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1、第九章 二阶线性常微分方程的级数解法 斯特姆 刘维本征值问题（教材第七章)曲线坐标系中的分离变量：以球坐标系下拉普拉斯方程为例 二阶线性常微分方程常点邻域内的幂级数解法：以勒让德方程为例子 斯特姆 刘维本征值问题.应用分离变量法解数学物理偏微分方程时,不可能总是采用直角坐标系,在很多情况下需要根据边界的形状选择适当的曲线坐标系。如所研究的物理系统的边界为球面或柱面,就需要采用球坐标系或柱坐标系（统称曲线坐标系）。在球坐标系或柱坐标系中利用分离变量法求解偏微分方程时，经常会遇到二阶齐次、线性、变系数的常微分方程，如勒让德方程、贝塞尔方程（特殊函数的常微分方程），等等。变系数常微分方程的求解一般都
2、是比较复杂的,需要一些特殊的方法才能对它们进行求解。一个比较普遍的方法就是级数解法,本章将对二阶齐次、线性、变系数常微分方程的级数解法作一简要的介绍。.一、曲线坐标系中的分离变量：以球坐标系下的拉普拉斯方程为例球极球极坐标标边界：.h柱坐标：拉普拉斯方程：直角坐标系：柱坐标系：球坐标系：拉普拉斯算子:.球坐标系下拉普拉斯方程的分离变量：球坐标系下拉普拉斯方程的形式为：分离变量：欧拉形方程球函数方程.径向函数所满足的方程为欧拉形方程：其解为：【求解过程：先作坐标变换原方程变为：其解为：】.球函数方程的分离变量：再令球函数方程：得到两个常微分方程：.自然周期边界条件：解常微分方程：得其通解为：再解
3、常微分方程：令：方程的形式变为：.l-阶缔合勒让德方程在区间-1，1内的有界解为缔合勒让德函数，记为l-阶缔合勒让德方程（特殊函数方程）：结论：在球坐标系下拉普拉斯方程（）的通解为：.于是轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解为：l-阶勒让德方程（特殊函数方程）：轴对称情形下球坐标系中拉普拉斯方程的通解：如果所研究的问题具有轴对称性（即u 是轴对称的，对的转动不改变 u），则 是l-阶勒让德多项式，它是l-阶勒让德方程在区间-1,1内的有界解。.二、二阶齐次、线性、变系数常微分方程常点邻域内的级数解法（以勒让德方程为例）二阶齐次线性变系数常微分方程的标准形式为：对于复变函数：级数解法：假设我
4、们要求解方程在某点 的邻域 内的解，我们可以将解展开为 的级数的形式，然后将级数解代入原方程，再确定级数展开式中的待定系数。根据系数 ,在点 z0 的邻域 内的解析性质，数学上可以证明在点 z0 的邻域内方程的级数解应该具有何种形式,如是泰勒级数还是罗朗级数。.方程的常点和奇点：方程的常点和奇点：如果方程的系数如果方程的系数 p(z),q(z)均在点均在点 z0 的某个邻域内解析，的某个邻域内解析，就称就称 z0 为为方程的常点方程的常点。如果如果 z0是方程的系数是方程的系数 p(z),q(z)的孤立奇点，就称的孤立奇点，就称 z0为方程为方程的奇点。的奇点。下面我们以常点邻域内的幂级数解法
5、为例,简要介绍用幂级数解法求解二阶线性常微分方程的具体作法.二、常点邻域上的级数解法：二、常点邻域上的级数解法：l 定理定理:如果方程如果方程的系数的系数 p(z),q(z)在点在点 z0的邻域的邻域 内解析，则方内解析，则方程在点程在点 z0的邻域的邻域 内的解内的解可以表示成泰勒级数的可以表示成泰勒级数的形式形式:级数展开式中的待定系数由边界条件或初始条件确定。以勒让德方程为例以勒让德方程为例l 展开系数的确定展开系数的确定:（C0,C1为任意复常数）为任意复常数）a0,a1,ak,待定系数待定系数初始条件：初始条件：.即即:在在 x0=0 的邻域内用级数解法求解的邻域内用级数解法求解l-
6、阶阶勒让德方程勒让德方程:方程的系数方程的系数:在在 x0=0:p(x0)=0,q(x0)=l(l+1),在在 x0=0解析解析 x0=0 是方程的常点是方程的常点在在 的邻域内的邻域内.于是于是:代入代入l 阶勒让德方程阶勒让德方程合并同幂次的项合并同幂次的项.得到得到l 阶勒让德方程解：阶勒让德方程解：.在实际应用在实际应用勒让德方程时，一般附有勒让德方程时，一般附有边界条件：要求解边界条件：要求解在在 收敛收敛：x=cos ,0 ，上述有界条件仅当上述有界条件仅当 参数参数l 为非负整数时才能成立为非负整数时才能成立。当当参数参数l 为非为非负整数时负整数时,级数解退化为级数解退化为 l
7、 次多项式，次多项式，称为称为l 阶勒让德阶勒让德多项式多项式，记为记为 P l (x)性质：奇偶性：奇偶性：y0 为偶函数，为偶函数，y1为奇函数；为奇函数；收敛性：收敛性：收敛半径为收敛半径为 1自然边界条件“要求解在 保持有限”确定了 l 必须是整数，确定了勒让德方程的本征值必须是形如 的整数。-1 x 1.由系数的递推关系 可知：当 l 是偶数时，偶次项的系数在 k=l 以后为零，y0 退化为退化为l 次次多项公式多项公式。y1 仍为无穷级数，且在在x=1 1 时发散。为得到在区时发散。为得到在区间间-1,+1-1,+1有界的解，取有界的解，取 。这样，得到 l 阶偶次勒让德多项式。当
8、 l 是奇数时，奇次项的系数在 k=l 以后为零，y1 退化为退化为l 次次多项公式多项公式。y0仍为无穷级数，且在在x=1 1 时发散。为得到在区时发散。为得到在区间间-1,+1-1,+1有界的解，取有界的解，取 。这样，得到 l 阶奇次勒让德多项式。附：为什么当 l 是整数时，勒让德方程在区间-1，+1内的 有界解是 l 次次多项式？.和 任意，适当选取 和 ，使P l (x)中的最高幂次项l-阶勒让德阶勒让德多项式多项式 P l (x)最高次项的幂次为最高次项的幂次为l的系数为：.于是，l-阶勒让德多项式为：开头的四个勒让德多项式为：其中 表示取 的整数部分，或表示不超过 的最大整数，.
9、l-阶勒让德多项式的微分表达式（罗德里格斯公式）：.补充说明：几类常见的特殊函数数学物理方法的一个重要内容之一就是对各类特殊函数的介绍。如勒让德多项式、缔合勒让德函数、贝塞尔函数等。这些特殊函数大都是某些特殊常微分方程（如勒让德方程、缔合勒让德方程、贝塞尔方程）的满足某些特定定解条件的解。勒让德方程勒让德方程勒让德多项式勒让德多项式缔合缔合勒让德方程勒让德方程缔合勒让德函数缔合勒让德函数贝塞尔方程贝塞尔方程贝塞尔函数贝塞尔函数贝塞耳方程还有不同形式的变形贝塞耳方程还有不同形式的变形,如如球贝塞耳方程、虚宗量贝塞耳方程球贝塞耳方程、虚宗量贝塞耳方程.它它们的解统称为们的解统称为柱函数柱函数(见教
10、材第九章见教材第九章,p.181-p.197),p.181-p.197).特殊函数的种类很多,如勒让德多项式、埃米特多项式、拉盖尔多项式、贝塞耳函数、虚宗量贝塞耳函数、球贝塞耳函数、艾里函数、超几何函数、合流超几何函数,等等。这些特殊函数以及与之相对应的常微分方程在很多数学手册中都有详细的介绍,在很多数学手册中对这些特殊函数的各种性质也都有详细的罗列,可供查阅。在很多数学软件(如Mathematica、Matlab、Fortran等)中这些特殊函数都可以直接调用。在教材中详细地介绍了下面几种特殊函数:勒让德多项式、缔合勒让德函数、球函数、贝塞耳函数、球贝塞耳函数、双曲贝塞耳函数等。因课时关系,
11、在课堂上无法对这些特殊函数的性质一一作详细的介绍。作为一个例子,我们将主要介绍一下勒让德多项式的一些基本性质(见教材第八章).三、斯特姆刘维尔本征值问题对二阶齐次线性偏微分方程分离变量时，产生二阶齐次线性常微分方程。解二阶齐次线性偏微分方程的一个基本步骤就是求解二阶线性常微分方程的本征值问题。二阶齐次线性常微方程的一般形式为：（1）其中 是已知函数，是分离变量过程中引入产生的常数。方程（1）可以化成如下形式的斯特姆斯特姆-刘维型方程刘维型方程：.常见的二阶齐次线性常微分方程都可以化为斯特姆刘维型方程。斯特姆刘维型方程与一定的边界条件构成斯特姆刘维型本征值问题。一定的边界条件限制了常微分方程的解
12、：仅当方程的参数 取特定的值时，满足边界条件的非零解才存在。使斯特姆刘维方程有非零解的 值称为本征值本征值，对应于本征值的非零解称为本征函数本征函数。斯特姆刘维型斯特姆刘维型（Sturm-Livouville）方程：方程：核函数权函数参数.2.周期性边界条件：常见的边界条件通常可以分成三种类型:(1)齐次边界条件；(2)周期边界条件；(3)自然边界条件设自变量 x 的变化范围是区间 a,b,边界位于 x=a 和 x=b.三类边界条件分别如下：1.齐次边界条件：（1）第一类边界条件：（2）第二类边界条件：（3）第三类边界条件：.例：对于有边界条件：3.自然边界条件（有界性条件）当边界点是核函数k
13、(x)的一阶零点时，则该边界点上存在自然边界条件，即：在边界点x=a上有k(a)=0 0时，a点上有自然边界条件：y(a)有界在边界点x=b上有k(b)=0 0时，b点上有自然边界条件：y(b)有界例如:勒让德方程：勒让德方程的核函数 ，边界点x=1 1和x=-1 1为其一阶零点，有自然边界条件：y(1)(1)，y(-1)(-1)有界.斯特姆刘维方程加上上述三类边界条件之一，即构成斯特姆刘维本征值问题：为本征值；为本征值；为为权重因子（权函数）权重因子（权函数）.常见的工程和物理问题中，斯特姆-刘维方程中的系数 通常都是实函数，且满足下列条件：在上述条件下讨论斯特姆-刘维尔方程中的本征值问题，
14、可以得到如下普遍的结论:（1）在区间（a,b）内，（2）在区间（a,b）内连续。斯特姆斯特姆刘维本征值问题的普遍性质刘维本征值问题的普遍性质.相应有无限多个本征函数：定理1（存在性定理，关于本征值，本征函数）：存在无穷多个实的、分立的本征值：本征值的全体称为给定问题的“谱”。当同一本征值对应的本征函数不止一个时，称为“简并”。.证明：相应于不同本征值的本征函数在区间即：上带权重正交，两式分别乘以，相减定理2（正交性定理）：.逐项积分.讨论(证明同上):又.则 必可展为绝对且一致收敛的广义傅立叶级数称为广义傅立叶系数；一个完备的正交函数族。即若一个函数 满足广义狄利克雷条件：所有的本征函数构成(
15、1)具有连续一阶导数和逐段连续二阶导数；所满足的边界条件，(2)满足本征函数族定理3（完备性定理）：.其中模方证明：当正交关系和模是研究特殊函数时的两个重要问题.斯特姆-刘维本征值问题所具有的上述普遍性质是分离变量法的理论基础。用分离变量法求解数学物理方程时要由满足边界条件的特解（某个斯特姆-刘维本征值问题的本征函数）叠加得到一般解。这实际上是按斯特姆-刘维本征值问题的本征函数系展开。其理论依据基础就是斯特姆-刘维本征值问题的所有本征函数构成一个完备的正交函数族。斯特姆-刘维本征值问题所具有的上述普遍性质也是量子力学理论的数学基础。由于斯特姆-刘维本征值问题的本征值可以是分立的，所以在量子力学中物理量可以是量子化的。.