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1、1规范答题示例规范答题示例 9 9 导数与不等式的恒成立问题导数与不等式的恒成立问题典例 9 (12 分)(2017全国)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a 0讨论2ax1的符号应依据a分类讨论(2)要证明fx 3 4a2fxmax 3 4a2fxmax3 4a2 0.令x1 2a，造函数gxfxmax3 4a2证明gxmax 0规 范 解 答分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)解 f(x)的定义域为(0，)，f(x) 2ax2a1(x0).2 分1 xx12ax1x若a0，则当x(0，)时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增.4
2、分若a0；(0，1 2a)当x时，f(x)0).1 x第一步求导数：一般先确定函数的定义域，再求f(x).第二步定区间：根据f(x)的符号确定函数的单调性.第三步寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题.第四步写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立问2当x(0,1)时，g(x)0；当x(1，)时，g(x)0 时，g(x)0.从而当a2，令f(x)0，得x或x.aa242aa242当x时，f(x)0.(aa242，aa242)所以f(x)在，上单调递减，(0，aa242) (aa242，)在上单调递增(aa242，aa242)(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设 01.由于1afx1fx2x1x21 x1x2ln x1ln x2 x1x22a2a，ln x1ln x2 x1x22ln x2 1 x2x2所以a2 等价于x22ln x20.fx1fx2x1x21 x2设函数g(x) x2ln x，1 x由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，1 x2即a2.fx1fx2x1x2