《广东省汕头市2022届高三二模数学试题解析版.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省汕头市2022届高三二模数学试题解析版.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、试卷第 1 页，共 5 页 广东省汕头市 2022 届高三二模数学试题 本试卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上 3非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液不按以上要求作答的答案无效 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回 一、单项选择
2、题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合12,2,0,2,xAx xBy yx则AB（）A0,2 B1,3 C1,3 D1,4 2已知复数 z满足1 i1 iz（i是虚数单位），则2022z的值为（）A2022 B1 C1 D2022 3设nS为等差数列na的前n项和，834Sa，72a ，则9a A-6 B-4 C-2 D2 4函数 1sin2f xxx的图象可能是 A B C D 5二项式2441xx展开式中，有理项共有（）项 A3 B4 C5 D7 试卷第 2 页，共 5 页 6已知椭圆 C 的左、右焦点分别为1F，2
3、F，直线 AB 过1F与该椭圆交于 A，B 两点，当2F AB为正三角形时，该椭圆的离心率为（）A34 B33 C23 D22 7若sin160tan203，则实数的值为（）A4 B4 3 C2 3 D4 33 8已知函数3()23f xxx，若过点(1,)Pt存在 3 条直线与曲线()yf x相切，则 t的取值范围是（）A 3,1)B 2,1 C(,3(1,1)D(3,1)二、多选题 9已知 a，b，c 满足 cab，且 ac0 Bc（b-a）0 C22cbab Dabac 10如图所示，5 个（x，y）数据，去掉 D（3，10）后，下列说法正确的是（）A相关系数 r 变大 B残差平方和变大
4、 C相关指数 R2变小 D解释变量 x 与预报变量 y的相关性变强 11设 a，b，c 都是正数，且469abc，则下列结论正确的是（）A2abbcac Babbcac C4949bbac D121cba 12如图，在正方体1111ABCDABC D中，点 P 在线段1BC上运动，则（）试卷第 3 页，共 5 页 A直线1BD 平面11AC D B三棱锥11PAC D的体积为定值 C异面直线 AP 与1A D所成角的取值范围是,4 2 D直线1C P与平面11AC D所成角的正弦值的最大值为64 三、填空题 13中国古代数学名草周髀算经曾记载有“勾股各自乘，并而开方除之”，用符号表示为222*
5、,abca b cN，我们把 a，b，c 叫做勾股数.下列给出几组勾股数:3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41，以此类推，可猜测第 5 组股数的三个数依次是_.14在边长为 1 的等边三角形 ABC中,设BC=2,BD CA=3CE,则AD BE=_.15如图从双曲线22221xyab（其中0ba）的左焦点 F 引圆222xya的切线，切点为 T，延长FT，交双曲线右支于 P，若 M 为线段FP的中点，O 为原点，则|MOMT的值为（用ab、表示）_ 16若5533cossin7 sincos0,2，则的取值范围为_.四、解答题 17已知2(4)nn 个正数排成 n行 n
6、 列，ija表示第 i行第 j列的数，其中每一行的数成试卷第 4 页，共 5 页 等差数列，每一列的数成等比数列，并且公比都为 q已知241a，4218a，43316a(1)求公比 q；(2)记第 n 行的数所成的等差数列的公差为nd，把1d，2d，nd所构成的数列记作数列 nd，求数列 nd的前 n 项和nS 11a 12a 13a 14a 1na 21a 22a 23a 24a 2na 31a 32a 33a 34a 3na 1na 2na 3na 4na nna 18袋中装着标有数字 1，2，3，4 的小球各 3 个，从袋中任取 3 个小球，每个小球被取出的可能性都相等（）求取出的 3
7、个小球上的数字互不相同的概率；（）用X表示取出的 3 个小球上所标的最大数字，求随机变量X的分布列和数学期望 19已知钝角ABC内接于单位圆，内角 A、B、C的对边分别为 a，b，c，tanabA(1)证明：2BA；(2)若3sinsincos4CAB，求ABC的面积 20如图所示，C为半圆锥顶点，O为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧 BD中点BCD是边长为 2 的等边三角形，弦 AD 上点 E 使得二面角EBCD的大小为30，且AEtAD 试卷第 5 页，共 5 页 (1)求 t的值；(2)对于平面 ACD内的动点 P 总有OP/平面 BEC，请指出 P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点
8、 P都使得OP/平面 BEC的理由 21在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆22:(1)1G xy与抛物线2:2(0)C xpy p交于点 M，N（异于原点 O），MN 恰为该圆的直径，过点 E（0，2）作直线交抛物线于 A，B 两点，过 A，B 两点分别作抛物线 C 的切线交于点 P(1)求证：点 P的纵坐标为定值；(2)若 F 是抛物线 C 的焦点，证明：PFAPFB 22已知函数 exf xaxa，其中e是自然对数底(1)求 f x的极小值；(2)当0a 时，设 fx为 f x的导函数，若函数 f x有两个不同的零点12,x x，且12xx，求证：12122(3ln)x xfafxx 答
9、案第 1 页，共 17 页 参考答案：1C【解析】先求出集合 A，B，再求其交集【详解】解：因为|1|213xx ，所以(1,3)A ，因为2,0,2xBy yx 所以1,4B.所以1,3)AB.故选：C.2C【解析】【分析】利用复数的除法化简复数z，利用复数乘方的周期性可求得结果.【详解】由已知可得21 i1 i2ii1 i1 i 1 i2z，因此，1011122202011i11z .故选：C.3A【解析】【详解】由已知得1118 7842,262.adadad 解得110,2.ad 918108 26aad 故选 A 考点：等差数列的通项公式和前n项和公式 4A【解析】【详解】答案第 2
10、 页，共 17 页 试题分析：因为11()sin(sin)()22fxxxxxf x ，所以()f x为奇函数，故排除B、D；当4x 时，12()()sin()024482f x ，故排除 C，故选 A 考点：1、函数图象；2、函数的奇偶性 5D【解析】【分析】求出展开式的通项，令x的指数部分为整数即可得结果.【详解】二项式2441xx展开式中，通项为2424 33642441242424rrrrrrrrTC xxC xC x，其中0,1,224r，r的取值只需满足364rZ，则0,4,8,12,16,20,24r，即有理项共有 7 项，故选：D.6B【解析】【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定
11、理、椭圆离心率公式进行求解即可.【详解】设正三角形2F AB的边长为m，设椭圆的标准方程为：22221(0)xyabab，设左、右焦点分别为12(,0),(,0)FcF c，设1BFx，则有1AFmx，由椭圆的定义可知：1222BFBFaxma，1222AFAFamxma，解得：43ma，23xa，在21F FB中，由余弦定理可知：2221212122cos3FFBFBFBF BF，222224162413423993323aaccaaacea 答案第 3 页，共 17 页 故选：B 7A【解析】【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.【详解】由已知可得2 sin60
12、 cos20cos60 sin203tan203cos20sin201sin20 cos20sin 18020sin402 4sin404sin40.故选：A.8D【解析】【分析】设切点3000,23xxx，求得切线方程，根据切线过点(1,)Pt，得到3200463txx，再根据存在 3 条直线与曲线()yf x相切，则方程有三个不同根，利用导数法求解.【详解】解：设切点3000,23xxx，因为3()23f xxx，则2()63fxx，200()63fxx，所以切线方程为3200002363yxxxxx，因为切线过点(1,)Pt，所以3200002363 1txxxx，即3200463txx
13、，令 32463h xxx，则 21212h xxx，令 0h x，得0 x 或1x，答案第 4 页，共 17 页 当0 x 或1x 时，0h x，当01x时，0h x，所以当0 x 时，函数取得极小值3，当1x 时，函数取得极大值1，因为存在 3 条直线与曲线()yf x相切，所以方程有三个不同根，则31t ，故选：D 9BCD【解析】【分析】利用不等式的基本性质求解.【详解】解：因为 a，b，c满足 cab，且 ac0，所以0,0,0,0,0cabacba，所以 ac（a-c）0，c（b-a）0，22cbab，abac，故选：BCD 10AD【解析】【分析】由散点图知，去掉离群点 D 后，
14、x与 y 的相关性变强，且为正相关，由此判断即可【详解】由散点图知，去掉离群点 D 后，x与 y 的相关性变强，且为正相关，所以相关系数 r的值变大，相关指数 R2的值变大，残差平方和变小 故选：AD 11ACD【解析】【分析】设469abct，根据指数与对数的关系，利用换底公式及指数幂的运算法则，逐一验证四个选项得答案【详解】解：设1469abct，则4logat，6logbt，9logct，答案第 5 页，共 17 页 所以6694lglglogloglg6lg6lglglogloglg9lg4ttttbbttcatt 2lg 9 4lg9lg4lg9lg4lg62lg6lg6lg6lg6
15、lg6，即2bbca，所以112cab，所以121cba，故 D 正确；由2bbca，所以2abbcac，故 A 正确，B 错误；因为 249444acaaa，22494 966bbbbb，又469abc，所以 2246ab，即4949bbac，故 C 正确；故选：ACD 12AB【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量夹角公式、三棱锥的体积性质逐一判断即可.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，1111(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1),(0,0,0),(1,1,1),(0,1,0),(0,1,1)BDACD
16、BCA，设(,)P x y z，设111(1,1,1)(1,0,1)(0,1)11xB PBCxyzyz ，即(1,1,1)P.答案第 6 页，共 17 页 A：111(1,1,1),(1,0,1),(0,1,1)BDDADC ，因为11111 1 1 10,1 1 1 10BDDABDDC ，所以11111111,BDDA BDDCBDDA BDDC，而1111,DADCD DA DC平面11AC D，所以直线1BD 平面11AC D，因此本选项结论正确；B：侧面11BCC B的对角线交点为O，所以11CBOC，221121122OC，而11AB 平面11BCC B，1OC 平面11BCC
17、B，所以111ABOC，而1111111,ABCBB AB CB平面11ABCD，所以1OC 平面11ABCD，1 11111 11 1111 12233 2212P AC DCPA DPA DA B CDA B CDVVSC OSS为定值，因此本选项结论正确；C：1(,1,1),(1,0,1)APAD，设异面直线 AP与1A D所成角为(0,)2，则有12222221112cos()1(1)1121AP ADAPAD ，当12时，cos02；当12时，22211cos34441(21)441，因为110,)(,122，所以2(21)(0,1，因此22221333131412(21)(21)(
18、21)(21)，2110231(21)，即10cos2，所以,3 2，综上所述：,3 2，所以本选项结论不正确；D：设平面11AC D的法向量为000(,)mxy z，1(1,0,2)C P，答案第 7 页，共 17 页 所以有0011001100(1,1,1)00 xzmDAm DAmyzmDCm DC ，直线1C P与平面11AC D所成角的正弦值为：1222222211211,31(1)(2)(1)(1)1326532()22m C Pm C P 因为0,1，所以当1时，2312()22有最小值，最小值为1222，所以直线1C P与平面11AC D所成角的正弦值的最大值为163232，因
19、此本选项结论不正确，故选：AB【点睛】关键点睛：利用空间向量夹角公式是解题的关键.1311,60,61【解析】观察、找出勾股数的规律:以上各组数均满足222*,abca b cN;最小的数a 是奇数,并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数,其余的两个数是连续的正整数;最小奇数的平方等于另两个连续整数的和,即可得出结论.【详解】观察、先找出勾股数的规律:以上各组数均满足222*,abca b cN;最小的数a是奇数,并且每组勾股数中最小的数依次放在一起是连续的奇数,其余的两个数是连续的正整数;最小奇数的平方等于另两个连续整数的和,如22222345,51213,72425,94041,
20、116061 由以上特点我们可知第组勾股数:2116061,故答案为:11,60,61【点睛】本题考查合情推理中的归纳推理;观察、找规律是求解本题的关键;属于基础题.1414 答案第 8 页，共 17 页【解析】【详解】试题分析：因为2BCBD，所以D为BC的中点即12ADABAC，3CACE，112333BEBCCEBCCAACABACACAB，221211111112332632124AD BEABACACABACABAB AC 考点：向量线性运算与数量积的几何运算.15ba【解析】【分析】设1F是双曲线的右焦点，连接1PF由M、O分别为FP、1FF的中点，知11|2MOPF由双曲线定义，
21、知1|2PFPFa，22|FTOFOTb，进而可得答案.【详解】由图可知点P在第一象限 设1F是双曲线的右焦点，连接1PF M、O分别为FP、1FF的中点，11|2MOPF 又由双曲线定义得，1|2PFPFa，2222|FTOFOTcab 故|MOMT 11|2PFMFFT 11(|)|2PFPFFT ba 故答案为：ba 答案第 9 页，共 17 页 【点睛】关键点点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，解题的关键是将|,|MOMT都用焦半径表示，进而利用双曲线的定义求解.165,44【解析】【详解】题设不等式等价于35357sinsin7coscos.设 357f xxx，所以24
22、()2150fxxx，所以 357f xxx是,上的增函数，所以，sincos.故52244kkkZ.由0,2，知的取值范围是5,44.故答案为5,44 17(1)12q (2)11()2nnS 【解析】【分析】（1）利用每一行中的数依次都成等差数列可求44a，再根据每一列中的数依次都成等比数列，结合条件 241a，求得答案;（2）先求出1112a，表示出11()2nna，再根据第四列等比数列求得1412()2nna，从而根据第 n行等差数列可得413nnnaad，求得nd，可求得答案.(1)答案第 10 页，共 17 页 由题意知41a，42a，43a成等差数列，4218a，43316a，其
23、公差为31681116，444311164aa，又24a，34a，44a成等比数列，且241a，公比4242441aqa，由于0nna，故12q ；(2)由4218a，43316a可得 4111161168a，而341111118161aaqa，故1112a，故111111()()22nnnaa；又24142aaq，故1141411()2()22nnnaa，由于1234,nnnnaaaa 为等差数列，公差为nd，故413nnnaad，即111112()()()3222nnnnd，故111()1221()1212nnnS .18（1）（2）【解析】【详解】（I）“一次取出的 3 个小球上的数字互
24、不相同”的事件记为A，则3111433331227()55CCCCP AC （II）由题意X所有可能的取值为：1，2，3，4.31211(1)220P XC；答案第 11 页，共 17 页 212133333331219(2)220CCCCCP XC；21123636333126416(3)22055CCCCCP XC；211239393331213634(4)22055CCCCCP XC 所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 1220 19220 1655 3455 随机变量X的均值为 11916341551234220220555544EX 19(1)证明过程见解析；(2)34
25、.【解析】【分析】（1）根据正弦定理，结合同角的三角函数关系式分类讨论进行证明即可；（2）根据（1）的结论，结合三角形面积公式、单位圆的性质、正弦定理进行求解即可.(1)根据正弦定理，由sintansinsincosAabAABA，因为(0,)A，所以sin0A，所以由sinsinsincossincoscos()cos2AABABABA，由tan0(0,)2abAA，因为ABC是钝角三角形，所以(0,)2B，或(,)2B，当(0,)2B时，(0,)22B，所以有222ABABC，这与ABC是钝答案第 12 页，共 17 页 角三角形相矛盾，故(0,)2B不成立，当(,)2B时，(,0)22B
26、，所以有()22ABBA，显然此时 B为钝角，所以ABC是钝角三角形，符合题意；(2)由33sinsincossin()sincos44CABABAB 33sincoscossinsincoscossin44ABABABAB，由（1）可知：cossinAB，所以233sinsin42BB，因为 B 为钝角，所以23B，所以3cos2A，因为 A 为锐角，所以6A，所以2636C，因为钝角ABC 内接于单位圆，所以由正弦定理可知：2 121,31sinsin322abababAB，因此ABC的面积为1113sin132224abC .20(1)13；(2)P 的轨迹为过AD靠近D的三等分点及CD
27、中点的直线，理由见解析【解析】【分析】（1）建立空间坐标系，易得面BCD的一个法向量为(0,1,0)OA，用t表示出面BCE的法向量，通过二面角EBCD的大小为 30建立方程，解方程即可；（2）取DE中点M，CD中点N，连接,MN OM ON，证明面OMN/平面 BEC，结合MN 面ACD，即可求出 P的轨迹.(1)答案第 13 页，共 17 页 易知OC 面ABD，OABD，以,OD OA OC所在直线为,x y z轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3)ABDC，(1,0,3),(1,1,0),(1,1,0)BCADBA，1,1,0(1,
28、1,0)(1,1,0)BEBAAEBAtADttt，易知面BCD的一个法向量为(0,1,0)OA，设面BCE的法向量为(,)nx y z，则30(1)(1)0n BCxzn BEt xt y，令1x，则13(1,)13tnt，可得222131cos30213113tOA ntOA ntt，解得13t 或 3，又点 E在弦 AD上，故13t.(2)答案第 14 页，共 17 页 P 的轨迹为过AD靠近D的三等分点及CD中点的直线，证明如下：取AD靠近D的三等分点即DE中点M，CD中点N，连接,MN OM ON，由O为BD中点，易知ONBC，又ON 面BEC，BC 面BEC，所以ON/平面 BEC
29、，又MNEC，MN 面BEC，CE 面BEC，所以MN/平面 BEC，又ONMNN，所以面OMN/平面 BEC，即O和MN所在直线上任意一点连线都平行于平面 BEC，又MN 面ACD，故 P的轨迹即为MN所在直线，即过AD靠近D的三等分点及CD中点的直线.21(1)证明过程见解析；(2)证明过程见解析.【解析】【分析】（1）根据圆和抛物线的对称性，结合导数的几何意义进行求解证明即可.（2）转化为证明向量FP分别与向量,FA FB的夹角相等,应用向量夹角余弦公式，即可证明结论.(1)由对称性可知交点坐标为(1，1)，(-1，1)，代入抛物线方程可得 2p=1，所以抛物线的方程为 x2=y，设 A
30、211(,)x x，B222(,)xx，答案第 15 页，共 17 页 所以22121212ABxxkxxxx，所以直线 AB 的方程为21121()()yxxxxx，即1212()yxxxx x，因为直线 AB 过点 C(0，2)，所以122x x，所以122x x .因为2yx，所以直线 PA的斜率为12x，直线 PB 的斜率为22x，直线 PA 的方程为21112()yxx xx，即2112yx xx，同理直线 PB 的方程为2222yx xx，联立两直线方程，可得 P1212(,)2xxx x 由可知点 P 的纵坐标为定值-2.(2)cos|FA FPPFAFAFP，cosFB FPP
31、FBFBFP，注意到两角都在(0,)内，可知要证PFAPFB，即证(*)|FA FPFB FPFAFB，2111(,)4FAx x，129(,)24xxFP，所以22212111191777()(41)24441616xxFA FPxxxx ，又222211111|()44FAxxx，所以74|FA FPFA，同理7,(*)4|FB FPFB 式得证.【点睛】关键点睛：根据导数的几何意义求出切线方程是解题的关键.答案第 16 页，共 17 页 22(1)答案见解析(2)证明见解析【解析】【分析】（1）求得函数的导数 exfxa，分0a 和0a 两种情况讨论，结合导数的符号，求得函数的单调性，结
32、合极值的定义，即可求解；（2）根据题意，把23ln(3ln1)faa aa，设 23ln1p aaa，转化为利用导数证明3ln()0faa p x，再设21,02xx，证得1 2122()0 x xfxx，即可证得12122(3ln)x xfafxx.(1)解：由题意，函数 exf xaxa，可得 exfxa，当0a 时，令 0fx，函数 f x在R上单调递增，无极小值；当0a 时，令 0fx，即e0 xa，解得lnxa，当(,ln)xa 时，0fx，此时函数 f x上单调递减；当(ln,)xa时，0fx，此时函数 f x上单调递增，所以当lnxa时，函数 f x取得极小值，极小值为ln2ln
33、faaaa.(2)证明：因为 exfxa，所以3ln23lne3 ln(3ln1)afaaaaa aa，所以1 212212122()ex xxxx xfaxx，因为函数 f x有两个不同的零点12,x x，且12xx，所以11e0 xaxa，22e0 xaxa，所以1212eexxaxx，答案第 17 页，共 17 页 所以1 2121221212122ee()ex xxxxxx xfxxxx，因为23ln(3ln1)faa aa，设 23ln1p aaa，可得 2662()()323222aaap aaaaa，因为0a，所以 p a在6(0,)2单调递减，在6(,)2上单调递增，所以 mi
34、n636()3ln10222p ap，所以 0p a，所以3ln()0faa p x，再考虑1 2121221212122ee()ex xxxxxx xfxxxx，因为1212121222112x xxxxxxx，所以122112211 21 21 21212121222222221 212121212122eeeeee()ee(1)e()xxxxxxxxx xx xx xxxxxxxxxx xxxfxxxxxxxx，设21,02xx，则1221221212ee2ee2xxxxxxTxx，令()2ee(0)，则()2(ee)220，所以()在(0,)上为单调递减函数，所以()(0)0，即0T 恒成立，进而1 2122()0 x xfxx，综上可得，12122(3ln)x xfafxx.