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1、1规范答题示例规范答题示例 9 9 导数与不等式的恒成立问题导数与不等式的恒成立问题典例 9 (15 分)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意x1，x21,1，都有|f(x1)f(x2)|e1，求m的取值范围审题路线图 (1)求导fxmemx12x讨论m确定fx的符号证明结论(2)Error! Error!条件转化为|fx1fx2|max e1结合1知fxminf0Error!构造函数gtette1研究gt的单调性对m讨论得适合条件的范围规 范 解 答分 步 得 分构 建 答 题 模 板(1)证明 f(x)m(emx1)
2、2x.1 分若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0.若m0，f(x)0.4 分所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.6 分(2)解 由(1)知，对任意的m，f(x)在1,0上单调递减，在0,1上单调递增，故f(x)在x0 处取得最小值所以对于任意x1，x21,1，|f(x1)f(x2)|e1 的充要条件是Error!8 分即Error!设函数g(t)ette1，则g(t)et1.10 分当t0 时，g(t)0.故g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又g(1)0，g(1)e12e1 时，由g(t)的单调性，得g(m)0，即 emme1；当m0，即 emm
3、e1.14 分综上，m的取值范围是1,1.15 分第一步求导数：一般先确定函数的定义域，再求f(x)第二步定区间：根据f(x)的符号确定函数的单调性第三步寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题第四步写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立.第五步再反思：查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理2等.评分细则 (1)求出导数给 1 分；(2)讨论时漏掉m0 扣 1 分；两种情况只讨论正确一种给 2 分；(3)确定f(x)符号时只有结论无中间过程扣 1 分；(4)写出f(x)在x0 处取得最小值给 1 分；(5)无最后结论扣
4、1 分；(6)其他方法构造函数同样给分跟踪演练 9 (2018全国)已知函数f(x) xaln x.1 x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：2，令f(x)0，得x或x.aa242aa242当x时，(0，aa242) (aa242，)f(x)0.(aa242，aa242)所以f(x)在，上单调递减，在上(0，aa242) (aa242，)(aa242，aa242)单调递增(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设 01.由于1afx1fx2x1x21 x1x2ln x1ln x2 x1x232a2a，ln x1ln x2 x1x22ln x2 1 x2x2所以a2 等价于x22ln x20.fx1fx2x1x21 x2设函数g(x) x2ln x，1 x由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减，又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以x22ln x20，1 x2即a2.fx1fx2x1x2