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1、二、线性微分方程解的结构二、线性微分方程解的结构三、二阶常系数齐次线性方程解法三、二阶常系数齐次线性方程解法五、小结思考题五、小结思考题第五节二阶常系数线性微分方程第五节二阶常系数线性微分方程四、二阶常系数非齐次线性方程解法四、二阶常系数非齐次线性方程解法一、定义一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构问题问题:例如例如观察有观察有解的叠加原理解的叠加原理都是微分方程的解都是微分方程的解,是对应齐次方程的解是对应齐次方程的
2、解,常数常数所求通解为所求通解为例例1 1三、二阶常系数齐次线性方程解法-特征方程法特征方程法将其代入上述方程将其代入上述方程,得得故有故有特征方程特征方程特征根特征根2)2)有两个相等的实根有两个相等的实根一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为3)3)有一对共轭复根有一对共轭复根重新组合重新组合得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为特征根为特征根为解解特征方程为特征方程为解得解得故所求通解为故所求通解为例例3 3二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程通解结构通解结构常见类型常见类型难点难点：如何求特解？如何求特解？方法方法：待定系
3、数法待定系数法.四、二阶常系数非齐次线性微分方程设非齐次方程特解为设非齐次方程特解为代入原方程代入原方程 整理得整理得1.型型解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程的通解为原方程的通解为例例5 5解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程特征根特征根代入方程代入方程,得得原方程的通解为原方程的通解为例例6 6特别地特别地解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解代入原方程求得代入原方程求得原方程通解为原方程通解为例例7 7解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解代入原方程求得代入原方程求得例例8 8原方程通解为原方程通解为(待定系数法求特解
4、待定系数法求特解)思考题思考题1.求微分方程求微分方程 的通解的通解.2.写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.3.写出微分方程写出微分方程的待定特解的形式的待定特解的形式.思考题解答思考题解答2.设设 的特解为的特解为设设 的特解为的特解为则所求特解为则所求特解为特征根特征根（重根）（重根）思考题解答思考题解答则所求特解为则所求特解为特征根特征根设设 的特解为的特解为3.原方程可化为原方程可化为设设 的特解为的特解为 练习题答案练习题答案也可以引入虚变量，建立一个统一的模型也可以引入虚变量，建立一个统一的模型（Gujarati方法）方法）分分段段 n0未知未知，但，但 一
5、般可以选择不同的一般可以选择不同的n0，进进行行试试估估计计，然后，然后从多次从多次试试估估计计中中选择选择最最优优者。者。选择选择的的标标准是使得准是使得两段方程的残差平方和之和最小。两段方程的残差平方和之和最小。n0未知未知，且，且 将将n0看作待估参数，用最大或然法进行估计。看作待估参数，用最大或然法进行估计。（2）n0未知未知*二、随机变参数模型二、随机变参数模型 参数在一常数附近随机变化参数在一常数附近随机变化 将原模型转换为具有异方差性的模型，而将原模型转换为具有异方差性的模型，而且已经推导出随机误差项的方差与解释变且已经推导出随机误差项的方差与解释变量之间的函数关系。量之间的函数
6、关系。可以采用经典线性计量经济学模型中介绍的可以采用经典线性计量经济学模型中介绍的估计方法，例如加权最小二乘法等方法很方估计方法，例如加权最小二乘法等方法很方便地估计参数。便地估计参数。一种普遍的形式是一种普遍的形式是1968年提出的的变参数年提出的的变参数 Hildreth-Houck模型模型。参数随某一变量作规律性变化，同时受参数随某一变量作规律性变化，同时受随机因素影响随机因素影响 将原模型转换为具有异方差性的多元线性模型。将原模型转换为具有异方差性的多元线性模型。可以采用经典线性计量经济学模型中介绍的可以采用经典线性计量经济学模型中介绍的估计方法，例如加权最小二乘法等方法很方估计方法，
7、例如加权最小二乘法等方法很方便地估计参数。便地估计参数。自适应回归模型自适应回归模型 由影响常数项的变量具有一阶自相关性所引起。由影响常数项的变量具有一阶自相关性所引起。是实际经济活动中常见的现象。是实际经济活动中常见的现象。采用广义最小二乘法（采用广义最小二乘法（GLS）估计模型参数）估计模型参数。经经 济济 数数 学学下页返回上页8.28.2简单的非线性单方程计量经济学简单的非线性单方程计量经济学模型模型 一、一、非线性单方程计量经济学模型概述非线性单方程计量经济学模型概述 二、二、非线性普通最小二乘法非线性普通最小二乘法 三、三、例题及讨论例题及讨论说明说明非线性计量经济学模型在计量经济
8、学模型非线性计量经济学模型在计量经济学模型中占据重要的位置中占据重要的位置 ；已经形成内容广泛；已经形成内容广泛的体系，包括变量非线性模型、参数非线的体系，包括变量非线性模型、参数非线性模型、随机误差项违背基本假设的非线性模型、随机误差项违背基本假设的非线性问题等；性问题等；非线性模型理论与方法已经形成了一个与线性非线性模型理论与方法已经形成了一个与线性模型相对应的体系，包括从最小二乘原理出发模型相对应的体系，包括从最小二乘原理出发的一整套方法和从最大或然原理出发的一整套的一整套方法和从最大或然原理出发的一整套方法。方法。本节仅涉及最基础的、具有广泛应用价值的非本节仅涉及最基础的、具有广泛应用
9、价值的非线性单方程模型的最小二乘估计。线性单方程模型的最小二乘估计。一、非线性单方程计量经济学模型概述一、非线性单方程计量经济学模型概述 解释变量非线性问题解释变量非线性问题 现实经济现象中变量之间往往呈现非线性关系现实经济现象中变量之间往往呈现非线性关系 需求量与价格之间的关系需求量与价格之间的关系 成本与产量的关系成本与产量的关系 税收与税率的关系税收与税率的关系 基尼系数与经济发展水平的关系基尼系数与经济发展水平的关系通过变量置换就可以化为线性模型通过变量置换就可以化为线性模型 可以化为线性的包含参数非线性的问题可以化为线性的包含参数非线性的问题 函数变换函数变换 级数展开级数展开 不可
10、以化为线性的包含参数非线性的问不可以化为线性的包含参数非线性的问题题 与上页的方程比较，哪种形式更合理？与上页的方程比较，哪种形式更合理？直接作为非线性模型更合理。直接作为非线性模型更合理。二、非线性普通最小二乘法二、非线性普通最小二乘法 普通最小二乘原理普通最小二乘原理 残差平方和残差平方和 取极小值取极小值的一阶条的一阶条件件 如何求解非如何求解非线性方程？线性方程？高斯牛顿高斯牛顿(Gauss-Newton)(Gauss-Newton)迭代法迭代法 高斯牛顿迭代法的原理高斯牛顿迭代法的原理 对原始模型展开台劳级数，取一阶近似值对原始模型展开台劳级数，取一阶近似值 构造并估计线性伪模型构造
11、并估计线性伪模型构造线性模型构造线性模型估计得到参数的第估计得到参数的第1次迭代值次迭代值迭代迭代高斯牛顿迭代法的步骤高斯牛顿迭代法的步骤 牛顿拉夫森牛顿拉夫森(Newton-Raphson)(Newton-Raphson)迭代法迭代法 自学，掌握以下自学，掌握以下2个要点个要点牛顿拉夫森迭代法的原理牛顿拉夫森迭代法的原理 对残差平方和展开台劳级数，取二阶近对残差平方和展开台劳级数，取二阶近似值；似值；对残差平方和的近似值求极值；对残差平方和的近似值求极值；迭代。迭代。与高斯牛顿迭代法的区别与高斯牛顿迭代法的区别直接对残差平方和展开台劳级数，而不是对直接对残差平方和展开台劳级数，而不是对其中的
12、原模型展开；其中的原模型展开；取二阶近似值，而不是取一阶近似值取二阶近似值，而不是取一阶近似值。应用中的一个困难应用中的一个困难如何保证迭代所逼近的是总体极小值（即最如何保证迭代所逼近的是总体极小值（即最小值）而不是局部极小值？小值）而不是局部极小值？需要选择不同的初值，进行多次迭代求解。需要选择不同的初值，进行多次迭代求解。非线性普通最小二乘法在软件中的实现非线性普通最小二乘法在软件中的实现给定初值给定初值写出模型写出模型估计模型估计模型改变初值改变初值反复估计反复估计三、例题与讨论三、例题与讨论例例8.2.18.2.1 农民收入影响因素分析模型农民收入影响因素分析模型分析与建模：分析与建模
13、：经过反复模拟，剔除从直观上看可能对农民收入产生影响但实际上并不显著的变量后，得到如下结论：改革开放以来，影响我国农民收入总量水平的主要因素是从事非农产业的农村劳动者人数、农副产品收购价格和农业生产的发展规模。用I表示农民纯收入总量水平、Q表示农业生产的发展规模、P表示农副产品收购价格、L表示从事非农产业的农村劳动者人数。收入采用当年价格；农业生产的发展规模以按可比价格计算的、包括种植业、林业、牧业、副业和渔业的农业总产值指数为样本数据；农副产品收购价格以价格指数为样本数据。农农民收入及相关民收入及相关变变量数据量数据年份I（10亿元）Q(1978=100)P(1978=100)L（100万人
14、）197862.45100.0100.031.52197979.30107.5122.131.90198096.50109.0130.835.021981107.65115.3138.536.921982120.80128.4141.538.051983142.40138.4147.843.401984185.85155.4153.758.881985238.70160.7166.967.131986285.52166.1177.675.221987343.80175.8198.981.301988442.60182.6244.686.111989495.30188.3281.384.9819
15、90524.66202.6274.086.741991559.30210.1268.489.061992613.66223.5277.597.651993743.49241.0314.7109.981994979.39261.7440.3119.6419951271.16290.2527.9127.0719961567.33317.5550.1130.2819971721.71333.7525.3135.27 线性化模型估计结果线性化模型估计结果 非线性模型估计结果（非线性模型估计结果（1978-19971978-1997）非线性模型估计结果（非线性模型估计结果（1980-19971980-1
16、997）拟合结果（拟合结果（PIFIS-PIFIS-线性、线性、PIFNIS-PIFNIS-非线性）非线性）结构分析结构分析LNPI=-4.722+0.511*LNPQ+0.786*LNPP+0.855*LNNPL+AR(1)=0.825,AR(2)=-0.663PI=0.00158*PQ1.786*PP0.271*NPL0.370结构参数（弹性）差异很大结构参数（弹性）差异很大从经济意义方面分析，哪个更合理？从经济意义方面分析，哪个更合理？经经 济济 数数 学学下页返回上页8.3 8.3 二元离散选择模型二元离散选择模型 Binary Discrete Choice Model 一、一、二元
17、离散选择模型的经济背景二元离散选择模型的经济背景 二、二、二元离散选择模型二元离散选择模型 三、三、二元二元ProbitProbit离散选择模型及其参数估计离散选择模型及其参数估计 *四、四、二元二元LogitLogit离散选择模型及其参数估计离散选择模型及其参数估计 五、五、一个实例一个实例说明说明在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假在经典计量经济学模型中，被解释变量通常被假定为连续变量。定为连续变量。离散被解释变量数据计量经济学模型（离散被解释变量数据计量经济学模型（Models Models with Discrete Dependent Variableswith Discret
18、e Dependent Variables）和离散选）和离散选择模型择模型(DCM,Discrete Choice Model)(DCM,Discrete Choice Model)。二元选择模型二元选择模型(Binary Choice Model)(Binary Choice Model)和多元选择和多元选择模型模型(Multiple Choice Model)(Multiple Choice Model)。本节只介绍二元选择模型。本节只介绍二元选择模型。一、二元离散选择模型的经济背景一、二元离散选择模型的经济背景研究选择结果与影响因素之间的关系。研究选择结果与影响因素之间的关系。影响因素包括两部分：影响因素包括两部分：决策者的属性决策者的属性和和备选方备选方案的属性案的属性。对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的对于两个方案的选择。例如，两种出行方式的选择，两种商品的选择。由选择，两种商品的选择。由决策者的属性决策者的属性和和备备选方案的属性共同决定。选方案的属性共同决定。