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1、34-12023/2/10二阶线性微分方程的理论及解法二阶线性微分方程的理论及解法 一、二阶一、二阶齐次齐次线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构 二、二阶二、二阶非齐次非齐次线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构 三、二阶三、二阶常系数常系数齐次齐次线性微分方程的解法线性微分方程的解法四、二阶四、二阶常系数常系数非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程的解法的解法第三节第三节34-22023/2/10二阶线性微分方程：二阶线性微分方程：时时,称为二阶称为二阶非齐次非齐次线性微分方程线性微分方程.时时,称为二阶称为二阶齐次齐次线性微分方程；线性微分方程；复习复习:一阶非齐次线性微分方程：一阶非
2、齐次线性微分方程：通解通解:非齐次方程特解非齐次方程特解齐次方程通解齐次方程通解Y34-32023/2/10证毕证毕.一、二阶一、二阶齐次齐次线性微分方程线性微分方程解的结构解的结构是二阶线性齐次微分方程是二阶线性齐次微分方程的两个解的两个解,也是该方程的解也是该方程的解.证证:代入方程左边代入方程左边,得得（解的叠加原理）（解的叠加原理）定理定理1.34-42023/2/10注：注：未必未必是已知方程的通解是已知方程的通解.例如例如,是某二阶齐次方程的解是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解也是齐次方程的解 并不是通解！并不是通解！但是但是则则为解决通解的判别问题为解决通解的判别问题,下面引
3、入函数的下面引入函数的线性线性相关性相关性的概念的概念.34-52023/2/10定义定义:是定义在区间是定义在区间 I 上的上的 n 个函数个函数,使得使得则称这则称这 n 个函数在个函数在 I 上上线性相关线性相关,否则称为否则称为线性无关线性无关.例如，例如，在在(,)上都有上都有故它们在任何区间故它们在任何区间 I 上都上都线性相关线性相关;又如，又如，若在某区间若在某区间 I 上上则根据二次多项式至多只有两个零点则根据二次多项式至多只有两个零点,必须全为必须全为 0,可见可见在任何区间在任何区间 I 上都上都 线性无关线性无关.若存在若存在不全为不全为 0 的常数的常数34-6202
4、3/2/10 两个函数线性相关性的两个函数线性相关性的充要条件：充要条件：线性相关线性相关线性无关线性无关常数常数注：注：0 与任意函数与任意函数 必线性必线性相关相关成比例！成比例！不不成比例！成比例！即即34-72023/2/10定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解性无关特解,则则为该方程的通解为该方程的通解.例如例如,方程方程有特解有特解且且故方程的通解为故方程的通解为推论推论*.是是 n 阶齐次线性微分方程阶齐次线性微分方程 的的 n 个线性无关解个线性无关解,则该方程的通解为则该方程的通解为34-82023/2/10二、二阶二、二阶非齐次非齐次
5、线性微分方程解的结构线性微分方程解的结构是二阶非齐次方程是二阶非齐次方程的一个的一个特解特解,Y(x)是相应齐次方程的是相应齐次方程的通解通解,定理定理 3.则则是非齐次方程的是非齐次方程的通解通解.证证:将将代入方程代入方程左端左端,得得证毕！证毕！又又Y 中含有两个独立任意常数，中含有两个独立任意常数，即即y 是是的解的解.34-92023/2/10例如例如,方程方程有特解有特解而对应齐次方程而对应齐次方程的通解为的通解为因此该方程的通解为因此该方程的通解为34-102023/2/10推广推广*.是对应齐次方程的是对应齐次方程的 n 个线性个线性无关特解无关特解,给定给定 n 阶非齐次线性
6、方程阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解是非齐次方程的特解,则非齐次方程则非齐次方程的通解为的通解为齐次线性微分齐次线性微分方程通解方程通解非齐次线性微分非齐次线性微分方程特解方程特解34-112023/2/10定理定理 4.分别是方程分别是方程的特解的特解,是方程是方程的特解的特解.（非齐次方程之解的叠加原理）（非齐次方程之解的叠加原理）34-122023/2/10常数常数,则该方程的通解是则该方程的通解是().设线性无关函数设线性无关函数都是二阶非齐次线都是二阶非齐次线性方程性方程的解的解,是任意是任意例例1.提示提示:线性无关线性无关.（反证法可证）（反证法可证）（89 考研）考研）34-
7、132023/2/10例例2.已知微分方程已知微分方程个解个解求此方程满足初始条件求此方程满足初始条件的特解的特解.解解:是对应齐次方程的解是对应齐次方程的解,且且常数常数因而线性无关因而线性无关,故原方程通解为故原方程通解为代入初始条件代入初始条件故所求特解为故所求特解为有三有三 34-142023/2/10三、二阶三、二阶常系数齐次常系数齐次线性微分方程的解法线性微分方程的解法和它的导数只差常数倍和它的导数只差常数倍,代入代入得得称称为微分方程为微分方程的的特征方程特征方程,1.当当时时,有两个相异实根有两个相异实根方程有两个线性无关的特解方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为因此方程
8、的通解为(r 为待定常数为待定常数),所以令所以令的解为的解为 则微分则微分其根称为其根称为特征根特征根.34-152023/2/102.当当时时,特征方程有两个相等实根特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解则微分方程有一个特解设另一特解设另一特解，u(x)待定待定.代入方程得代入方程得:是特征方程的二重根是特征方程的二重根取取 u=x,则得则得因此原方程的通解为因此原方程的通解为常数变易法常数变易法34-162023/2/103.当当时时,特征方程有一对共轭复根特征方程有一对共轭复根此时微分方程有两个复数解此时微分方程有两个复数解:利用解的叠加原理，得原方程的线性无关特解利用解的叠加原理
9、，得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为因此原方程的通解为在第十三章在第十三章中介绍中介绍34-172023/2/10小结小结:特征方程特征方程:实根实根 特特 征征 根根通通 解解此表必背！此表必背！34-182023/2/10 若含若含 k 重复根重复根 若含若含 k 重实根重实根 r,则其通解中必含则其通解中必含则其通解中必含则其通解中必含特征方程特征方程:推广推广*：n 阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程34-192023/2/10例例3.的通解的通解.解解:特征方程特征方程特征根特征根:因此原方程的通解为因此原方程的通解为例例4.求解初值问题求解初值问题解解:特征方
10、程特征方程有重根有重根因此原方程的通解为因此原方程的通解为利用初始条件得利用初始条件得于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为2023/2/10四、二阶四、二阶常系数非齐次常系数非齐次线性微分方程的解法线性微分方程的解法根据解的结构定理，其通解为根据解的结构定理，其通解为非齐次线性微分非齐次线性微分方程的一个方程的一个特解特解对应齐次线性对应齐次线性微分方程通解微分方程通解已经解决已经解决面临解决面临解决34-212023/2/10求特解求特解 的方法的方法根据根据 f(x)的特殊形式的特殊形式,的待定形式的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数代入原方程比较两端表达式以确定待定
11、系数.待定系数法待定系数法1、2、34-222023/2/101、设特解为设特解为其中其中 为待定多项式为待定多项式,（其中（其中 为实数，为实数，为为 m 次多项式）次多项式）则则代入代入得得化简得化简得34-232023/2/10(1)若若 非非特征方程的根，特征方程的根，故特解形式为故特解形式为则则Q(x)为为 m 次多项式，次多项式，(2)若若 是特征方程的是特征方程的单根单根，为为m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为(3)若若 是特征方程的是特征方程的重根重根,为为 m 次多项式次多项式,故特解形式为故特解形式为即即即即34-242023/2/10结论结论对方程对方程,*注
12、：注：此结论可推广到高阶情形！此结论可推广到高阶情形！当当 是特征方程的是特征方程的 k 重根重根 时时,可设可设特解特解34-252023/2/10例例5.的一个特解的一个特解.解：解：本题本题而特征方程为而特征方程为不是特征方程的根不是特征方程的根.故设所求特解为故设所求特解为代入方程代入方程:比较系数比较系数,得得于是所求特解为于是所求特解为34-262023/2/10例例6.的通解的通解.解：解：特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为比较系数比较系数,得得因此特解为因此特解为代入方程得代入方程得所求通解为所求通解为解
13、得解得34-272023/2/10例例7*.求解求解解：解：特征方程为特征方程为其其根为根为设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入方程得代入方程得对应齐次方程通解为对应齐次方程通解为故原方程通解为故原方程通解为34-282023/2/102、第二步第二步 求出如下两个方程的特解求出如下两个方程的特解分析思路分析思路*:第一步第一步 将将 f(x)转化为转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点分析原方程特解的特点（欧拉公式）（欧拉公式）34-292023/2/10结论结论:对于非齐次线性微分方程对于非齐次线性微分方程则可设特
14、解则可设特解:其中其中 为特征方程的为特征方程的 k 重根重根(k =0,1),*注：注：此结论可推广到高阶情形！此结论可推广到高阶情形！34-302023/2/10例例8.的一个特解的一个特解.解：解：特征方程为特征方程为故设特解为故设特解为不是特征方程的根不是特征方程的根,代入方程得代入方程得比较系数，得比较系数，得故一个特解为故一个特解为因为因为34-312023/2/10例例9.的通解的通解.解解:特征方程为特征方程为其根为其根为对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为比较系数，得比较系数，得因此特解为因此特解为代入得代入得通解为通解为为特征方程的单根为特征方程的单根,故设非齐次方程特
15、解故设非齐次方程特解34-322023/2/10例例10*.解解:(1)特征方程特征方程有二重根有二重根所以设非齐次方程特解为所以设非齐次方程特解为(2)特征方程特征方程有根有根利用叠加原理利用叠加原理,可设非齐次方程特解为可设非齐次方程特解为构造下列微分方程的特解形式：构造下列微分方程的特解形式：34-332023/2/10内容小结内容小结 为特征方程的为特征方程的 k(0,1,2)重根重根,则设特解为则设特解为为特征方程的为特征方程的 k(0,1)重根重根,则设特解为则设特解为3.上述结论也可推广到高阶方程的情形上述结论也可推广到高阶方程的情形*.34-342023/2/10思考题思考题.已知二阶常微分方程已知二阶常微分方程有特解有特解求微分方程的通解求微分方程的通解.解解:将特解代入方程得恒等式将特解代入方程得恒等式比较系数得比较系数得故原方程为故原方程为对应齐次方程通解对应齐次方程通解:原方程通解为原方程通解为