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1、1规范答题示例规范答题示例 8 8 函数的单调性、极值与最值问题函数的单调性、极值与最值问题典例 8 (12 分)已知函数f(x)ln xa(1x)(1)讨论f(x)的单调性；(2)当f(x)有最大值，且最大值大于 2a2 时，求a的取值范围审题路线图 .求fx讨论fx的符号fx单调性fx最大值解fxmax 2a2规 范 解 答分 步 得 分 构 建 答 题 模 板解 (1)f(x)的定义域为(0，)，f(x) a(x0).1 x若a0，则f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增.若a0，则当x时，f(x)0；(0，1 a)当x时，f(x)0 时，f(x)在上单调递增，在上单调递减.6(0
2、，1 a)(1 a，)分(2)由(1)知，当a0 时，f(x)在(0，)上无最大值，不合题意；当a0 时，f(x)在x 处取得最大值，1 a最大值为flnaln aa1.(1 a)(1 a)(11 a)因此f2a2 等价于 ln aa11 时，g(a)0.因此，a的取值范围是(0,1).12 分第一步求导数：写出函数的定义域，求函数的导数.第二步定符号：通过讨论确定f(x)的符号.第三步写区间：利用f(x)的符号确定函数的单调性.第四步求最值：根据函数单调性求出函数最值.2评分细则 (1)函数求导正确给 1 分；(2)分类讨论，每种情况给 2 分，结论 1 分；(3)求出最大值给 2 分；(4
3、)构造函数g(a)ln aa1 给 2 分；(5)通过分类讨论得出a的范围，给 2 分跟踪演练 8 (2018全国)已知函数f(x)x3a(x2x1)1 3(1)若a3，求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)只有一个零点(1)解 当a3 时，f(x)x33x23x3，1 3f(x)x26x3.令f(x)0，解得x32或x32.33当x(，32)(32，)时，f(x)0；33当x(32，32)时，f(x)0 在 R R 上恒成立，所以f(x)0 等价于3a0.x3 x2x1设g(x)3a，x3 x2x1则g(x)0 在 R R 上恒成立，当且仅当x0 时g(x)0，x2x22x3x2x12所以g(x)在(，)上单调递增故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点又f(3a1)6a22a 62 0，故f(x)有一个零点1 3综上，f(x)只有一个零点