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1、第第 七七 章章 梁的位移梁的位移7.1 7.1 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足在工程实践中，对某些受弯构件，除要求具有足够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件够的强度外，还要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作，如有足够的刚度，以保证结构或机器正常工作，如摇臂钻床。摇臂钻床。桥桥式式起起重重机机的的横横梁梁变变形形过过大大,则则会会使使小小车车行行走走困困难难，出出现现爬爬坡坡现现象。象。另另外外一一些些情情况况却却要要求求构构件件具具有有较较大大的的弹弹性性变
2、变形形，以以满满足足特特定定的的工工作作需需要要,例例如如车车辆辆上上的的板板弹弹簧簧。缓缓解解车车辆辆受受到到的的冲冲击击和和振振动动作作用。用。弯曲变形的基本概念弯曲变形的基本概念1.挠曲线挠曲线挠曲线方程：挠曲线方程：2.挠度和转角挠度和转角挠度挠度w：横截面：横截面形心处的铅垂位形心处的铅垂位移。移。转角转角：横截面绕：横截面绕中性轴转过的角中性轴转过的角度。度。规定向规定向y正向的挠正向的挠度为正，顺针向度为正，顺针向的转角为正。的转角为正。转角方程转角方程曲线曲线y=f(x)的曲率为：的曲率为：几何方法几何方法材料力学方法材料力学方法又因为挠曲线非常平坦，即又因为挠曲线非常平坦，即
3、w12.曲率与弯矩的符号关系曲率与弯矩的符号关系M与与w的符号相反。的符号相反。梁弯曲时轴线曲率：梁弯曲时轴线曲率：7.2 7.2 用积分法求梁的位移用积分法求梁的位移用积分法求梁的位移用积分法求梁的位移梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程:式中积分常数式中积分常数C、D由由约束条件和连续条件（统称约束条件和连续条件（统称边界条件）边界条件）确定。确定。要求：要求：（1）约束处满足位移约束条件；）约束处满足位移约束条件；（2）梁轴中间的点满足连续与光滑条件）梁轴中间的点满足连续与光滑条件弯矩方程不连弯矩方程不连续时要分段积分。续时要分段积分。1.分段连续弯矩方程必须从原点沿分段连续弯矩
4、方程必须从原点沿x的正向依的正向依次写出；次写出；2.对含（对含（x-a）项可不展开，把它视为新变量）项可不展开，把它视为新变量积分，更为方便；积分，更为方便；3.挠曲轴是一条连续而光滑的曲线（中间铰链挠曲轴是一条连续而光滑的曲线（中间铰链除外，该处只连续而不光滑）除外，该处只连续而不光滑）,为此必须满为此必须满足连续光滑条件。足连续光滑条件。注意注意7.3 用叠加法计算梁的变形用叠加法计算梁的变形在材料服从胡克定律（线弹性）、且变形很小（小在材料服从胡克定律（线弹性）、且变形很小（小变形）的前提下，载荷与它所引起的变形成线性关变形）的前提下，载荷与它所引起的变形成线性关系。系。1.杆件轴向拉
5、伸或压缩时的变形杆件轴向拉伸或压缩时的变形载荷与内力成正比，因此荷载与它所引起的变形成载荷与内力成正比，因此荷载与它所引起的变形成线性关系：载荷增加一倍，变形增加一倍。线性关系：载荷增加一倍，变形增加一倍。2.圆轴扭转时的变形圆轴扭转时的变形载荷与内力成正比，因此荷载与它所引起的变形成载荷与内力成正比，因此荷载与它所引起的变形成线性关系：载荷增加一倍，变形增加一倍。线性关系：载荷增加一倍，变形增加一倍。3.梁的弯曲变形梁的弯曲变形载荷它所引起的变形成线性关系：载荷增加一倍，载荷它所引起的变形成线性关系：载荷增加一倍，变形增加一倍。变形增加一倍。那么，如果变形中有同载荷无关的项，意味着载荷那么，如果变形中有同载荷无关的项，意味着载荷为为0时，梁也有变形。时，梁也有变形。7.4 梁的刚度校核梁的刚度校核刚度条件：刚度条件：w、是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件是构件的许可挠度和转角，它们决定于构件正常工作时的要求。正常工作时的要求。