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1、德国数学家德国数学家 Leibniz 在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪在一切理论成就中，未必有什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的下半叶微积分的发明那样，能被看做人类精神的卓越胜利了。如果在某个地方我们有人类精神的、卓越胜利了。如果在某个地方我们有人类精神的、纯粹和专有的功绩，那就正在这里。纯粹和专有的功绩，那就正在这里。 F. 恩格斯恩格斯 英国数学家英国数学家Newton微积分学创始人微积分学创始人 The one real object of education is to have a man in the condition of continually a
2、sking questions. （教育的真正目（教育的真正目的是使人处于不断发问的状态）的是使人处于不断发问的状态） - Mandell Creighton（克莱顿）（克莱顿） Brevity is the soul of wit. （简洁是智慧的灵魂）（简洁是智慧的灵魂） - William Shakespeare（莎士比亚）（莎士比亚） Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果）（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果） - Francis Hutcheson（哈奇森）（哈奇
3、森） 一位年迈的法国数学家说：一位年迈的法国数学家说：“只有当你使数学变得如此只有当你使数学变得如此明白易懂、可以向任何一个人阐述其内容的时候，数学理明白易懂、可以向任何一个人阐述其内容的时候，数学理论才可以认为是完善的。论才可以认为是完善的。” - D. Hilbert（希尔伯特）（希尔伯特） Brevity is the soul of wit. （简洁是智慧的灵魂）（简洁是智慧的灵魂） - William Shakespeare（莎士比亚）（莎士比亚） Wisdom denotes the pursuing of the best ends by the best means.（智慧意味
4、着以最佳手法获得最佳结果）（智慧意味着以最佳手法获得最佳结果） - Francis Hutcheson（哈奇森）（哈奇森）退出退出四四五五二一一退出退出专题专题三三退出退出返回返回本章只讨论常微方程。简例如下：本章只讨论常微方程。简例如下：2. 常微方程分类命名法常微方程分类命名法 含一元未知函数的导函数或因变量含一元未知函数的导函数或因变量(3)(5) 15cos0yx 13(3) xx dye dx (1) 30yxy 28(4) 0yx 222(2) dyxydxxy 1. 何谓常微分方程何谓常微分方程经验指出，常微方程中未知函数及其经验指出，常微方程中未知函数及其非线性方程，剩下的都是
5、线性方程。非线性方程，剩下的都是线性方程。显然，简例中阶数最高的方程是显然，简例中阶数最高的方程是 (5)， 它们统称为高阶方程）。剩下的方程全它们统称为高阶方程）。剩下的方程全为三阶方程；其次是为三阶方程；其次是(4)，为二阶方程（，为二阶方程（是一阶方程（尤其含有微分者更如此）是一阶方程（尤其含有微分者更如此）的微分以及自变量的微分的等式称为的微分以及自变量的微分的等式称为数或因变量的微分及其多个自变量数或因变量的微分及其多个自变量的的常微分方程；含多元未知函数的偏导常微分方程；含多元未知函数的偏导(6) 33yxyx 常微方程按其内所含未知函数的最高常微方程按其内所含未知函数的最高阶数来
6、分类并命名。最高阶数是几，方阶数来分类并命名。最高阶数是几，方程就被称为几阶方程。程就被称为几阶方程。导数的幂次是否全为一次，决定了未知导数的幂次是否全为一次，决定了未知函数的具体结构能否被解出来的难度。函数的具体结构能否被解出来的难度。全为一次的方程称为线性方程，否则称全为一次的方程称为线性方程，否则称为非线性方程。易见，简例唯有为非线性方程。易见，简例唯有 (2) 是是的微分的等式称为偏微分方程。的微分的等式称为偏微分方程。退出退出返回返回3. 常微方程的特解与通解常微方程的特解与通解常微方程的通解多数都能囊括方程的常微方程的通解多数都能囊括方程的例外）。不被通解囊括的以及通解中的例外）。
7、不被通解囊括的以及通解中的例例1-1 验证方程验证方程 的通解的通解任何含自变量与因变量的表达式，若任何含自变量与因变量的表达式，若能由之恒等地推出给定的常微方程时，能由之恒等地推出给定的常微方程时，都称为该常微方程的解；解若含有任意都称为该常微方程的解；解若含有任意所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有所有可能存在的解（仅非线性方程鲜有常数、且不能合并的任意常数的个数恰常数、且不能合并的任意常数的个数恰任意常数取特定值后所得出的对应解称任意常数取特定值后所得出的对应解称证证22 ,xyCy 是是22 .xyCy 222dyxydxxy 好等于方程的阶数时称为方程的通解。好等于方程的阶数时称为方程
8、的通解。为方程的特解。为方程的特解。 22 ,xdxydyCdy (2 )2 ,Cy dyxdx 22dyxdxCy 222xyCyy 22222xyxyy 222xyxy 由于表达式中仅含一个任意常数，个数由于表达式中仅含一个任意常数，个数可见，给定的表达式是给定方程的解；可见，给定的表达式是给定方程的解；明显与方程的阶数（一阶）相等，故此明显与方程的阶数（一阶）相等，故此解是方程的通解。解是方程的通解。证毕。证毕。退出退出返回返回222 ,dyxydxxy 222dyxydxxy 222 ,xydxx dyy dy 的通解。的通解。22 ()2 ,xydyxydx 222() ;yd xx
9、 dyy dy 解解2xyCy 222() ,yd xx dydyy 2() ;xddyy 故原方程的通解为故原方程的通解为2 ()0 .xdyy 22 .xyCy * *例例2-1 2-1 求一阶非线性微分方程求一阶非线性微分方程即即非线性方程的通解（包括特解）非线性方程的通解（包括特解）往往用隐函数的形式书写比较简洁。往往用隐函数的形式书写比较简洁。 有些非线性方程偶尔可经变元代换化有些非线性方程偶尔可经变元代换化成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材成线性方程再求解（有兴趣者可参阅教材P236之例之例4与例与例5），但转换过程琐碎，明），但转换过程琐碎，明显不如凑微分法来得直接和明快。显不
10、如凑微分法来得直接和明快。可见，可见，退出退出返回返回22 ,dyydxxyx 22dyydxxyx 22 ,xydyy dxx dy 的通解。的通解。22 () ;xyxdyy dx 2 ;xxdyydxdyy 解解1ln| yyCx 2 ;xdyydxdyxy ()(ln|) ;yddyx 故原方程的通解为故原方程的通解为 (ln|)0 .ydyx 1ln| | ,yCyxeee * *例例2-2 2-2 求一阶非线性微分方程求一阶非线性微分方程即即 用凑微分法解常微方程，用凑微分法解常微方程，需要纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧，需要纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧，特别是商的微分运算法则；
11、特别是商的微分运算法则；其掌控的要点在于其掌控的要点在于认准何为分母，何为分子。认准何为分母，何为分子。（本例即教材（本例即教材P236之例之例4）可见，可见， . yxeCy 1| ,yCxeey 退出退出返回返回解解的通解。的通解。12xx dye dx 例例2-3 2-3 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程12 ,xx dye dx 121 xdye dxx 11()xe dx 1(),xde 故故1()0,xd ye 1,xyeC 1.xyeC 凑微分法解一阶微分方程时，凑微分法解一阶微分方程时，只要可能，应坚持因变量按因变量凑，只要可能，应坚持因变量按因变量凑，自变量按自变量凑；然
12、后再合并归总得通解。自变量按自变量凑；然后再合并归总得通解。 解微分方程的过程，本质上是解微分方程的过程，本质上是 求出的求出的特解和通解特解和通解又常又常常被分别称做常被分别称做历经曲折求原函数的过程。因此，被历经曲折求原函数的过程。因此，被微分方程的微分方程的积分曲线和积分曲线族积分曲线和积分曲线族（我们知道，同时含有因变量和自变量我们知道，同时含有因变量和自变量的等式在解析几何中表示平面曲线）的等式在解析几何中表示平面曲线） 在极理想的情况下，原方程有可能被在极理想的情况下，原方程有可能被重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，重组成因变量与自变量全都各居一侧的形式，人们常称其为已分离变
13、量的形式。人们常称其为已分离变量的形式。这种方程的解几乎显而易见：这种方程的解几乎显而易见： ( )( ),f x dxg y dy 若若00 ( )( ),xydf t dtdg t dt 则则00 ( )( ).xyf t dtg t dtC 通通解解即即退出退出返回返回1(1) 0yyx *(2) 20yy 0 ,xdyydx ()0 ;d xy 1(1) 0yyx (2) 20,yy 20 ,dyydx 22(2 )0 ,xxe dyye dx 2xyeC 22()0 ,xxe dyyd e 2()0 ,xd ye 2 .xyCe 解解 0 ,xyy xyC 故原方程的通解为故原方程的
14、通解为.Cyx 或者或者故原方程的通解为故原方程的通解为或者或者例例2-4 2-4 解下列一阶线性齐次方程解下列一阶线性齐次方程方程两边同乘以方程两边同乘以2xe 得得线性方程中不含未知函数及其导函数的项称为非齐次项。非齐次项为零的方程称为线性齐次方程线性方程中不含未知函数及其导函数的项称为非齐次项。非齐次项为零的方程称为线性齐次方程(2 )0 ,dyydx 12150 yy 的的通通解解是是？54. .xAnsyCe 的特解。的特解。退出退出返回返回1 ,xeyyxx xxdyydxe dx ；满足初始条件满足初始条件 ,xxyye ()(),xd xyd e (1),ye 解解()0 ;x
15、d xye 1xeyyxx 故方程的通解为故方程的通解为xxyeC 1.xCyexx 亦即亦即又又(1)ye (1),eyeC 0 ,C 故欲求的特解为故欲求的特解为0 xxye 1.xyex 或者或者例例2-5 2-5 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程亦即亦即退出退出返回返回 22 ,yxyx 22()()dyydxd x ； 22,dyxydxxdx 22222()()xxxedyeydxed x ； 解解22()(),xxd yed e 22()0;xxd yee 故方程的通解为故方程的通解为22xxyeeC 21.xyCe 或者或者0|0,xy 又又0(0)1,yC 即即 1 ,C
16、 故原方程欲求的特解为故原方程欲求的特解为221xxyee 21.xye 或者或者的特解。的特解。满足初始条件满足初始条件22yxyx 0|0 xy 例例2-6 2-6 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程2222()()xxxedyyd eed x ；* *例例2-7 2-7 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程 与与退出退出返回返回(1) tancos ,yyxx 2cossincosxdyyxdxxdx ； tancos,dyyxdxxdx 2cos(cos )cosxdyydxxdx ； 解解2cos(cos )cosxdyydxdxx ,()0;cosydxx 故方程的通解为故方程的
17、通解为cosyxCx coscos .yxxCx 即即的通解。的通解。tan0yyx tancosyyxx (2) tan0,yyx cossin0 xdyyxdx ； tan0,dyyxdx cos(cos )0 xdyydx ；2cos(cos )0cosxdyydxx ,()0;cosydx 故方程的通解为故方程的通解为cosyCx cos .yCx 即即退出退出返回返回 ( )( ) ,yP x yQ x ( )( ) ;xadyydP t dtQ x dx 解解 ( )( ) ,dyp x ydxQ x dx ( )xaP t dte 得得( )( )( ) .xuaaxP t dt
18、P t dtayeeQ u duC ( )( )()( ) ;xuaaxP t dtP t dtad yedeQ u du ( )( )( )( )( ) , xxxaaaxP t dtP t dtP t dtaedyyedP t dteQ x dx x 的连续函数。的连续函数。( )( )yP x yQ x ( )( ) ( ) .xuaaxP t dtP t dtayeeQ u duC 所得等式的两边同乘以所得等式的两边同乘以参考课本参考课本P237P237公式公式(6)(6)故方程的通解为故方程的通解为可见可见( )( )( )0 ;xuaaxP t dtP t dtad yeeQ u
19、du * * *例例2-8 2-8 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程的通解，其中的通解，其中P，Q 都是都是( )( )( )()( ) ; xxxaaaP t dtP t dtP t dtedyyd eeQ x dx ()()( ) .p x dxp x dxyeeQ x dxC ( )p x dx 但应强调指出的是，其中的不定积分但应强调指出的是，其中的不定积分仅用以特指仅用以特指 P ( x ) 的某一的某一积函数的某个原函数而非全体原函数。积函数的某个原函数而非全体原函数。而非全体原函数。而非全体原函数。该公式在教材的该公式在教材的P237P237的公式的公式(6)(6)中借不定积
20、分的形式表述为中借不定积分的形式表述为( )( )yP x yQ x 的通解求算公式：的通解求算公式：* * *例例2-82-8的求解结果实际上给出了一阶线性微分方程的求解结果实际上给出了一阶线性微分方程( )( ) ( ) .xuaaxP t dtP t dtayeeQ u duC 类似地，不定积分类似地，不定积分()( )p x dxeQ x dx 也仅用以特指被也仅用以特指被显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述显然，使用变积分上限的函数表示某指定函数的原函数，较之上述采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过于简单的做法要严谨。采取将全体原函数声明混用于单个原函数的过
21、于简单的做法要严谨。退出退出返回返回退出退出返回返回 ()()0 ,yx dyxy dx()()0yx dyxy dx 22 ,xdyydxxydyxdxx 的通解。的通解。 ;xdyydxydyxdx 22222222()() ;xyd xydxyxxy 解解222arctanln() yxyCx 2221()() ;2yx dd xyx 222222()() ;1( )yxyd xydxxy 故原方程的通解为故原方程的通解为22 (2arctanln()0 .ydxyx * * *例例2-9 2-9 求一阶线性微分方程求一阶线性微分方程 用凑微分法解常微方程，用凑微分法解常微方程，除应纯熟
22、地掌握凑微分的四则运算技巧、除应纯熟地掌握凑微分的四则运算技巧、特别是商的运算法则之外，特别是商的运算法则之外，对已经选凑成形的微分间的相互关联性，对已经选凑成形的微分间的相互关联性，尤其应保持住丰富的联想空间。尤其应保持住丰富的联想空间。何谓规律？不就是相互关联性吗？何谓规律？不就是相互关联性吗？“想象力比知识更重要想象力比知识更重要”，本例即为又一，本例即为又一值得体味的佐例值得体味的佐例（请与教材（请与教材P236之例之例4相比对相比对 ）可见，可见，退出退出返回返回1. 分离变量法分离变量法2. 公式法公式法已分离变量的方程。对可分离变量已分离变量的方程。对可分离变量 若一阶常微方程已
23、被改写成关于若一阶常微方程已被改写成关于通解表达式，把未知函数的系数和通解表达式，把未知函数的系数和若一阶常微方程已被改写成等号若一阶常微方程已被改写成等号两边各自分别是同一变量疑似为某两边各自分别是同一变量疑似为某全微分的方程，则这种方程就称为全微分的方程，则这种方程就称为所求得的一阶任意线性微分方程的所求得的一阶任意线性微分方程的非齐次项的信息直接代入计算，而非齐次项的信息直接代入计算，而一举得出通解的解法称为公式法。一举得出通解的解法称为公式法。这种奠基性的解法一旦与微分方程的具体构形特征挂上钩之后，这种奠基性的解法一旦与微分方程的具体构形特征挂上钩之后，凑微分法是微分方程求解的奠基性解
24、法。凑微分法是微分方程求解的奠基性解法。还能衍生出许多其它的经典解法。还能衍生出许多其它的经典解法。的方程分离变量，各边再分头关于的方程分离变量，各边再分头关于自身的变量求不定积分常能求出方自身的变量求不定积分常能求出方程的解。这种解法称为分离变量法。程的解。这种解法称为分离变量法。某个变量为未知函数的一阶线性微某个变量为未知函数的一阶线性微分方程的规范形式分方程的规范形式( )( )M y dyN x dx ( )( )yP x yQ x ，则借用例，则借用例 2-8退出退出返回返回34,dyx dxy 3 40,dyx ydx *例例3-1 用分离变量法求微分方程用分离变量法求微分方程3
25、40,yx y 32 3xyx yxe 3 40yx y 34,dyx ydx 34,dyx dxy 41ln|,yxC 41|,xCye 41,Cxye e 4.xyCe （因（因 y 0 显然是方程之解，故任意常显然是方程之解，故任意常（若（若 y 0）数数 C 取取 0 时通解就可将之囊括其内）时通解就可将之囊括其内）的通解。的通解。 解解故故*例例3-2 用公式法求一阶线性微分方程用公式法求一阶线性微分方程的通解。的通解。 解解32 3, xpxQxe 22333x dxx dxxeexedxC pdxpdxyeeQdxC 333xxxeexedxC 3xexdxC 321()2xex
26、C 3321.2xxx eCe短接短接故返回给定的变量即得原方程的通解故返回给定的变量即得原方程的通解22211.xxCey 退出退出返回返回*例例3-3 用用变元代换法变元代换法求微分方程求微分方程33 yxyx y 的通解。（此乃的通解。（此乃P239习题习题7.2的的 4(2) ） 解解33 ,yxyx y 21, zy 3322122,yxxyy 32211()22;xxyy 322;zxzx 若令若令则方程将化为以则方程将化为以 Z 为为未知函数的一阶线性方程未知函数的一阶线性方程223( 2)xdxxdxeexdxC 2232xxex edxC 222(1) xxexeC 方程的通
27、解应为方程的通解应为pdxpdxzeeQdxC 221 . xxCe 于是，依线性方程的求解公式，此于是，依线性方程的求解公式，此2222()xxex ed xC 3321 ,yxxyy 退出退出返回返回*例例3-4 用用变元代换法变元代换法求微分方程求微分方程 2 ,tzzt 22lnxyyyx 若再令若再令则方程显然是以则方程显然是以 z的通解。的通解。 解解2 2,dyytydt ,txe 211 2 ,tytyy 11()2 ;ttyy 22dyytydt1 ,zy 112dtdteetdtC 2ttete dtC 2(1)tteteC 依求解公式，此方程的通解应为依求解公式，此方程的
28、通解应为若令若令故返回给定的变量即得原方程的通解故返回给定的变量即得原方程的通解则方程将化为则方程将化为以以t 为自变量的一阶微分方程为自变量的一阶微分方程 . )tdydy dtdyyedxdt dxdt （ 因为因为为未知函数、以为未知函数、以 t 为自变量的一阶线性为自变量的一阶线性方程方程pdtpdtzeeQdtC 2(1).ttCe 12(ln1).xCxy退出退出返回返回22sin .11xCxx 2222112cos1xxdxdxxxxeCedxx 解解 pdxpdxyeCQedx *例例3-5 用不同方法求方程的通解用不同方法求方程的通解 222cos11xxyyxx 21co
29、s1Cxdxx 22ln|1|ln|1|2cos1xxxeCedxx 2 (1)sin 0 ,d y xx 2(1)sin ,y xxC 解二（凑微分法）解二（凑微分法）故原方程的通解为故原方程的通解为2sin1xCyx 222cos , ,11xxPQxx 21(sin)1Cxx 22sin11xCxx 2(1)2cos ,xyxyx 2(1)2cos,xdyxydxxdx 一（公式法）一（公式法）22(1)(1)cos,xdyyd xxdx 方程是线性方程方程是线性方程方程即方程即2 (1)(sin),d y xdx 亦即亦即退出退出返回返回例例4-0 求一阶线性齐次方程的通解求一阶线性齐
30、次方程的通解 解解原方程即原方程即 (1) 0yay(2) 0yy拆中降阶建立在对一阶常系数线性齐次方程的通解能目视得解的基础上拆中降阶建立在对一阶常系数线性齐次方程的通解能目视得解的基础上 ()0 .axd ye 可可见见0 ,dyaydx 0 ,axaxe dy aye dx 亦即亦即()0 ,axaxe dyyd e 故原方程的通解为故原方程的通解为 .axyCe .axyeC 系数为系数为 a ，通解为，通解为 .axyCe Ans. 通解为通解为(3) 0yy(4) 20yy(5) 0yiy(6) (2)0yi yAns. 通解为通解为Ans. 通解为通解为Ans. 通解为通解为An
31、s. 通解为通解为 .xyCe .xyCe 2 .xyCe .ixyCe ( 2) .i xyCe 退出退出返回返回*例例4-1 求二阶线性齐次方程的通解求二阶线性齐次方程的通解 (1) 10250yyy(2) 690yyy【拆中降阶要点拆中降阶要点】中项系数的分拆之积与末项系数相等中项系数的分拆之积与末项系数相等解解 原方程即原方程即 55250 ,yyyy (5 )5(5 )0 ,yyyy 51 5 .xyyC e 551 ,xxe dyye dxC dx 可可见见51()0 ;xd yeC x 51()() ,xd yed C x 512 .xyeC xC 故原方程的通解为故原方程的通解
32、为5512 .xxyC xeC e 解解原方程即原方程即 3390 ,yyyy (3 )3(3 )0 ,yyyy 31 3 .xyyC e 331 ,xxedyyedxC dx 可可见见31()0 ;xd yeC x 31()() ,xd yed C x 312 .xyeC xC 故原方程的通解为故原方程的通解为3312 .xxyC xeC e 2 .( ) R rrprq 指指数数上上的的系系数数无无一一不不是是二二次次三三项项式式的的根根2 ( )1025R rrr 2 ( )69R rrr 短接短接退出退出返回返回例例4-2 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 解解原方程即原方程即
33、 (1) 230yyy(2) 560yyy【拆中降阶要点拆中降阶要点】中项系数的分拆之积与末项系数相等中项系数的分拆之积与末项系数相等41 ,xxxedyyedxC edx 可可见见330 ,yyyy ()3()0 ;yyyy 亦即亦即31 .xyyC e 41()0 ;xxd yeC e 41()() ,xxd yed C e 原方程即原方程即412 .xxyeC eC 故原方程的通解为故原方程的通解为312 .xxyC eC e 解解2360 ,yyyy (2 )3(2 )0 ,yyyy 31 2 .xyyC e 221 2 ,xxxedyyedxC edx 可可见见21()0 ;xxd
34、yeC e 21()() ,xxd yed C e 212 .xxyeC eC 故原方程的通解为故原方程的通解为3212 .xxyC eC e 2 .( ) R rrprq 指指数数上上的的系系数数无无一一不不是是二二次次三三项项式式的的根根2 ( )23R rrr 2 ( )56R rrr *例例4-3 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解 中是一阶导函数项的代称中是一阶导函数项的代称中项系数的分拆之积与末项系数相等中项系数的分拆之积与末项系数相等(1) 30yy(2) 0yy解解原方程即原方程即 3330 ,yyyy (3 )3(3 )0 ,yyyy 31 3 .xyyC e 332
35、31 3 ,xxxedyyedxC edx 可可见见3231()0 ;xxd yeC e 32 31()() ,xxd yed C e 32 312 .xxyeC eC 故原方程的通解为故原方程的通解为3312 .xxyC eC e 原方程即原方程即解解0 ,yiyiyy ()()0 ,yiyi yiy 1 .ixyiyC e 21 ,ixixixe dyiye dxC edx 可可见见21()0 ;ixixd yeC e 21()() ,ixixd yed C e 212 .ixixyeC eC 故原方程的通解为故原方程的通解为12 .ixixyC eC e 退出退出返回返回2 .( ) R
36、 rrprq 指指数数上上的的系系数数无无一一不不是是二二次次三三项项式式的的根根2 ( )3R rr 2 ( )1R rr 【拆中降阶要点拆中降阶要点】 *例例4-4 求二阶线性齐次方程求二阶线性齐次方程 的通解。的通解。 解解原方程即原方程即 220yyy(1)(1)20 ,yi yi yy (1) (1)(1) 0 ,yi yi yi y 亦即亦即(1)1 (1) .i xyi yC e 或者或者12(cossin ) .xyeCxCx 12() .xixixeC eC e (1)(1)21 (1) ,i xi xixedyi yedxC edx 可可见见(1)21()0 ;i xixd
37、 yeC e (1)21()() ,i xixd yed C e (1)212 .i xixyeC eC 故原方程的通解为故原方程的通解为(1)(1)12ixixyC eC e 退出退出返回返回cossinkixekxikx 根据著名的欧拉根据著名的欧拉（Euler）公式）公式12ixixC eC e 12()cosCCx 12()sinCCx 12cossinAxAx 2 .( ) R rrprq 指指数数上上的的系系数数无无一一不不是是二二次次三三项项式式的的根根2 ( )22R rrr 特征多项式特征多项式 ( ) R r非非齐齐次次项项指指数数的的系系数数不不是是特特征征多多项项式式的
38、的根根时时，特特解解多多项项式式与与非非齐齐次次项项同同次次*例例4-5-1 求二阶线性非齐次方程求二阶线性非齐次方程解解原方程即原方程即 3 54xyyyxe344 ,xyyyyxe 34 ,xyyyyxe 亦即亦即3 ()4() .xd yyyy dxxe dx 32111()() ;24xxxd yed C exe 321 (1) ,xxxxedyeydxC exedx 44 (4 )(4 ) ,xxxed yyeyy dxxedx 可可见见41()(1) ;xxyy eCxe 4() (1) ,xxdyy edxe 431(1) ;xxyyC exe 故原方程的通解为故原方程的通解为4
39、31 (1) ;xxdyydxC exedx 所所得得到到的的方方程程即即退出退出返回返回可以看出：非齐次方可以看出：非齐次方程的通解等于某个特程的通解等于某个特解与对应齐次方程的解与对应齐次方程的通解之和。本例的求通解之和。本例的求算过程乃是一般性证算过程乃是一般性证明的某个具体实现。明的某个具体实现。321211() ;24xxxyeC exeC 431211() .24xxxyC eC exe 的通解。的通解。 2 ( )54R rrr *例例4-5-2 求二阶线性非齐次方程求二阶线性非齐次方程解解原方程即原方程即 4 712xyyyxe43412 ,xyyyyxe 43 43 ,xyy
40、yyxe 亦即亦即4 (3 )4(3 ) .xd yyyy dxxe dx 3211()() ;2xxd yed Cxx e 33211 2() ,2xxxedyeydxCxe dx 44 (3 )(3 ) ,xxed yyeyy dxxdx 可可见见4211(3 ) ;2xyy exC 421(3 )() ,2xdyy edx 24113() ;2xyyCxe 故原方程的通解为故原方程的通解为2411 3() ;2xdyydxCxe dx 所所得得到到的的方方程程即即退出退出返回返回可以看出：非齐次方可以看出：非齐次方程的通解等于某个特程的通解等于某个特解与对应齐次方程的解与对应齐次方程的通
41、解之和。本例的求通解之和。本例的求算过程乃是一般性证算过程乃是一般性证明的某个具体实现。明的某个具体实现。32121() ;2xxyeCxx eC 4324121() .2xxxyC eC exx e ( ) R r非非齐齐次次项项指指数数的的系系数数是是特特征征多多项项式式的的根根时时，特特解解多多项项式式次次数数高高非非齐齐次次项项重重数数次次的通解。的通解。 2 ( )712R rrr *例例4-5-3 求二阶线性非齐次方程求二阶线性非齐次方程解解原方程即原方程即 4 816xyyyxe44416 ,xyyyyxe 44 44 ,xyyyyxe 亦即亦即4 (4 )4(4 ) .xd y
42、yyy dxxe dx 4311()() ;6xd yed C xx 44211 4() ,2xxedyeydxCxdx 44 (4 )(4 ) ,xxed yyeyy dxxdx 可可见见4211(4 ) ;2xyy exC 421(4 )() ,2xdyy edx 424114 ;2xxyyC ex e 故原方程的通解为故原方程的通解为42411 4() ;2xxdyydxC ex edx 所所得得到到的的方方程程即即退出退出返回返回可以看出：非齐次方可以看出：非齐次方程的通解等于某个特程的通解等于某个特解与对应齐次方程的解与对应齐次方程的通解之和。本例的求通解之和。本例的求算过程乃是一般
43、性证算过程乃是一般性证明的某个具体实现。明的某个具体实现。的通解。的通解。 43121 ;6xyeC xxC 4434121 ;6xxxyC xeC ex e 2 ( )816R rrr ( ) R r非非齐齐次次项项指指数数的的系系数数是是特特征征多多项项式式的的根根时时，特特解解多多项项式式次次数数高高非非齐齐次次项项重重数数次次退出退出返回返回 一阶常系数线性微分方程只有一个一阶常系数线性微分方程只有一个(*)中的各阶导函数幻化成中的各阶导函数幻化成 r 的各次幂函的各次幂函将二阶线性常系数齐次方程将二阶线性常系数齐次方程2( )R rrprq 12,.rrrr称为微分方程的称为微分方程
44、的特征多项式特征多项式，特征多，特征多如果特征根是复数，则二者必共轭，如果特征根是复数，则二者必共轭，1212r xr xyC eC e 12rxrxyC eC xe 0ypyqy 用凑微分法可以证明，如果两特征根用凑微分法可以证明，如果两特征根不相等，则线性齐次方程的通解必为不相等，则线性齐次方程的通解必为若两特征根彼此相等，即若两特征根彼此相等，即则齐次方程的通解必为则齐次方程的通解必为数所得到的二次三项式数所得到的二次三项式项式的根称为微分方程的项式的根称为微分方程的特征根特征根。以。以特征多项式作为标准函数的标准方程特征多项式作为标准函数的标准方程特征根特征根 r，二阶常系数线性微分方
45、程，二阶常系数线性微分方程有两个特征根有两个特征根当然必不相等。记两共轭之根为当然必不相等。记两共轭之根为,ri 则则方方程程的的通通解解即即可可复复数数地地表表为为()()12i xi xyC eC e 称为微分方程的称为微分方程的 特征方程特征方程。( )0R r 12,rrr又又可可依依欧欧拉拉公公式式实实数数地地表表为为12cossin)xyeCxCx （退出退出返回返回例例5-1 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解2212 .xxyC eC e 2( )2(2)(2) ,R rrrr 解解的特征多项式的特征多项式122, 2 ,rr 特征根为特征根为方程的通解为方程的通解为 (
46、2)40yy (1)20yy (1)20yy 2( )4(4) ,R rrrr r 的特征多项式的特征多项式 (2)40yy120, 4 ,rr 特征根为特征根为0441212 .xxxyC eC eCC e 齐次方程齐次方程 依原方程构造特征多项式最容易依原方程构造特征多项式最容易 (3)4120yyy2( )412(2)(6) ,R rrrrr 的特征多项式的特征多项式 (3)4120yyy122, 6 ,rr 特征根为特征根为2612 .xxyC eC e 齐次方程齐次方程出差错的是不求导数的未知函数项。出差错的是不求导数的未知函数项。 警示自己的口诀是：不求导数即求警示自己的口诀是：不
47、求导数即求零阶导数，零阶导数，r 的零次幂可视为无的零次幂可视为无 r ！ 齐次齐次的通解为的通解为的通解为的通解为退出退出返回返回例例5-2 求下列微分方程的通解求下列微分方程的通解2212 .xxyC eC xe 2( )44(2)(2) ,R rrrrr 解解项式项式122 ,rr 特征根为特征根为通解为通解为2( )(0)(0) ,R rrrr 的特征多项式的特征多项式 (2)0y 120 ,rr 特征根为特征根为001212 .xxyC eC xeCC x 齐次方程齐次方程2( )69(3)(3) ,R rrrrr 的特征多项式的特征多项式 (3)690yyy123 ,rr 特征根为
48、特征根为3312 .xxyC eC xe 齐次方程齐次方程 齐次方程的齐次方程的的通解为的通解为的通解为的通解为 (2)0y (1)440yyy (3)690yyy (1)440yyy 的特征多的特征多 特征根彼此相等时，写通解的方式特征根彼此相等时，写通解的方式完全和不相等时完全和不相等时 “ 走一样的程序走一样的程序 ”： 在两任意常数后写两个特征根对应在两任意常数后写两个特征根对应的指数复合函数解；检查此二解的指的指数复合函数解；检查此二解的指数是否相同，一旦发现二者一模一样数是否相同，一旦发现二者一模一样就迅即任选其中的一项补乘以因子就迅即任选其中的一项补乘以因子 x .1退出退出返回
49、返回*例例5-3 求二阶线性非齐次方程求二阶线性非齐次方程解解 方程的特征多项式方程的特征多项式 4 816xyyxey(4)(,4) rr 124 ,rr 特征根为特征根为4412 .xxyC eC xe ,Px 即即44()8(816)16 ,4xxePPPPPxeP 44*2 .() xxyaxxb eeP 依依非非齐齐次次项项的的构构造造可可设设原原方方程程的的特特解解形形式式为为故原方程的通解为故原方程的通解为 代代入入原原方方程程得得的通解。的通解。 *4412436 ;1xxxyyyC eC xex e 非非齐齐次次项项指指数数的的系系数数是是特特征征多多项项式式的的几几重重根根
50、，特特解解的的多多项项式式就就高高非非齐齐次次项项多多项项式式的的几几多多次次2 ( )816R rrr 对应齐次方程的通解为对应齐次方程的通解为 62;axbx , 06 ;1ab *4316 .xx ey 亦亦即即特特解解 ( )( )( )kxekkPyPQRxRPP 一一般般若若设设 , ,则则代代入入约约去去指指数数函函数数后后必必有有3 4Paxkxb 本本，例例中中退出退出返回返回*例例5-4 求二阶线性非齐次方程求二阶线性非齐次方程解解 方程的特征多项式方程的特征多项式 23 69xyyx ey(3)(,3) rr 123 ,rr 特征根为特征根为3312 .xxyC eC x