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1、第三节第三节 幂幂 级级 数数第三节第三节 幂级数幂级数一一.函数项级数函数项级数1.定义 函数项级数是定义在区间 I 上的函数列在 I 中任取一点 ,就得到一个数项级数收敛,收敛点发散,发散点 函数项级数的全体收敛点的集合称为收敛域2.收敛域3.和函数：在收敛域内，函数项级数的和依赖于点x，因此其和是x的函数，称为和函数4.余项:前n项的部分和在收敛域内才有意义,且 二二.幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性幂级数各项都是幂函数的函数项级数一般形式:特例系数(1)(2)主要讨论(2),因为(1)可以通过变量代换化成(2)1.幂级数的收敛域x=0 时(2)收敛,一般的,幂级数收敛域是一区间.例由等
2、比级数的性质,时收敛,时发散则收敛域(1,1)内定理1(阿贝尔定理)如果 ：1.在点 收敛,则当 时，它绝对收敛2.在点 发散,则当 时，它发散.推论 设 存在非零的收敛点,又存在发散点,则存在R0,使得当|x|R 时它发散注:三种收敛情形:(1)仅在 x=0 处收敛;(2)在 内处处收敛;(3)在(R,R)内收敛,端点另外讨论收敛区间R收敛半径收敛半径R=0R=+2.收敛半径的求法定理2(证明略)例 求收敛半径和收敛域x=1 时收敛；x=1时收敛域是(1，1发散 收敛域是(，）仅在 x=0 点收敛设 x2 t,由(1)知收敛域是(1,3收敛域是(1,1令t=3 时t=3时发散发散收敛域是(3
3、,3)收敛域是缺少偶次项,无法用公式，可以用比值法求R1时,收敛.1时,发散.则收敛区间为时,发散.注:缺少奇次项,也可以用此方法.三三.幂级数的运算性质幂级数的运算性质1.四则运算性质设收敛半径分别为 和 ,记则对于任意的 ,有利用乘法可以定义除法则注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多2.分析运算性质设收敛半径为R,则(1)S(x)在收敛域内连续;(2)S(x)在(-R,R)内可导,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项求导,所得到的幂级数收敛半径不变.可推广到任意阶导数(3)S(x)在(-R,R)内可积,且即幂级数在(-R,R)内可以逐项积分,所得到的幂级数收敛半径不变.注意:(2),(3)中端点需要另外讨论.例 求和函数设和函数为S(x)(|x|1 )设和函数为S(x)则练习