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1、北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系第五章第五章弯曲强度弯曲强度材料力学北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5 5-1 -1 纯弯曲纯弯曲及其变形及其变形5 5-2 -2 纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的时梁横截面上的正应力正应力5 5-3 -3 横横力弯曲时梁横截面上的力弯曲时梁横截面上的正应力正应力 弯曲弯曲正应力强度条件正应力强度条件5 5-7 -7 提提高梁弯曲强度的主要高梁弯曲强度的主要措施措施北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5 5-1 -1 纯弯曲纯弯曲及其及其变形变形弯曲弯曲构件横截面上的（内力）应力构件横截面上的（内力）应力内力内力剪力剪力FS弯矩弯矩M剪应力剪应力t正应力正应力
2、s北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系 某段梁的内力只有弯矩没有剪某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形称为纯弯曲力时，该段梁的变形称为纯弯曲。aaABFSMxx纯弯曲纯弯曲(Pure Bending):5 5-1 -1 纯弯曲纯弯曲及其及其变形变形北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5-25-2纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的正应力时梁横截面上的正应力一、一、 纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系静力学关系静力学关系北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系1.1.梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验横向线(mm、nn）变形后仍为直线，但有相对转动，
3、仍垂直于梁变形后的轴线。（一）变形（一）变形几何关系：几何关系：MMmmnnaabbmmnnaabb纵向线(aa、bb)变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向线变形后仍正交。5-25-2纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的正应力时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系弯曲变形与受力的假设弯曲变形与受力的假设平面平面假设假设梁的横截面在梁弯曲变形后仍保持为平面，且仍与变形后的梁轴线垂直。梁的纵向纤维为单向应力状态，互无挤压。横截面横截面上只有正应力上只有正应力5-25-2纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的正应力时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系纵向对称面纵向对称面中性层中性层中性
4、轴中性轴中性层：中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线。中性层与横截面的交线。5-25-2纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的正应力时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系2 2. .变形几何关系变形几何关系 取一微段取一微段dxbbo1o2do2O1Obbydxmnmn变形前变形前mnmn变形后变形后12OOdx ()b by d lb bdx ldxyd ()y dd ydydd y5-25-2纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的正应力时
5、梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系（二二）物理关系：）物理关系：yEEss sxs sx5-25-2纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的正应力时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系（三三）静力学关系：）静力学关系：yxzsdAyz0 xF 0AydAzMsMdAyMAzs0NAFdAs( )0yMF ( )zMFMyEsddzAAEyEEAy AS00d0zASy A中性轴中性轴z必通过横截面形心必通过横截面形心横截面对中性轴的静矩横截面对中性轴的静矩5-25-2纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的正应力时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系yAMz dAs
6、AEyzdAyzEI横截面对横截面对y轴和轴和z轴的惯性积轴的惯性积0y轴和轴和z轴是横截面的主形心轴轴是横截面的主形心轴zAMy dAs2AEy dAzEI横截面对中性轴的惯性矩横截面对中性轴的惯性矩M1zMEI其中其中EIz 表征杆件抵抗弯曲变形的能力，表征杆件抵抗弯曲变形的能力，称为称为。5-25-2纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的正应力时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系zMyIs 由该式可知横截面上各点正应由该式可知横截面上各点正应力大小与各点到中性轴的距离成正力大小与各点到中性轴的距离成正比，中性轴上各点正应力为零，离比，中性轴上各点正应力为零，离中性轴最远点正应力最
7、大。中性轴最远点正应力最大。maxsmaxszCzCyxzsdAyz 上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于上述分析是在平面假设下建立的，对于横力弯曲，由于横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再横截面上还有剪力，变形后截面会发生翘曲，平面假设不再成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可成立。当截面尺寸与梁的跨度相比很小时，翘曲很小，仍可按平面假设分析，上面公式仍可使用。按平面假设分析，上面公式仍可使用。5-25-2纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的正应力时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系【例例】 长为的矩形截面梁，在自由端作用一集中力长为的矩形
8、截面梁，在自由端作用一集中力F ，已知，已知h=0.18m，b=0.12m，y=0.06m，a=2m，F=1.5kN。试求。试求C截面截面上上K点的正应力点的正应力。FABlaCKz2h2hyb解解：C截面的截面的弯矩弯矩CMFa 33 10 N m 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩312zbhI -440.583 10 m代代入应力公式入应力公式CKzM yIs343 100.06)0.583 10 （-3.09MPa（拉应力）（拉应力）5-25-2纯弯曲纯弯曲时梁横截面上的正应力时梁横截面上的正应力北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5 5-3 -3 弯曲弯曲正应力强度条件正应力强
9、度条件梁某截面上的最大正应力梁某截面上的最大正应力maxzMWsWz 称为称为单位：单位：m3。maxmaxyIMzsmaxzzIWy等等截面梁的最大正应力截面梁的最大正应力maxmaxmaxzMyIsmaxzMW北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系矩形截面矩形截面圆形截面圆形截面环形截面环形截面CzdzCbh/2 h/2zdCD312zbhI 464zdI)1 (32443DdDWz26zbhW 323dWz5 5-3 -3 弯曲弯曲正应力强度条件正应力强度条件北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系 梁梁要安全工作，要安全工作，必须满足必须满足正应力强度正应力强度条件条件 正应力强度条件：正应
10、力强度条件：对于等截面梁对于等截面梁 maxmaxzMWss 根据强度条件可进行下述工程计算：根据强度条件可进行下述工程计算：强度校核；强度校核；设计截面尺寸设计截面尺寸；确定容许荷载确定容许荷载。max ssmax zMWsmax zMWs5 5-3 -3 弯曲弯曲正应力强度条件正应力强度条件北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系【例】一矩形截面的简支木梁，梁上作用有均布载荷，已知：l=4m，b=140mm， h=210mm，q=3kN/m，弯曲时木材的许用正应力=10MPa。试校核该梁的强度。qABlbh解解：画画出梁的出梁的弯矩图弯矩图 M图281ql2max8qlM32212 10 N/
11、m4 m8 3=4 10 N m26zbhW 2210.14m 0.21 m6-23=0.103 10 mmaxmaxzMWs3-334 10 N m=0.103 10 m=3.88MPa s满足强度条件满足强度条件5 5-3 -3 弯曲弯曲正应力强度条件正应力强度条件北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系【例】针对上题，试求梁能承受的最大载荷qmax。qABlbh解解：由强度条件由强度条件 M图281ql maxzMWs2max8qlM zWs 28zWqls6-23228 10 10 Pa0.103 10 m=4 m=5.15kN/mmax=5.15kN/mq5 5-3 -3 弯曲弯曲正应力
12、强度条件正应力强度条件北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系【例】简支梁上作用两个集中力，已知：l=6m，F1=15kN， F2=21kN。如果梁采用热轧普通工字钢，钢的许用应力=170MPa，试选择工字钢的型号。1FAB3l3l3l2F解解：画画出梁的出梁的弯矩图弯矩图M图、34kN m38kN m maxzMWs363.8 10 N m=170 10 Pa-33=0.223 10 m3=223cm320237cmzaW钢选择选择20a20a工字钢工字钢AFBF17kNAF 19kNBF 5 5-3 -3 弯曲弯曲正应力强度条件正应力强度条件北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系【例】一T形截面
13、的外伸梁如图所示，已知：l=0.6m，a=40mm ，b=30mm，c=80mm，F1=24kN， F2=9kN，材料的许用拉应力t=30MPa，许用压应力c=90MPa。试校核梁的强度。1FAB2l2l3l2FCDaabczb1y2yC解解：画画出梁的出梁的弯矩图弯矩图M图AFBF24kNBF 9kNAF 2.7kN m1.8kN mCy Ay AyAA()(2)22(2)cbbbcab bbcab b38mm172mmy 238mmy 5 5-3 -3 弯曲弯曲正应力强度条件正应力强度条件北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系1FAB2l2l3l2FCDaabczb1y2yCzzzIII32
14、1()122bccybc322(2)() (2)122ab bbyab b540.573 10 mmax2.7kN mCMM校核应力校核应力max1.8kN mBMM5 5-3 -3 弯曲弯曲正应力强度条件正应力强度条件北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系C C截面，上压下拉截面，上压下拉,max2tCCzM yIs,max1cCCzM yIs3-542.7 10 N m 0.038m0.573 10 m17.9MPa3-542.7 10 N m 0.072m0.573 10 m33.9MPaB B截面，上拉下截面，上拉下压压,max1tBBzM yIs,max2cBBzM yIs3-541.
15、8 10 N m 0.072m0.573 10 m22.6MPa3-541.8 10 N m 0.038m0.573 10 m11.9MPa5 5-3 -3 弯曲弯曲正应力强度条件正应力强度条件北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系综上综上,max,max=22.6MPattBss,max,max=33.9MPaccCsstscs满足强度要求满足强度要求5 5-3 -3 弯曲弯曲正应力强度条件正应力强度条件北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5 5-7 -7 提提高梁弯曲强度的主要高梁弯曲强度的主要措施措施 梁的设计主要依据正应力强度条件，即梁的设计主要依据正应力强度条件，即 sszWMmaxm
16、ax可可从从降低最大弯矩降低最大弯矩Mmax和和增大抗弯截面模量增大抗弯截面模量Wz来来考考虑提虑提高梁的强度高梁的强度。北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系一、一、降低梁的最大弯矩降低梁的最大弯矩a)、合理布置梁的最大弯矩合理布置梁的最大弯矩ABl/2l/2FABFl/4l/2l/4Fl/4Fl/8M图图M图图5 5-7 -7 提提高梁弯曲强度的主要高梁弯曲强度的主要措施措施北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系b)、合理改变支座位置合理改变支座位置通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提高梁通过改善梁的受力情况，以降低梁的最大弯矩，从而提高梁的正应力强度。的正应力强度。qABlABq
17、ql2/24ql2/8M图图M图图2l/3l/6l/6ql2/72ql2/725 5-7 -7 提提高梁弯曲强度的主要高梁弯曲强度的主要措施措施北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系二二、梁合理的截面形状梁合理的截面形状maxzzIWy 梁的抗弯截面模量梁的抗弯截面模量Wz与截面尺寸和形状有关，截面面积与截面尺寸和形状有关，截面面积相同的情况下，相同的情况下， Wz越大截面形状越合理。越大截面形状越合理。 下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。下面对矩形、方形、圆形截面加以比较。5 5-7 -7 提提高梁弯曲强度的主要高梁弯曲强度的主要措施措施北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系zhbCaaCzd
18、zCzzWW矩方矩形截面比方形截面好矩形截面比方形截面好zzWW方圆方形截面比圆形截面好方形截面比圆形截面好2366bha2h bhha aa133632ad22684aadd43ad4221.1833dd5 5-7 -7 提提高梁弯曲强度的主要高梁弯曲强度的主要措施措施北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系zzz 以矩形截面梁为例，横截面的正应力沿截面高度线性分以矩形截面梁为例，横截面的正应力沿截面高度线性分布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远布，当上下边缘的应力达到容许应力时，中性轴附近材料远比容许应力，没能充分发挥材料作用，若将这部分材料移到比容许应力，没能充分发挥材料作用
19、，若将这部分材料移到离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力。故工字形离中性轴较远处，就可极大地提高梁的承载能力。故工字形截面、槽形截面、截面、槽形截面、T 形截面均比矩形截面好。形截面均比矩形截面好。5 5-7 -7 提提高梁弯曲强度的主要高梁弯曲强度的主要措施措施北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系 对于等截面梁，按强度条件只有对于等截面梁，按强度条件只有Mmax截面上的最大正应截面上的最大正应力才达到力才达到s s，而其它截面上的最大正应力均没达到，而其它截面上的最大正应力均没达到s s。三三、变截面梁变截面梁 若采用变截面梁，使各截面上的最大正应力同时达到若采用变截面梁，使各截面上的
20、最大正应力同时达到s s，此梁工程上称为，此梁工程上称为。 max( )( )zM xW xss ( )( )zM xW xs5 5-7 -7 提提高梁弯曲强度的主要高梁弯曲强度的主要措施措施北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系变截面梁变截面梁F悬臂凉台悬臂凉台ABq吊车梁吊车梁5 5-7 -7 提提高梁弯曲强度的主要高梁弯曲强度的主要措施措施北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5-4 5-4 矩形截面梁的切矩形截面梁的切应力应力切切应力分布和方向应力分布和方向假设：假设： dxxFS(x)+dFS (x)M(x)yM(x)+dM(x)FS (x)dx切应力与剪力方向平行；矩中性轴等距离处，切
21、应力 相等。切应力沿横截面宽度均匀分布dxx1s2s北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5-4 5-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力1mn1dx22ttxyh/2ttbFN2FN112dxmnyxz平衡条件：平衡条件：0 xF 120NNSFFFysdAy1SFbdxt 21NNFF研究方法：分离体平衡研究方法：分离体平衡。 北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5-4 5-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力*11NAFdAsttbFN2FN112dxmnyxzysdAy1*1AzMy dAI*1AzMy dAI*zzMSI*22NAFdAs*1(d)AzMMy dAI*dzzMM
22、SI*1zASy dA面积面积A* *对横截面中性轴的静矩对横截面中性轴的静矩*zzzzzzSMdMMbdxSSdMIIIt*zzSdMI bdxt sdMFdxtt*szzF SI btA* *为横截面上距中性轴为为横截面上距中性轴为y的的横线以外部分的面积横线以外部分的面积北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5-4 5-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力*szzF SI bt 为截面求应力那点到截面边缘所围面积对中性轴的静矩。*zSA*yy*bh/2h/2tmax*zSA y2222361()()424sszFFhhyybhIt 由上式可知，横截面各点切应力是各点坐标y 的2次函数，
23、切应力的大小沿截面高度呈抛物线分布。中性轴上切应力最大，上下边缘切应力为零。zy1()()22 2hhbyyy22()24b hymax3322ssFFbhAt北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5-4 5-4 矩形截面梁的切应力矩形截面梁的切应力【例例】 一矩形截面简支梁如图所示，已知一矩形截面简支梁如图所示，已知l=3m，h=160mm，b=100mm， h1=40mm，F=3kN，试求，试求mm截面上截面上K点的切应力点的切应力。F3lAB3l3lFmm6lbhzK0y1h*A解解：mm截面的截面的剪力剪力3kNSFF截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩312zbhI -440.34
24、1 10 m*0zSA y-330.24 10 mK点的切应力点的切应力SzzF SI bt0.21MPa北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5-4 5-4 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 梁梁要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力要安全工作，必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。强度条件。对于梁的某一截面对于梁的某一截面对于整个梁对于整个梁maxmaxszzF SI bt，maxmaxmaxszzFSI bt， t北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5 5-4 -4 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件 简单截面的最大切应力可用简化公式计算，即简单截面的最大切应力可用简化
25、公式计算，即AFAFAFsssmaxmaxmaxmax23423t矩形截面矩形截面圆形截面圆形截面环形截面环形截面北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系5 5-4 -4 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件需要需要校核剪应力的几种特殊情况：校核剪应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核腹板的切应力。梁的跨度较短，M较小，而FS较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核中性轴上切应力。北京建筑大学力学系北京建筑大学力学系ABCDqF3l2l2l5 5-4 -4 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件【例例】 一外伸工字型钢梁，工字钢的型号为一外伸工字型钢梁，工字钢的型号为22a，梁上载荷如图所示。已知，梁上载荷如图所示。已知l=6m，F=30kN，q=6kN/m，材料的容许应力，材料的容许应力s s=170MPa， =100MPa。试检查此梁是否安全。试检查此梁是否安全。BFDF解解：画画剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图M图FS图12kN17kN13kN1.2kN m29kNBF 13kNDF 39kN m查表得查表得3309cmzW max18.9cmzzIS，7.5mmbdmaxmaxzMWs126MPa smax,maxmaxSzzFSI bt12MPa t满足强度条件，梁安全满足强度条件，梁安全