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1、1规范答题示例 9 导数与不等式的恒成立问题典例 9(15 分)设函数f(x)emxx2mx.(1)证明：f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增；(2)若对于任意x1，x2 1,1，都有|f(x1)f(x2)|e 1，求m的取值范围审题路线图(1)求导fxmemx1 2x 讨论m确定fx的符号 证明结论(2)条件转化为|f x1f x2|maxe 1 结合 1 知f xminf0f1 f0 e 1，f1 f0 e 1emme 1，emme 1 构造函数g tette1 研究g t的单调性寻求g m0，gm0的条件 对m讨论得适合条件的范围规 范 解 答分步 得 分构 建 答 题 模
2、 板(1)证明f(x)m(emx1)2x.1 分若m0，则当x(，0)时，emx10，f(x)0.若m0，f(x)0；当x(0，)时，emx 10.4分所以f(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增.6分(2)解由(1)知，对任意的m，f(x)在 1,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，故f(x)在x 0处取得最小值所以对于任意x1，x2 1,1，|f(x1)f(x2)|e 1 的充要条件是f1 f0 e 1，f1 f0 e 1，8 分即emme 1，emme 1.设函数g(t)ett e1，则g(t)et1.10 分当t0时，g(t)0 时，g(t)0.第一步求导数：一般先确定函数
3、的定义域，再求f(x)第二步定区间：根据f(x)的符号确定函数的单调性第三步寻条件：一般将恒成立问题转化为函数的最值问题第四步写步骤：通过函数单调性探求函数最值，对于最值可能在两点取到的恒成立问题，可转化为不等式组恒成立.第五步2故g(t)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增又g(1)0，g(1)e12e1时，由g(t)的单调性，得g(m)0，即 emme1；当m0，即 emme1.14 分综上，m的取值范围是 1,1.15分再反思：查看是否注意定义域、区间的写法、最值点的探求是否合理等.评分细则(1)求出导数给1 分；(2)讨论时漏掉m 0 扣 1 分；两种情况只讨论正确一种给2 分；
4、(3)确定f(x)符号时只有结论无中间过程扣1 分；(4)写出f(x)在x0 处取得最小值给1 分；(5)无最后结论扣1 分；(6)其他方法构造函数同样给分跟踪演练9(2018全国)已知函数f(x)1xxaln x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2，证明：f x1f x2x1x22，令f(x)0，得xaa242或xaa242.当x 0，aa242aa242，时，f(x)0.3所以f(x)在0，aa242，aa242，上单调递减，在aa242，aa242上单调递增(2)证明由(1)知，f(x)存在两个极值点当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21，不妨设0 x11.由于f x1f x2x1x21x1x21aln x1ln x2x1x2 2aln x1ln x2x1x2 2a2ln x21x2x2，所以f x1f x2x1x2a2 等价于1x2x2 2ln x20.设函数g(x)1xx2ln x，由(1)知，g(x)在(0，)上单调递减，又g(1)0，从而当x(1，)时，g(x)0.所以1x2x22ln x20，即f x1f x2x1x2a2.