5x1剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图第十六页，共90页。例例3 已知已知q=9kN/m，F=45kN，M0=48kN m，求梁的内力求梁的内力(nil)。2)截面截面(jimin)法求内力法求内力 BC段段:4m x26m F Fy y=FAy y-4-4
11、q-F FS2S2=0=0 F FS2=13kN=13kNBAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyF FE Ex2FAy0BqMM2 2FS2c c Mc c(F F)=M2 2+4q(x2 2-2)-2)-FA Ayx2 2=0=0 MM2 2=13=13x2 2+72(kN m)m)CDCD段段段段:6m:6m x3 38m8mx3FAy0BqCM0MM3 3FS3c c DEDE段段:8m x x4 412m12mx4FAy0BqCM0FDMM4 4FS4c cF FS3S3=13kN;=13kN;MM3 3=13x x3+24(kN+24(kN m)m)F FS4=-32kN;M
12、4=384-32x4 4(kN(kN m)m)剪力图剪力图(lt)(lt)和弯矩图和弯矩图第十七页，共90页。取右边取右边(yu bian)部分如部分如何何?DE段段:8m x412mBAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyF FE Ex4FAy0BqCM0FDFS4S4=-=-FE=-32kNMM4=F FE E(12-x x4)=384-32x x4 DE段段:8m x412mFS4=-32kN;M4=384-32x4(kN m)F FE EMM4 4FS4c c0 x4MM4 4FS4c c内力内力(nil)同样要按正向同样要按正向假设假设!结果应当结果应当(yngdng)相同。相
13、同。可以用于验算。可以用于验算。剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图第十八页，共90页。BAM0F Fq4m4m2m2mxCDEFAyF FE E分段分段(fn dun)处的剪力弯处的剪力弯矩值：矩值：x1=0:FSA=49；MA=0内力方程内力方程:AB段段:0 x4mFS1=49-9x1;M1=49x1-4.5x1BC段段:4m x6mFS2=13;M2=13x2+72FS3=13;M3=13x3+24FS4=-32;M4=384-32x42 2 CD段段:6m x8m DE段段:8m x 0q 0q 0F =0F 0水平线水平线斜直线斜直线斜直线斜直线抛物线抛物线极小值极小值抛物线抛物线极大值极
14、大值MxM图图q图图F 图图常量常量 SSdF (x)dxSSSSSS剪力、弯矩和分布载荷剪力、弯矩和分布载荷(zi h)(zi h)集度间的微分关系集度间的微分关系第三十页，共90页。二、突变二、突变(tbin)(tbin)条件条件qxFxMxM图图q图图F 图图FFFFSSMeMeMeMe突变条件突变条件(tiojin)(tiojin)对应表对应表剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分(wi fn)(wi fn)关系关系第三十一页，共90页。三、控制点法作剪力图三、控制点法作剪力图(lt)(lt)和弯矩图和弯矩图剪力、弯矩和分布载荷集度间的微分剪力、弯矩和分布载荷
15、集度间的微分(wi fn)(wi fn)关系关系任一段梁上，剪力增量等于任一段梁上，剪力增量等于q q 图的面积图的面积(min j)(min j)，弯矩增量等于剪力图的面积弯矩增量等于剪力图的面积(min(min j)j)。考虑任一段梁考虑任一段梁(AB段段)，把平衡微分方程在这段梁上积分，把平衡微分方程在这段梁上积分第三十二页，共90页。例例 7 试作试作(sh zu)图示外伸梁的图示外伸梁的FS和和M图，求内力最大值。图，求内力最大值。解：解：1.求支反力求支反力2.作作FS图图3.作作M图图GF (kN)S202030第三十三页，共90页。解：解：4.求求AD段的极值段的极值(j zh
16、)弯矩弯矩(1)(1)求极值求极值(j zh)(j zh)弯矩的弯矩的位置位置解析解析(ji x)(ji x)法：法：令令得到得到几何法几何法：由剪力图：由剪力图：得到得到例例 7 试作图示外伸梁的试作图示外伸梁的FS和和M图，求内力最大值。图，求内力最大值。GF (kN)S202030第三十四页，共90页。解：解：(2)(2)求极值求极值(j zh)(j zh)弯矩的弯矩的数值数值例例 7 试作试作(sh zu)图示外伸梁的图示外伸梁的FS和和M图，求内力最大值。图，求内力最大值。4.求求AD段的极值段的极值(j zh)弯矩弯矩GF (kN)S202030第三十五页，共90页。解：解：5.求
17、梁的求梁的 和和例例 7 试作试作(sh zu)图示外伸梁的图示外伸梁的FS和和M图，求内力最大值。图，求内力最大值。GF (kN)S202030第三十六页，共90页。控制点法画剪力图控制点法画剪力图(lt)与弯矩图主要步骤：与弯矩图主要步骤：根根根根据据据据载载载载荷荷荷荷(zi(zi h)h)及及及及约约约约束束束束力力力力的的的的作作作作用用用用位位位位置置置置，确确确确定定定定控控控控制制制制点点点点(面面面面)。应应用用截截面面法法确确定定(qudng)控控制制面面上上的的剪剪力力和和弯弯矩矩数数值值 (假定剪力和弯矩都为正方向假定剪力和弯矩都为正方向)。建建立立F FS S一一一一
18、x和和和和M一一一一x坐坐坐坐标标标标系系系系，并并并并将将将将控控控控制制制制点点点点(面面面面)上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和弯矩值标在相应的坐标系中。和弯矩值标在相应的坐标系中。和弯矩值标在相应的坐标系中。和弯矩值标在相应的坐标系中。应应用用平平衡衡微微分分方方程程确确定定各各段段控控制制面面之之间间的的剪剪力力图图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第四四章 弯曲强度 第三十七页，共90页。例例 9 qBAD Da a4 4a aqaqaF FAyAyF FByBy 梁梁梁梁由由由由一一一一个个个个固固固固定
19、定定定铰铰铰铰支支支支座座座座和和和和一一一一个个个个可可可可动动动动铰铰铰铰支支支支座座座座所所所所支支支支承承承承，但但但但是是是是梁梁梁梁的的的的一一一一端端端端向向向向外外外外伸伸伸伸出出出出，这这这这 种种种种 梁梁梁梁 称称称称 为为为为 外外外外 伸伸伸伸 梁梁梁梁(overhanging(overhanging beam)beam)。梁梁梁梁的的的的受受受受力力力力以以以以及及及及(yj)(yj)各各各各部部部部分分分分尺寸均示于尺寸均示于尺寸均示于尺寸均示于图图图图中。中。中。中。试试试试画画画画出出出出：其其其其剪剪剪剪力力力力图图图图(lt)(lt)(lt)(lt)和和和
20、和弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图,并并并并确确确确定定定定剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩绝对值的最大值。绝对值的最大值。绝对值的最大值。绝对值的最大值。解：解：解：解：1 1 1 1确定确定确定确定(qudng)(qudng)(qudng)(qudng)约束力约束力约束力约束力根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由根据梁的整体平衡，由 求得求得求得求得A A、F F 二处的约束力二处的约束力二处的约束力二处的约束力 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第四章第四章 弯曲强度弯曲强度 第三十八页，共90页。qBAD Da a4 4a aqaqaF
21、FAyAyF FByByCO Ox xF FS SO Ox xMM 解解解解：2 2 2 2确确确确定定定定(qudng)(qudng)(qudng)(qudng)控控控控制制制制面面面面 由由由由于于于于ABABABAB段段段段上上上上作作作作用用用用有有有有连连连连续续续续分分分分布布布布载载载载荷荷荷荷(zi(zi(zi(zi h)h)h)h)，故故故故A A A A、B B B B两两两两个个个个截截截截面面面面为为为为控控控控制制制制面面面面，约约约约束束束束力力力力FByFByFByFBy右右右右侧侧侧侧的的的的C C C C截截截截面面面面，以以以以及及及及集集集集中中中中力力力
22、力qaqaqaqa左左左左侧侧侧侧的的的的D D D D截截截截面面面面，也也也也都都都都是控制面。是控制面。是控制面。是控制面。3 3建立建立建立建立(jinl)(jinl)坐标系坐标系坐标系坐标系建建建建 立立立立(jinl)FS(jinl)FS x x和和和和 MM x x坐坐坐坐标系标系标系标系 剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第四章第四章第四章第四章 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度 第三十九页，共90页。qaqaqBAD Da a4 4a aF FAyAyF FByByO Ox xF FS SO Ox xMM9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/
23、4 4b bd dqaqac cqaqaa ad db,cb,cqaqa2 2 解解解解：4 4 4 4 确确确确 定定定定(qudng)(qudng)(qudng)(qudng)控控控控制制制制面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩值值值值，并并并并将将将将其其其其标标标标在在在在FSFSFSFSx x x x和和和和M M M Mx x x x坐坐坐坐标系中。标系中。标系中。标系中。剪力图剪力图剪力图剪力图(lt)(lt)(lt)(lt)与弯与弯与弯与弯矩图矩图矩图矩图 第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强度强度 第四十页，共90页。qaqaqBAD Da
24、 a4 4a aF FAyAyF FByByO Ox xF FS SO Ox xMMc cqaqa9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqaa ad db,cb,cqaqa2 2 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线根据微分关系连图线根据微分关系连图线 对对对对于于于于剪剪剪剪力力力力图图图图：在在在在ABAB段段段段，因因因因有有有有均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷(zi(zi h)h)作作作作用用用用，剪剪剪剪力力力力图图图图为为为为一一一一斜斜斜斜直直直直线线线线，于于于于是是是是连连连连接接接接a a、b b两两两两点点点点，即即即即得得得得这这这
25、这一一一一段段段段的的的的剪剪剪剪力力力力图图图图；在在在在CDCD段段段段，因因因因无无无无分分分分布布布布载载载载荷荷荷荷(zi(zi h)h)作作作作用用用用，故故故故剪剪剪剪力力力力图图图图为为为为平平平平行行行行于于于于x x轴轴轴轴的的的的直直直直线线线线，由由由由连连连连接接接接c c、d d二二二二点点点点而而而而得得得得，或或或或者者者者由由由由其其其其中中中中任任任任一一一一点点点点作作作作平平平平行行行行于于于于x x轴轴轴轴的的的的直直直直线线线线而得。而得。而得。而得。剪力图剪力图剪力图剪力图(lt)(lt)(lt)(lt)与弯矩与弯矩与弯矩与弯矩图图图图 第四章第四
26、章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强度强度 第四十一页，共90页。qBAD Da a4 4a aqaqaF FAyAyF FByByO Ox xF FS SO Ox xMM 5 5根据微分关系连图线根据微分关系连图线根据微分关系连图线根据微分关系连图线 对对对对于于于于弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图：在在在在ABAB段段段段，因因因因有有有有均均均均布布布布载载载载荷荷荷荷作作作作用用用用，图图图图形形形形为为为为二二二二次次次次抛抛抛抛物物物物线线线线。又又又又因因因因为为为为q q向向向向下下下下为为为为负负负负，弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图为为为为凸凸凸凸向向向向MM坐坐坐坐标标标标正正正正方方方方
27、向向向向的的的的抛抛抛抛物物物物线线线线。于于于于是是是是，ABAB段段段段内内内内弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图的的的的形形形形状状状状便便便便大大大大致致致致(dzh)(dzh)确确确确定定定定。为为为为了了了了确确确确定定定定曲曲曲曲线线线线的的的的位位位位置置置置，除除除除ABAB段段段段上上上上两两两两个个个个控控控控制制制制面面面面上上上上弯弯弯弯矩矩矩矩数数数数值值值值外外外外，还还还还需需需需确确确确定定定定在在在在这这这这一一一一段段段段内内内内二二二二次次次次抛抛抛抛物物物物线线线线有有有有没没没没有有有有极极极极值值值值点点点点，以以以以及及及及极极极极值值值值点点点点的的的的
28、位位位位置置置置和和和和极极极极值值值值点点点点的的的的弯弯弯弯矩矩矩矩数数数数值值值值。从从从从剪剪剪剪力力力力图图图图上上上上可可可可以以以以看看看看出出出出，在在在在e e点点点点剪力为零。剪力为零。剪力为零。剪力为零。9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqaa ad db,cb,cqaqa2 2c cqaqae ee eE E 剪力图剪力图剪力图剪力图(lt)(lt)(lt)(lt)与弯与弯与弯与弯矩图矩图矩图矩图 第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强度强度 第四十二页，共90页。qA AE ExE 6 6确确确确定定定定弯弯弯弯矩矩矩矩图图图
29、图极极极极值值值值(j(j zh)zh)点的位置。点的位置。点的位置。点的位置。qBAD Da a4 4a aqaqaF FAyAyF FByByO Ox xF FS SO Ox xMM9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqaa ad db,cb,cqaqa2 2c cqaqae ee eE Ee e8181qaqa2 2/32/32e eE E 剪力图剪力图剪力图剪力图(lt)(lt)(lt)(lt)与弯与弯与弯与弯矩图矩图矩图矩图 第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强强度度 第四十三页，共90页。O Ox xF FS SO Ox xMMqBAD D
30、a a4 4a aqaqaF FAyAyF FByBy9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqaa ad db,cb,cqaqa2 2c cqaqae e8181qaqa2 2/32/32e eE E 7 7确确确确定定定定(qudng)(qudng)剪剪剪剪力力力力与与与与弯矩的最大绝对值弯矩的最大绝对值弯矩的最大绝对值弯矩的最大绝对值 从从从从图图图图中中中中不不不不难难难难得得得得到到到到(d(d(d(d do)do)do)do)剪剪剪剪力力力力与与与与弯弯弯弯矩矩矩矩的的的的绝绝绝绝对对对对值值值值的的的的最最最最大大大大值值值值分分分分别为别为别为别为
31、 剪力图剪力图剪力图剪力图(lt)(lt)(lt)(lt)与弯与弯与弯与弯矩图矩图矩图矩图 第四章第四章第四章第四章 弯曲强度弯曲强度弯曲强度弯曲强度 第四十四页，共90页。O Ox xF FS SO Ox xMMqBAD Da a4 4a aqaqaF FAyAyF FByBy9 9qa/qa/4 4a a7 7qa/qa/4 4b bd dqaqaa ad db,cb,cqaqa2 2c cqaqae e8181qaqa2 2/32/32e eE E 注注注注意意意意到到到到在在在在右右右右边边边边支支支支座座座座处处处处，由由由由于于于于约约约约束束束束力力力力的的的的作作作作用用用用，
32、该该该该处处处处剪剪剪剪力力力力图图图图有有有有突突突突变变变变（支支支支座座座座两两两两侧侧侧侧截截截截面面面面剪剪剪剪力力力力不不不不等等等等）弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图在在在在该该该该处处处处出出出出现现现现折折折折点点点点（弯弯弯弯矩矩矩矩图图图图的的的的曲曲曲曲线线线线段段段段在在在在该该该该处处处处的的的的切切切切线线线线(qixin)(qixin)斜斜斜斜率率率率不不不不等于斜直等于斜直等于斜直等于斜直线线线线cdcd的斜率）。的斜率）。的斜率）。的斜率）。剪力图剪力图剪力图剪力图(lt)(lt)(lt)(lt)与弯矩与弯矩与弯矩与弯矩图图图图 第四章第四章第四章第四章 弯曲弯曲弯
33、曲弯曲(wnq)(wnq)(wnq)(wnq)强强强强度度度度 第四十五页，共90页。xFS xqa/2qa/2FSFSqqMxMxqq 例例例例 题题题题 1010 剪力图剪力图剪力图剪力图(lt)(lt)(lt)(lt)与弯与弯与弯与弯矩图矩图矩图矩图 第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强强度度 第四十六页，共90页。qqqqxFSxFSqaFSMxMxqa2/2qa2FSqq例例例例 题题题题 1111 剪力图剪力图剪力图剪力图(lt)(lt)(lt)(lt)与弯矩与弯矩与弯矩与弯矩图图图图 第四章第四章第四章第四章 弯曲弯曲弯曲弯曲(wnq)(wnq)(wnq)(wnq)强强强
34、强度度度度 第四十七页，共90页。qqFS例例例例 题题题题 1212 剪力图剪力图剪力图剪力图(lt)(lt)(lt)(lt)与弯与弯与弯与弯矩图矩图矩图矩图 第四章第四章第四章第四章 弯曲弯曲弯曲弯曲(wnq)(wnq)(wnq)(wnq)强强强强度度度度 第四十八页，共90页。剪力图剪力图剪力图剪力图(lt)(lt)与弯矩图的绘制方法小结：与弯矩图的绘制方法小结：与弯矩图的绘制方法小结：与弯矩图的绘制方法小结：根根根根据据据据载载载载荷荷荷荷及及及及约约约约束束束束力力力力的的的的作作作作用用用用位位位位置置置置，确确确确定定定定(qudng)(qudng)控控控控制制制制面。面。面。面
35、。应应应应用用用用截截截截面面面面法法法法确确确确定定定定控控控控制制制制面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯弯弯弯矩矩矩矩数数数数值值值值(shz)(shz)(假定剪力和弯矩都为正方向假定剪力和弯矩都为正方向假定剪力和弯矩都为正方向假定剪力和弯矩都为正方向)。建建建建立立立立F FS S一一一一x x和和和和MM一一一一x x坐坐坐坐标标标标系系系系，并并并并将将将将控控控控制制制制面面面面上上上上的的的的剪剪剪剪力力力力和和和和弯矩值标在相应的坐标系中。弯矩值标在相应的坐标系中。弯矩值标在相应的坐标系中。弯矩值标在相应的坐标系中。应应应应用用用用平平平平衡衡衡衡微微微微分分分
36、分方方方方程程程程确确确确定定定定各各各各段段段段控控控控制制制制面面面面之之之之间间间间的的的的剪剪剪剪力力力力图图图图和和和和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图剪力图与弯矩图 第四章第四章 弯曲强度弯曲强度 第四十九页，共90页。刚架的内力(nil)与内力(nil)图 第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强强度度 返回返回(fnhu)返回总目录返回总目录第五十页，共90页。B 简单刚架的组成简单刚架的组成横横梁、立柱梁、立柱(
37、l zh)(l zh)与刚节与刚节点。点。立柱立柱刚节点刚节点横梁横梁 刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与与内力内力(nil)(nil)图图 第四章 弯曲(wnq)强度 刚架刚架若干杆件通过刚性连接而成的结构。若干杆件通过刚性连接而成的结构。第五十一页，共90页。面内载荷面内载荷(zi h)(zi h)作用下，刚架各杆横截作用下，刚架各杆横截面上的内力分量面上的内力分量轴力、剪力和弯矩。轴力、剪力和弯矩。特特特特 点点点点 内力分量内力分量(fn ling)(fn ling)的正负号与观察者位置的正负号与观察者位置的关系：的关系：轴力的正负号与观察者位置轴力的正负号与观察者位置(wi
38、zhi)(wi zhi)无关；无关；剪力的正负号与观察者位置无关；剪力的正负号与观察者位置无关；弯矩的正负号与观察者位置有关。弯矩的正负号与观察者位置有关。刚架的内力与内力图刚架的内力与内力图 第四章 弯曲强度 第五十二页，共90页。轴力的正负号与观察者位置轴力的正负号与观察者位置(wi(wi zhi)zhi)无关无关 刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与与内力内力(nil)(nil)图图 第四章 弯曲(wnq)强度 第五十三页，共90页。剪力的正负号与观察者位置剪力的正负号与观察者位置(wi(wi zhi)zhi)无关无关 刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与内与内力力(nil)
39、(nil)图图 第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强强度度 FS SFS S第五十四页，共90页。弯矩的正负号与观察者位置弯矩的正负号与观察者位置(wi zhi)(wi zhi)有关有关 刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与内与内力力(nil)(nil)图图 第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强强度度 第五十五页，共90页。刚架内力图刚架内力图(lt)(lt)的画法的画法(1)(1)无需建立坐标系；无需建立坐标系；(2)(2)控控制制面面、平平衡衡微微分分方方程程(wi(wi fn fn fn chn)fn chn)；(3)(3)弯矩的数值标在受拉边弯矩的数值标在受拉边;
40、(4)(4)轴力、剪力画在里侧和外侧轴力、剪力画在里侧和外侧(wi(wi c)c)均可，均可，但需标出正负号；但需标出正负号；(5)(5)注意节点处的平衡关系。注意节点处的平衡关系。刚架的内力与内力图刚架的内力与内力图 第四章 弯曲强度 第五十六页，共90页。节点节点(ji din)(ji din)处的处的平衡关系平衡关系F FNNF FS SF FNNF FS SMMMMF FNNF FS SF FNNF FS SBMMMM 刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与与内力内力(nil)(nil)图图 第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强强度度 第五十七页，共90页。例例例例 13
41、13 13 13 已知平面已知平面(pngmin)刚架上的均刚架上的均布载荷集度布载荷集度q,长度长度l。B 试：画出刚架的内试：画出刚架的内力图力图(lt)。刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与与内力内力(nil)(nil)图图 第四章 弯曲强度 第五十八页，共90页。B 解：解：1、确定、确定(qudng)约束力约束力ql 刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与内力与内力(nil)(nil)图图 第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强强度度 第五十九页，共90页。Bql解：解：解：解：2 2、确定、确定、确定、确定(qudng)(qudng)控制控制控制控制面。面。面。面。
42、BBAC 刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与与内力内力(nil)(nil)图图 第四章 弯曲(wnq)强度 第六十页，共90页。BABA 解：解：3、确定控制、确定控制(kngzh)面上的内面上的内力。力。FS(B)FN(B)M(B)考察考察(koch)立柱立柱AB的的平衡平衡 刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与与内力内力(nil)(nil)图图 第四章 弯曲强度 第六十一页，共90页。BBC解：解：解：解：3 3、确定控制、确定控制、确定控制、确定控制(kngzh)(kngzh)面上的内面上的内面上的内面上的内力。力。力。力。FN(B)FS(B)M(B)考察考察 横梁横梁(h
43、n lin)BC的平衡的平衡 刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与内与内力力(nil)(nil)图图 第四章第四章 弯曲强度弯曲强度 第六十二页，共90页。解：解：4、画剪力图、画剪力图(lt)和弯矩图。和弯矩图。qlababcb 将控制面上的剪力和弯将控制面上的剪力和弯矩分别矩分别(fnbi)标在标在FS和和M坐标坐标中。中。根据微分根据微分(wi fn)关关系连图线。系连图线。剪力图标上正负号。剪力图标上正负号。弯矩图画在受拉的弯矩图画在受拉的一侧。一侧。bc 刚架的内力与内力图刚架的内力与内力图 第四章第四章 弯曲强度弯曲强度 第六十三页，共90页。解：解：解：解：4 4、画轴、画
44、轴、画轴、画轴(huzhu)(huzhu)力力力力图。图。图。图。将控制面上将控制面上(min shn)的轴力标在的轴力标在FN坐标坐标中。中。连图线。连图线。babc 根据轴力的拉、压性根据轴力的拉、压性质质(xngzh)，在图上标上正，在图上标上正负号。负号。刚架的内力与内力图刚架的内力与内力图 第四章第四章 弯曲强度弯曲强度 第六十四页，共90页。FNFSqa2/2qa2/2例例 题题 1414 刚架的内力刚架的内力(nil)(nil)与内与内力力(nil)(nil)图图 第四章 弯曲(wnq)强度 第六十五页，共90页。结论(jiln)与讨论第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强
45、强度度 返回返回(fnhu)返回总目录返回总目录第六十六页，共90页。结论结论(jiln)(jiln)与讨论与讨论第四章 弯曲(wnq)强度 关于剪力弯矩与载荷集度之间微分关系(gun x)的证明 关于弯曲内力的几点重要结论 平衡微分关系的灵活应用平衡微分关系的灵活应用 怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩 第六十七页，共90页。三个微分方程(wi fn fn chn)一套方法(fngf)结论结论(jiln)(jiln)与讨论与讨论第四章第四章 弯曲强度弯曲强度 关于弯曲内力的几点重要结论 第六十八页，共90页。比较三个梁的受力、剪力和弯矩图的相同比较三个梁的受力、剪力和弯矩图的相同 之处
46、之处和不同之处，从中能得到什么和不同之处，从中能得到什么(shn me)(shn me)重要结论重要结论？结论结论(jiln)(jiln)与讨论与讨论第四章 弯曲(wnq)强度 关于弯曲内力的几点重要结论 第六十九页，共90页。从中能得到什么从中能得到什么 重要重要(zhngyo)(zhngyo)结论结论？qqFSFSqqqqFS 比较三种(sn zhn)情形下梁的受力、剪力和弯矩图的相同之处和不同之处.结论结论(jiln)(jiln)与讨论与讨论第四章 弯曲强度 第七十页，共90页。确定控制面上剪力和弯矩有几种(j zhn)方法？怎样确定弯矩图上极值点处的弯矩数值？结论结论(jiln)(ji
47、ln)与讨论与讨论第四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强强度度 怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩怎样快速而正确地确定控制面上的剪力和弯矩 第七十一页，共90页。力系简化方法应用于确定控制力系简化方法应用于确定控制(kngzh)(kngzh)面上剪力和面上剪力和弯矩弯矩F FP PaaFS=FPM=FP a M=FM=FP P a aF FS S=F FP PF FP PF FP PF FP P a aM=FP aFS=FP简化的直接结果简化的直接结果简化的直接结果简化的直接结果简化的间接结果简化的间接结果简化的间接结果简化的间接结果 结论结论(jiln)(jiln)与与讨论讨论第
48、四章第四章 弯曲弯曲(wnq)(wnq)强强度度 第七十二页，共90页。qq 确定控制面上确定控制面上确定控制面上确定控制面上剪力和弯矩有几种方剪力和弯矩有几种方剪力和弯矩有几种方剪力和弯矩有几种方法？怎样确定弯矩图法？怎样确定弯矩图法？怎样确定弯矩图法？怎样确定弯矩图上极值上极值上极值上极值(j zh)(j zh)(j zh)(j zh)点处点处点处点处的弯矩数值？的弯矩数值？的弯矩数值？的弯矩数值？结论结论(jiln)(jiln)与讨论与讨论第四章 弯曲(wnq)强度 平衡微分关系的灵活应用平衡微分关系的灵活应用 第七十三页，共90页。qq 通过通过(tnggu)(tnggu)平衡微分方程
49、平衡微分方程的积分确定弯矩图上极值点处的弯矩的积分确定弯矩图上极值点处的弯矩数值。数值。aaee 结论结论(jiln)(jiln)与讨论与讨论第四章 弯曲(wnq)强度 平衡微分关系的灵活应用平衡微分关系的灵活应用 任一段梁上，剪力增量等于任一段梁上，剪力增量等于q q 图的面积图的面积 弯矩增量等于剪力图的面积。弯矩增量等于剪力图的面积。第七十四页，共90页。根据梁的剪力图和弯矩图能不能根据梁的剪力图和弯矩图能不能根据梁的剪力图和弯矩图能不能根据梁的剪力图和弯矩图能不能确定梁的受力，能否确定梁的支承性确定梁的受力，能否确定梁的支承性确定梁的受力，能否确定梁的支承性确定梁的受力，能否确定梁的支
50、承性质质质质(xngzh)(xngzh)(xngzh)(xngzh)与支承位置？与支承位置？与支承位置？与支承位置？只给定梁的剪力图能不能只给定梁的剪力图能不能只给定梁的剪力图能不能只给定梁的剪力图能不能确定确定确定确定(qudng)(qudng)(qudng)(qudng)梁的受力，能不梁的受力，能不梁的受力，能不梁的受力，能不能确定能确定能确定能确定(qudng)(qudng)(qudng)(qudng)梁的支承性质梁的支承性质梁的支承性质梁的支承性质与支承位置？答案是否具有唯一与支承位置？答案是否具有唯一与支承位置？答案是否具有唯一与支承位置？答案是否具有唯一性？由给定的剪力图能否确定性