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1、1第第 1 1 讲讲 三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质考情考向分析 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则 sin y，cos x，tan (x0)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余y x弦2同角基本关系式：sin2cos21，tan .sin cos (k2，k Z Z)3诱导公式：在，kZ Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象
2、限” k 2例 1 (1)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2，1)，则 tan等于( )(2 4)A7 B C. D71 71 7答案 A解析 由角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(2,1)，可得x2，y1，tan ，tan 2 ，y x1 22tan 1tan211144 3tan7.(2 4)tan 2tan41tan 2tan44 31143 1(2)已知曲线f(x)x32x2x在点(1，f(1)处的切线的倾斜角为，则cos22cos23sin(2)cos()的值为( )( 2)A. B C. D8 54 54 32 3答案 A
3、2解析 由f(x)x32x2x可知f(x)3x24x1，tan f(1)2，cos22cos23sincos( 2)(2)()(sin )22cos23sin cos sin22cos23sin cos sin22cos23sin cos sin2cos2tan23tan 2 tan21 .462 58 5思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为
4、低、化繁为简等跟踪演练 1 (1)在平面直角坐标系中，若角的终边经过点P，则(sin5 3，cos53)sin()等于( )A B C. D.321 21 232答案 B解析 由诱导公式可得，sinsinsin，5 3(2 3) 332coscoscos ，5 3(2 3) 31 2即P，(32，12)由三角函数的定义可得，sin ，1 2(32)2(1 2)21 2则 sinsin .()1 23(2)已知 sin(3)2sin，则等于( )(3 2)sin4sin(2)5sin22cos2A. B. C. D1 21 31 61 6答案 D解析 sin(3)2sin，(3 2)sin 2c
5、os ，即 sin 2cos ，则sin4sin(2)5sin22cos2sin 4cos 5sin 2cos .2cos 4cos 10cos 2cos 2 121 6热点二 三角函数的图象及应用函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图：设zx，令z0， ，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可 23 2得(2)图象变换：(先平移后伸缩)ysin xysin(x)向左 0或向右 0倍纵坐标不变yAsin(x)纵坐标变为原来的AA 0倍横坐标不变(先伸缩后平移)ysin x横坐标变为原来的1 0倍纵坐标不变ysin xysin(x)向左 0或右 0倍横坐标不变例 2 (1)已知函数f
6、(x)sin(0)的最小正周期为 ，为了得到函数g(x)(x 3)cos x的图象，只要将yf(x)的图象( )A向左平移个单位长度 124B向右平移个单位长度 12C向左平移个单位长度5 12D向右平移个单位长度5 12答案 A解析 由题意知，函数f(x)的最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.(2x 3)把g(x)cos 2x变形得g(x)sinsin，所以只要将f(x)的图象向(2x 2)2(x 12) 3左平移个单位长度，即可得到g(x)cos 2x的图象，故选 A. 12(2)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图( 0，| 0，|
7、0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是 1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度数和方向跟踪演练 2 (1)若将函数ycos x(0)的图象向右平移个单位长度后与函数ysin 3x的图象重合，则的最小值为( )A. B. C. D.1 23 25 27 2答案 B解析 将函数ycos x(0)的图象向右平移个单位长度后得
8、到函数的解析式为ycos 3 cos.(x 3)(x 3)平移后得到的函数图象与函数ysin x的图象重合，2k(kZ Z)，即6k (kZ Z) 3 23 2当k0 时， .3 2(2)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则(A 0， 0，| 0，f(x)单调递增，1 2当 cos x 时，f(x)有最小值1 2又f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)，当 sin x时，f(x)有最小值，32即f(x)min2.(32)(11 2)3 322(2018全国改编 )若f(x)cos xsin x在a，a上是减函数，则a的最大值是_答案 4解析 f(x)cos x
9、sin x2(sin x22cos x22)sin，2(x 4)当x，即x时， 4，34 4 2，2ysin单调递增，(x 4)9f(x)sin单调递减2(x 4)函数f(x)在a，a上是减函数，a，a， 4，3400)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了(x 5) 2得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象( )A向左平移个单位长度3 20B向右平移个单位长度3 20C向左平移个单位长度 5D向右平移个单位长度 5押题依据 本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错答案 A解析 由于函数f(x)图象的相邻两条对
10、称轴之间的距离为，则其最小正周期T， 2所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.2 T(2x 5)把g(x)cos 2x变形得g(x)sinsin，所以要得到函数g(x)的(2x 2)2(x3 20) 5图象，只要将f(x)的图象向左平移个单位长度即可故选 A.3 202.如图，函数f(x)Asin(x) 与坐标轴的三个交(其中A 0， 0，| 2)点P，Q，R满足P(2,0)，PQR，M为QR的中点，PM2，则A的值为( ) 45A. B. C8 D1683 316 3 3押题依据 由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查数形结合思想答案 B解析 由题意设
11、Q(a,0)，R(0，a)(a0)11则M，由两点间距离公式，得(a 2，a 2)PM2，(2a 2)2(a 2)25解得a18，a24(舍去)，由此得 826，即T12，故，T 2 6由P(2,0)得， 3代入f(x)Asin(x)，得f(x)Asin，( 6x3)从而f(0)Asin8，( 3)得A.16 3 33已知函数f(x)cos4x2sin xcos xsin4x.(1)若x是某三角形的一个内角，且f(x)，求角x的大小；22(2)当x时，求f(x)的最小值及取得最小值时x的值0， 2押题依据 三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，
12、这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式解 (1)f(x)cos4x2sin xcos xsin4x(cos2xsin2x)(cos2xsin2x)sin 2xcos 2xsin 2x2(22cos 2x22sin 2x)cos，2(2x 4)f(x)cos，2(2x 4)22可得 cos .(2x 4)1 2由题意可得x(0，)，122x， 4( 4，94)可得 2x或， 42 34 3x或.5 2413 24(2)x
13、，2x，0， 2 4 4，54cos，(2x 4)1，22f(x)cos，12(2x 4)2f(x)的最小值为，此时 2x，2 4即x.3 8A A 组组 专题通关专题通关1函数ysin x(cos xsin x)，xR R 的值域是( )A. B.1 2，3 21 22，1 22C. D.3 2，1 21 22，1 22答案 D解析 ysin xcos xsin2x sin 2x1 21cos 2x 2 sin，1 222(2x 4)1 22，1 22故选 D.2(2018浙江金华十校联考)已知函数f(x)sin(xR R，0)与g(x)(x 3)cos(2x)的对称轴完全相同为了得到h(x
14、)cos的图象，只需将yf(x)(x 3)的图象( )A向左平移个单位长度 413B向右平移个单位长度 4C向左平移个单位长度 2D向右平移个单位长度 2答案 A解析 由xk1，k1Z Z 得函数f(x)的对称轴为x，k1Z Z，由 3 2 6k1 2xk2，k2Z Z 得函数g(x)的对称轴为x，k2Z Z.因为两函数的对称轴 2k2 2完全相同，所以Error!解得Error!则f(x)sin，h(x)cos，将函数f(x)(2x 3)(2x 3)sin的图象向左平移个单位长度后得到的函数解析式为(2x 3) 4ysinsincos，故选 A.2(x 4) 3(2x 23)(2x 3)3.
15、(2018浙江省金丽衢十二校联考)函数f(x)Asin(x)的图象如图所示，则等于( )(A 0， 0，| 1，即a2 时，g(0)为最小值，a 2g(1)为最大值，此时Mma1; 当 1，即 1a2 时，M取g，m取g(0)，此1 2a 2(a 2)时Mm；当 0 0)图象的相邻对称轴之间的距离为，则下列结论3 2正确的是( )Af(x)的最大值为 1Bf(x)的图象关于直线x对称5 12Cf 的一个零点为x(x 2) 3Df(x)在区间上单调递减 3，2答案 D解析 因为f(x)sin xcos x2sin的相邻的对称轴之间的距离为，3(x 6) 2所以，得2，即f(x)2sin，2 (2
16、x 6)所以f(x)的最大值为 2，所以 A 错误；当x时，2x，所以f 0，5 12 6(5 12)所以x不是函数图象的对称轴，所以 B 错误；5 12由f 2sin(x 2)2(x 2) 62sin，(2x 6)15当x时，f 20， 3(x 2)所以x不是函数的一个零点，所以 C 错误； 3当x时，2x，f(x)单调递减，所以 D 正确 3，2 65 6，766(2018浙江省金华十校模拟)在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点P(，1)，则 tan _，cos sin3_.( 2)答案 033解析 角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合
17、，终边过点P(，1)，3x，y1，3tan ，y x33cos sincos cos 0.( 2)7已知 tan 2，则_.sin222cos22 sin 4答案 1 12解析 tan 2 ，2tan 1tan24 3sin222cos22 sin 4sin222cos22 2sin 2cos 2.tan222 2tan 216 922 (4 3)1 128(2017全国)函数f(x)sin2xcos x的最大值是_33 4(x0， 2)答案 1解析 f(x)1cos2xcos x33 421.(cos x32)16x，cos x0,1，0， 2当 cos x时，f(x)取得最大值，最大值为
18、1.329设函数f(x)(xR R)满足f(x)f(x)sin x，当0f 或f 0 时，函数f(x)有且只有一个零点，( 3)(7 12)( 6)即 sinb 0，| 2)个交点的距离为 ，若f(x)2 对任意x恒成立，则的取值范围是( )( 24， 3)A. B.( 6，2) 6，3C. D.( 12， 3) 12， 6答案 D解析 因为函数f(x)2sin(x)1，其图象与直线y3 相邻( 0，| 2)两个交点的距离为 ，所以函数的周期为T，2，当x时，2x，( 24， 3)( 12，2 3)且|， 2由f(x)2 知，sin(2x) ，1 2所以Error!解得. 12 613已知 2
19、sin tan 3，且 00，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(2x 6)0， 2(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f 且 lg g(x)0，求g(x)的单调区间(x 2)解 (1)x，0， 22x. 6 6，76sin，(2x 6) 1 2，12asin2a，a(2x 6)f(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得f(x)4sin1，(2x 6)20g(x)f 4sin1(x 2)(2x7 6)4sin1.(2x 6)又由 lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，(2x 6)sin ，(2x 6)1 22k2x2k，kZ Z， 6 65 6其中当 2k2x2k，kZ Z， 6 6 2即kxk，kZ Z 时，g(x)单调递增； 6当 2k2x2k，kZ Z， 2 65 6即kxk，kZ Z 时，g(x)单调递减 6 3g(x)的单调递增区间为，kZ Z，(k，k 6单调递减区间为，kZ.(k6，k3)