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1、第一章第一章 集合与简易逻辑集合与简易逻辑1.1 1.1 集合的概念集合的概念人教人教A版版 必修必修 第一册第一册在现代数学中，在现代数学中，集合集合是一种简洁、高雅的数学语言，我们是一种简洁、高雅的数学语言，我们怎样理解数学中的怎样理解数学中的“集合集合”？康托尔（康托尔（G.Cantor,1845-1918G.Cantor,1845-1918）.德国数学德国数学家，集合论创始人家，集合论创始人.人们把康托尔于人们把康托尔于18731873年年1212月月7 7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日那一天定为集合论诞生日.“集合集合”
2、是日常生活中的一个常用词，是日常生活中的一个常用词，现代汉语解释为现代汉语解释为:许多的人或物聚在一起许多的人或物聚在一起.情景导学2 2.圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合.有理数集合0 7我们已经接触过一些集合：我们已经接触过一些集合：1.将下列数字填入相应的集合：自然数集合1.将下列数字填入相应的集合：思考思考:上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗成集合吗？探究探究1 集合的定义集合的定义 考察下列问题：考察下列问题：（1 1）1 11010之间的所有偶数
3、；之间的所有偶数；（2 2）立德）立德中学今年入学的全体高一学生中学今年入学的全体高一学生；（3 3）所有正方形所有正方形；（4 4）到直线到直线 l 的距离等于定长的距离等于定长 d d 的所有的点的所有的点;（5 5）方程）方程 的所有实数根；的所有实数根；（6 6）地球上的四大洋。）地球上的四大洋。问题探究3.是这些对象的全体是这些对象的全体.2.是是不同的不同的对象；对象；集合定义的理解集合定义的理解1.是一定范围内的是一定范围内的确定的确定的对象；对象；确定确定互异互异 组成集合的元素可以是物、数、图、点等，它具备怎样的性质呢？组成集合的元素可以是物、数、图、点等，它具备怎样的性质呢
4、？问题：问题：组成集合的元素一定是数吗？组成集合的元素一定是数吗？一般地，一般地，我们把研究对象统称为我们把研究对象统称为元素元素.通常用小写拉丁字母通常用小写拉丁字母a,b,ca,b,c,.来表示来表示.我们把一些元素组成的总体叫做我们把一些元素组成的总体叫做集合集合(简称为集简称为集).).通常用大写拉丁字母通常用大写拉丁字母A,B,CA,B,C,.来表示来表示.概念概念1.1.所有的所有的“帅哥帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？能否构成一个集合？由此说明什么？集合中的集合中的元素元素必须是确定必须是确定的的探究探究2 2：集合中元素的性质集合中元素的性质1 1“帅帅”是一个含糊不清的
5、概念，具有相对性，多么是一个含糊不清的概念，具有相对性，多么“帅帅”才算才算“帅帅”？没有明确的标准，也就是说，？没有明确的标准，也就是说，是一些不能够确定的对象因此，不能构成集合是一些不能够确定的对象因此，不能构成集合不能不能.其中的元素不确定其中的元素不确定问题探究2.2.由由1,3,0,5,1,3,0,5,-3-3 这些数组成的一个集合中有这些数组成的一个集合中有5 5个个 元素，这种说法正确吗？元素，这种说法正确吗？集合中的元素是互异的集合中的元素是互异的不正确不正确.集合中只有集合中只有4 4个不同元素个不同元素1 1，3 3，0 0，5.5.问题探究探究探究2 2：集合中元素的性质
6、集合中元素的性质2 23.3.高一（高一（5 5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？这个集合有没有变化？集合中的元素是集合中的元素是没有顺序的没有顺序的通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？确定性、互异性、无序性确定性、互异性、无序性集合没有变化集合没有变化两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等.问题探究探究探究2 2：集合中元素的性质集合中元素的性质3 3a 是是集合集合A A中的元素中的元素,就说就说 a属于集合属于集合A，记作，记作a A;b
7、 b不是不是集合集合A A中的元素中的元素.就说就说b b不不属于集合属于集合A,记作记作b b A.思考：思考：那么那么a，b b与集合与集合A A分别有什么关系分别有什么关系?3.3.已知下面的两个实例：已知下面的两个实例：（1 1）用）用A A表示高一表示高一(2)(2)班全体学生组成的集合班全体学生组成的集合.（2 2）用）用a表示高一表示高一(2)(2)班的一位同学，班的一位同学，b b表示高一表示高一(3)(3)班的一位同学班的一位同学.探究探究3 3：元素和集合的关系元素和集合的关系问题探究属于符号和不属于符号具有方向性，左边是元素，右边是集合属于符号和不属于符号具有方向性，左边
8、是元素，右边是集合。启示：任何集合的元素都不能违背启示：任何集合的元素都不能违背确定性、互异性、无序性确定性、互异性、无序性.我们还可以用这些性质继续去我们还可以用这些性质继续去探求数集的探求数集的关系关系.1.1.判断以下元素的全体是否组成集合判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由并说明理由:(1)(1)大于大于3 3小于小于1111的偶数的偶数;(2);(2)我国的小河流我国的小河流.【提示提示】（1 1）是由）是由4,6,8,104,6,8,10四个元素组成的集合四个元素组成的集合.（2 2）由集合元素的确定性知其不能组成集合）由集合元素的确定性知其不能组成集合.练习 学习集合与元素
9、的概念后，为了方便书写，数学学习集合与元素的概念后，为了方便书写，数学中规定了一些常用数集及其记法：中规定了一些常用数集及其记法：常用的数常用的数集集自然数自然数集集正整数集正整数集整数整数集集有理数有理数集集实数实数集集记法记法QRNZN*或或N练习练习 用符号用符号“”或或“”填空填空.(1)2(1)2 N.N.(2)(2)_Q._Q.【总结总结提升提升】求解此类问题必须要做到以下两点：求解此类问题必须要做到以下两点：熟记常见的数集的符号；熟记常见的数集的符号；正确理解元素与集合之间的正确理解元素与集合之间的“属于属于”关系关系.列举法列举法思考思考1 1：地球上的四大洋地球上的四大洋 组
10、成的集合如何表示？组成的集合如何表示？【提示提示】可以这样表示：可以这样表示：太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋.探究探究4 4 集合的表示方法集合的表示方法 思考思考2:2:方程（方程（x+1)(x+2)=0 x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合的所有根组成的集合 又如何用列举法表示呢？又如何用列举法表示呢？【提示提示】-1,-2-1,-2列举法列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括括起来表示集合的方法叫做列举法起来表示集合的方法叫做列举法.确定确定 无序无序 互异互异注意：注意：元素间要用逗号隔开元素间要用逗号隔
11、开.通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？大括号不能缺失 归纳总结元素元素a与与 a 有什么区别？有什么区别？是一个元素是一个集合是一个集合a a 辨析例例1 1 用列举法表示下列集合：用列举法表示下列集合：（1 1）小于）小于1010的所有自然数组成的集合的所有自然数组成的集合.（2 2）方程）方程x x2 2=x=x的所有实数根组成的集合的所有实数根组成的集合.解：解：（1 1）设小于）设小于1010的所有自然数组成的集合为的所有自然数组成的集合为A A，那么那么A=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.A=0,1,2,3,4,5
12、,6,7,8,9.（2 2）设方程）设方程x x2 2=x=x的所有实数根组成的集合为的所有实数根组成的集合为B B，那么，那么B=1,0.B=1,0.例题解析【总结总结提升提升】由于由于元素完全相同的两个集合相等，元素完全相同的两个集合相等，而而与列举的顺序无关，因此集合可以与列举的顺序无关，因此集合可以有有不同的列举方法不同的列举方法.例如例如，例，例1 1（1 1）可以表示为）可以表示为A=9,8,7,6,5,4,3,2,1,0A=9,8,7,6,5,4,3,2,1,0归纳升华 能否用列举法表示不等式 x3737的解集？由于小于由于小于1010的实数有无穷多个，而且无法一一列举出来，的实
13、数有无穷多个，而且无法一一列举出来，因此这个集合不能用列举法表示因此这个集合不能用列举法表示但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：（1 1）集合中的元素都小于集合中的元素都小于10.10.（2 2）集合中的元素都是实数集合中的元素都是实数 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，写作写作:思考深化思考深化 描述法描述法描描述述法法：用用这这个个集集合合所所含含元元素素的的共共同同特特征征表表示示集集合合的方法的方法 我们可以把奇数集合表示为我们可以把奇数集合表示为又如所有偶数的集合怎样表示？又如所有偶数的
14、集合怎样表示？还可以把奇数集合表示为还可以把奇数集合表示为注意：注意：如果从上下文的关系来看，如果从上下文的关系来看，x R，x Z 是明确的，那么是明确的，那么x R，x Z 可以省略，只写元素可以省略，只写元素x.例如例如 x R|x10=x|x10 x Z|x=2k,k Z=x|x=2k,k Z 思考：有理数集怎么表示呢？例例2 2 试分别用列举法和描述法表示下列集合试分别用列举法和描述法表示下列集合.(1)(1)方程方程x x2 2-2=0-2=0的所有实数根组成的集合的所有实数根组成的集合.(2)(2)由大于由大于1010小于小于2020的所有整数组成的集合的所有整数组成的集合.方程
15、方程x x2 2-2=0-2=0有两个实数根为有两个实数根为 ，因此，用列举法，因此，用列举法表示为表示为A=A=.解：解：(1)(1)设方程设方程x x2 2-2=0-2=0的实数根为的实数根为x,x,并且满足条件并且满足条件x x2 2-2=0-2=0，因此，用描述法表示为，因此，用描述法表示为A=xR|xA=xR|x2 2-2=0.-2=0.例题解析大于大于1010小于小于2020的整数有的整数有11,12,13,14,15,16,17,11,12,13,14,15,16,17,18,1918,19，因此，用列举法表示为，因此，用列举法表示为B=B=xZ10Z10 x20.20.B=11
16、,12,13,14,15,16,17,18,19.B=11,12,13,14,15,16,17,18,19.(2)(2)设大于设大于1010小于小于2020的整数为的整数为x，它满足条件，它满足条件xZ,Z,且且1010 x20,20,因此，用描述法表示为因此，用描述法表示为思考：思考：你能说出列举法和描述法的优缺点吗？你能说出列举法和描述法的优缺点吗？优点优点 缺点缺点列举法列举法直观、明了直观、明了不易看出元素所具有不易看出元素所具有的属性，且有些集合的属性，且有些集合不能用列举法表示不能用列举法表示描述法描述法把集合中元素所具把集合中元素所具有的性质描述出来，有的性质描述出来，具有抽象性、概括具有抽象性、概括性、普遍性的特点性、普遍性的特点不易看出集合的具体不易看出集合的具体元素元素当堂检测作业：教材第 5页，练习3 第6页，习题3、4谢 谢关注微信公众号