《广东省汕头市2024届高三上学期期中数学试题（解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省汕头市2024届高三上学期期中数学试题（解析版）.pdf（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第1页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 汕头市汕头市 2023-2024 学年度普通高中毕业班期中调研测试学年度普通高中毕业班期中调研测试 数学数学 一一 选择题：本题共选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知全集U=R，能表示集合220Ax xx=与 05Bxx=关系的 Venn 图是（）A.B.C D.2.已知复数1z 与复数2(1)8iz+都是纯虚数，则z=（）A.1 i+B.12i+C.12i D.12i 3.设22tan22.51 co
2、s50,2sin13 cos13,1tan 22.52abc=，则有（）A.acb B.abc C.cba D.bc，则（）A.()0P AB=B.()()()P ABP A P B=C ()1P AB=D.()()()P ABP AP B=+10.已知圆22:(2)1Cxy+=，点P是直线:0l xy+=上一动点，过点P作直线PA PB分别与圆C相切于点A B，则（）A.圆C上恰有一个点到l的距离为12 B.直线AB恒过定点31,22 C.AB的最小值是2 D.四边形ACBP面积的最小值为 2 的.第3页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 11.如图，在长方体1111ABCDABC D中，
3、124ABBBBCMN=，分别为棱111,AD AA的中点，则下列结论正确的是（）A.MN/平面1ABC B.1B D平面CMN C.异面直线 CN 和 AB 所成角的余弦值为33 D.若 P 为线段11AC上动点，则点 P 到平面 CMN 的距离不是定值 12.对于函数()1sinsin22f xxx=+，则下列结论正确的是（）A.2是()f x一个周期 B.()f x在0,2上有 3个零点 C.()f x的最大值为3 34 D.()f x在0,2上是增函数 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.第第 16题第一空题第一空 2 分，第二
4、空分，第二空 3 分分.13.以下 4 幅散点图所对应的样本相关系数1234r r r r的大小关系为_.的的 第4页/共5页 学科网（北京）股份有限公司 14.高中数学教材含必修类课本 2册，选择性必修类课本 3册，现从中选择 3 册，要求两类课本中各至少选一册，则不同的选法共有_种.（用数字作答）15.如图，在三棱锥SABC中，1,SAABBCSAAB BCAB=，若2SC=，则直线SA与BC所成角的大小是_.16.三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，目前尺规作图仍不能解决这个问题古希腊数学家 Pappus（约300350 前后）借助圆弧和双曲线给出了一种三等分角的方法：如图，以角的顶点
5、 C为圆心作圆交角的两边于 A，B两点；取线段 AB的三等分点 O，D；以 B为焦点，A，D为顶点作双曲线 H双曲线 H 与弧 AB 的交点记为 E，连接 CE，则13BCEACB=双曲线 H的离心率为_；若2ACB=，|3 2AC=，CE 交 AB 于点 P，则|OP=_ 四四解答题：本题共解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70分分.解答应写出文字说明解答应写出文字说明证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤.17.记nS为数列()0,Nnnaan的前n项和，已知nS是公差为1a的等差数列.（1）求 na的通项公式；（2）设11a=，证明：1223111112nna aa aa a+的离心率
6、为33，上下顶点分别为,4A B AB=.过点()0,1E，且斜率为k的直线l与x轴相交于点G，与椭圆相交于C D两点.（1）若GCDE=，求k的值；（2）是否存在实数k，使得直线AC平行于直线BD？证明你的结论.22.已知函数()e()xf xaa=R，2()g xx=（1）若()f x的图像在点（1，f（1）处的切线过（3，3），求函数 y=xf（x）的单调区间；（2）当 a0时，曲线 f（x）与曲线 g（x）存在唯一的公切线，求实数 a 的值 第1页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 汕头市汕头市 2023-2024 学年度普通高中毕业班期中调研测试学年度普通高中毕业班期中调研测试
7、数学数学 一一 选择题：本题共选择题：本题共 8小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的符合题目要求的.1.已知全集U=R，能表示集合220Ax xx=与 05Bxx=关系的 Venn 图是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式，结合集合的交运算即可判断.【详解】因为22012Ax xxxx=，又 05Bxx=，所以 02ABxx=，所以ABA，ABB，AB，根据选项的 Venn图可知选项 D 符合.故选：D.2.已知复数1z 与复数2(1)8iz+都是纯虚数，则z=（
8、）A.1 i+B.12i+C.12i D.12i【答案】D【解析】【分析】设izab=+，由题意列出方程组，求解即可.【详解】解：设izab=+，则1(1)izab=+，()()()222218i=1i8i=(+1)218 izababb a+，第2页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 由题意可得()()22100102180ababb a=+=+,解得12ab=，所以12zi=.故选：D.3.设22tan22.51 cos50,2sin13 cos13,1tan 22.52abc=，则有（）A.acb B.abc C.cba D.bca【答案】C【解析】【分析】根据二倍角公式化简，然后根
9、据正弦函数的单调性比较大小.【详解】22tan22.5tan4511tan 22.5a=，2sin13 cos13sin26b=，()211 2sin 251 cos50sin2522c=，因为sinyx=在090 x时单调递增，所以sin25sin26sin901=，即cba，0y，由基本不等式得()12122212322 23xyyxxxyxyxyxyy+=+=+=+，当且仅当2yx=，即22,21yx=时等号成立.故选：C 6.图 1 是一个水平放置且高为 6 的直三棱柱容器111ABCABC，现往内灌进一些水，设水深为h.将容器底面的一边AB固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置
10、时，水面形状恰好为11ABC，如图 2，则h=（）A.3 B.4 C.4 2 D.6【答案】B【解析】【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解.第4页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【详解】在图 1 中的几何体中，水的体积为1ABCVSh=，在图 2 的几何体中，水的体积为1 1 11 1 11 1 1216643ABCA B CCA B CABCA B CABCVVVSSS=，因为12VV=，可得4ABCABCShS=，解得4h=.故选：B.7.已知函数()sinf xx=图象的一部分如图 1，则图 2 中的函数图象所对应的函数解析式是（）A.122yfx=B.12
11、2xyf=C.12xyf=D.()21yfx=【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的变换即可得答案.【详解】解：由题意可知，图 2 中的图象是将图 1中的图象纵坐标不变，横坐标先缩短12，再向右平移12个单位得到的.所以对应的解析式为()21yfx=.故选：D.8.设()0,1a，若函数()(1)xxf xaa=+在()0,+递增，则a的取值范围是（）A.5151,22+B.51,12 C.51,12 D.510,2【答案】B【解析】【分析】把函数()f x在()0,+递增利用导数转化为1lnln(1)xaaaa+在()0,+上恒成立，利用指数函的 第5页/共21页 学科网（北京）股份有限公
12、司 数单调性得ln1ln(1)aa+，解对数不等式即可得解.【详解】因为函数()(1)xxf xaa=+在()0,+递增，所以()ln(1)ln(1)0 xxfxaaaa=+在()0,+上恒成立，则(1)ln(1)lnxxaaaa+，即1lnln(1)xaaaa+在()0,+上恒成立，由函数1xaya+=单调递增得01ln1ln(1)aaaa+=+，又()0,1a，所以()11,2a+，所以()ln10a+，所以()ln1ln01aaa+即()1101a aa+，解得5112a，则（）A.()0P AB=B.()()()P ABP A P B=C.()1P AB=D.()()()P ABP A
13、P B=+【答案】AD【解析】【分析】根据互斥事件的含义及概率计算公式逐项判定即可.【详解】因为A B为两个互斥的事件，且()()0,0P AP B，所以AB=,即()0P AB=，故 A正确，B 错误；因为A B为两个互斥的事件，不一定为对立事件，所以,A B也不一定为对立事件，故()P AB不一定为 1，故 C错误；因为A B为两个互斥的事件，所以()()()P ABP AP B=+，故 D正确，故选：AD.第6页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 10.已知圆22:(2)1Cxy+=，点P是直线:0l xy+=上一动点，过点P作直线PA PB分别与圆C相切于点A B，则（）A.圆C上
14、恰有一个点到l的距离为12 B.直线AB恒过定点31,22 C.AB的最小值是2 D.四边形ACBP面积的最小值为 2【答案】BC【解析】【分析】利用圆心到直线的距离求解选项 A；利用圆的标准方程和直线恒过定点的求解方法求解选项 B；利用弦长公式求解选项 C；利用切线长公式求解选项 D.【详解】圆心(2,0)C，半径1r=，对 A，圆心(2,0)C到直线:0l xy+=的距离为222d=，所以圆上的点到直线l距离得最小值为1212，所以圆C上恰有两个点到l的距离为12，A错误；对 B，设(,)P tt，由题意可知，,A B都在以PC为直径的圆上，又(2,0)C，所以PC为直径的圆的方程为222
15、22(2)224ttttxy+=，第7页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 整理得，()22220 xytxtyt+=，联立()2222(2)1220 xyxytxtyt+=+=可得，(2)320t xtyt+=，即为直线AB的方程，即23(2)0 xt xy=令23020 xxy=，解得3122,xy=，所以直线AB恒过定点31,22，B 正确；对 C，因为直线AB恒过定点31,22，当定点31,22与圆心(2,0)C连线垂直于AB时，圆心(2,0)C到直线AB的距离最大，则AB最小，定点31,22与圆心(2,0)C之间的距离为122d=，所以221min22ABrd=，C 正确；对 D
16、，四边形ACBP的面积为PA CAPA=,根据切线长公式可得，2221PAPCrPC=，当PC最小时，PA最小，min2PCd=，所以PA最小值为 1，即四边形ACBP面积的最小值为 1，D错误；故选:BC.11.如图，在长方体1111ABCDABC D中，124ABBBBCMN=，分别为棱111,AD AA中点，则下列结论正确的是（）的的 第8页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 A.MN/平面1ABC B.1B D平面CMN C.异面直线 CN 和 AB 所成角的余弦值为33 D.若 P 为线段11AC上的动点，则点 P到平面 CMN的距离不是定值【答案】AD【解析】【分析】建立空间直
17、角坐标系，根据线面平行的判定定理，利用空间平面向量的数量积运算性质、夹角公式逐一判断即可.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，则 ()()()()()()()11110,4,0,2,0,0,2,4,0,0,4,4,0,0,4,2,0,4,2,4,4ACDABCD，()()1,4,4,0,4,2MN 对于 A，因为()()11,0,22,0,42NMBCNM=，所以1/BCMN，又1BC 平面1ABC，MN平面1ABC，所以MN/平面1ABC，故 A 正确；对于 B：()()()12,4,41,4,42,4,2B DCMCN=，设平面CMN的法向量为(),mx y z=，则0.0.m CMm C
18、N=即440.2420.xyzxyz+=+=令1z=，则32.2xy=，所以平面CMN的一个法向量为32,12m=，因为1B D 与 第9页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 32,12m=不平行，所以 1B D平面CMN不成立，故 B错误；对于 C：()()2,4,20,4,0CNAB=，设异面直线 CN和 AB 所成的角为，则166coscos,34 1644CN ABCN ABCNAB=+，故 C 错误；对于 D，设()()1112,4,00,1APA C=，所以()1122,44,4CPCAAP=+=，又平面CMN的一个法向量为32,12m=所以点 P 到平面CMN的距离22.29
19、2m CPdm+=不是定值.故 D 正确.故选：AD 12.对于函数()1sinsin22f xxx=+，则下列结论正确的是（）A.2是()f x的一个周期 B.()f x在0,2上有 3个零点 C.()f x的最大值为3 34 D.()f x在0,2上是增函数【答案】ABC【解析】【分析】对于 A，根据周期的定义即可判断；对于 B，令()0f x=即可求得零点；对于 CD，对()f x求导，令()0fx=，判断单调性即可.【详解】对于 A，因为()()()()112sin2sin22sinsin222f xxxxxf x+=+=+=，所以2是()f x的一个周期，A正确；对于 B，当()1s
20、insin202f xxx=+=，0,2x时，sinsin cos0 xxx+=，即sin(1cos)0 xx+=，即sin0 x=或1 cos0 x+=，解得0 x=或x=或2x=，所以()f x在0,2上有3个零点，故 B正确；对于 C，由 A可知，只需考虑求()f x在)0,2上的最大值即可.第10页/共21页 学科网（北京）股份有限公司()1sinsin2sinsin cos2f xxxxxx=+=+，则()22coscossinfxxxx=+22coscos1xx=+，令()0fx=，求得1cos2x=或cos1x=，所以当0,3x或5,23x时，1cos12x，则()f x在50,
21、233 上单调递增，当 5,33x时，11cos2x，此时()0fx，但不恒为 0，则()f x在 5,33上单调递减，则当3x=时，函数()f x取得最大值，为12333 3sinsin3323244f=+=+=，C正确；对于 D，由 C可知，()f x在0,2上不是增函数，D错误.故选：ABC 三三填空题：本题共填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.第第 16题第一空题第一空 2 分，第二空分，第二空 3 分分.13.以下 4 幅散点图所对应的样本相关系数1234r r r r的大小关系为_.【答案】2431rrrr，又图的散点图近似在一条直线上，所以
22、图两变量的线性相关程度比较高，图的散点图比较分散，故图两变量的线性相关程度比较低，即1|r与2|r比较大，3|r与4|r比较小，所以2431rrrr.故答案为：2431rrrr的前n项和，已知nS是公差为1a的等差数列.（1）求 na的通项公式；（2）设11a=，证明：1223111112nna aa aa a+，所以111(1)2212n+，所以1223111112nna aa aa a+.18.如图，长方体1111ABCDABC D中，2AB=，11BCCC=，若在CD上存在点E，使得1AE 平面11AB D.（1）求DE的长；（2）求平面11AB D与平面1BB E夹角的余弦值.【答案】
23、（1）12；（2）8 1339.【解析】第15页/共21页 学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）建立空间坐标系，设DEa=，令11AEAB即可求出a的值；（2）求出平面1BB E的法向量n，计算n和1AE的夹角即可得出二面角的大小.【详解】（1）以D为原点，以DA，DC，1DD为轴建立空间直角坐标系Dxyz，如图所示：设DEa=，则(0E，a，0)，(1A，0，0)，1(1A，0，1)，1(1B，2，1)，1(0D，0，1)，1(0AB=，2，1)，11(1D B=，2，0)，1(1AE=，a，1)，AE 平面11AB D，1ABAE ，即1210EaAAB=，解得12a=，12DE=.（
24、2）由（1）可知1(1AE=，12，1)为平面11AB D的法向量，(1BE=，32，0)，1(0BB=，0，1)，设平面1BB E的法向量为(nx=，y，)z，则100n BBn BE=，即0302zxy=，令2y=可得(3n=，2，0)，1cosAE=.平面11AB D与平面1BB E夹角的余弦值为8 1339.【点睛】方法点睛：二面角的求法方法一：（几何法）找作（定义法、三垂线法、垂面法）证（定义）指求（解三角形）；方法二：（向量法）首先求出两个平面的法向量,m n；再代入公式cosm nm n=（其中,m n 分别是两个 第16页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 平面的法向量，是
25、二面角的平面角.）求解.（注意先通过观察二面角的大小选择“”号）19.某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20%.为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给 10个病人服用，试验方案为：若这 10个病人中至少有 5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.假设每个病人是否痊愈是相互独立的.（1）如果新药有效，把治愈率提高到了80%，求经试验认定该药无效的概率p；（精确到 0.001，参考数据：12243648101010101C2C2C2C262201+=）（2）根据（1）中p值的大小解释试验方案是否合理.【答案】19.0.006p 20.试验方案合理【解析】
26、【分析】（1）先分析新药无效的情况：10中 0人或 1 人或 2 人或 3人或 4 人痊愈，由此求解出无效的概率；（2）结合（1）该药无效的概率分析试验方案的合理性得解.【小问 1 详解】设通过试验痊愈的人数为变量X，则()10,0.8BX，所以经试验认定该药无效的概率为：()()()()()()501234pP XP XP XP XP XP X=的离心率为33，上下顶点分别为,4A B AB=.过点()0,1E，且斜率为k的直线l与x轴相交于点G，与椭圆相交于C D两点.（1）若GCDE=，求k的值；（2）是否存在实数k，使得直线AC平行于直线BD？证明你的结论.【答案】（1）63 （2）不
27、存在实数k，使得直线AC平行于直线BD，证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意，列出基本量方程组，进而求出椭圆方程，设()11,C x y，()22,D xy，直线l方程为1ykx=+，直曲联立，结合韦达定理，求出CD的中点横坐标，据题意推出CD的中点即为EG的中点，列方程即可求出k的值；（2）据题意，若/AC BD,则/AC BD ，进而得到213xx=，由（2）得()12111221211126322393323kxxxxxkx xxxxk+=+=+，即()2222932323kkk=+，即可得出答案.【小问 1 详解】第19页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 根据题意，22233
28、24ceababc=+，解得2264ab=，所以椭圆的方程为22164xy+=，当0k=时，直线l方程为1y=，与x轴无交点，不符合题意；当0k 时，设直线l方程为1ykx=+，则1,0Gk，设()11,C x y，()22,D xy，由221164ykxxy=+=得()2223690kxkx+=，()223636 230kk=+，所以122623kxxk+=+，122923x xk=+，所以CD的中点横坐标为2323kk+，EG的中点横坐标为12k，又因为GCDE=，且四点共线，取EG中点H，则|EHGH=，所以|CGGHDEEH=，即|CHDH=，所以H是CD的中点，即EG与CD的中点重合
29、，即231232kkk=+，解得63k=.【小问 2 详解】第20页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 不存在实数k，使直线AC平行于直线BD，证明如下：由题意()0,2A，()0,2B，则()11,2ACx y=，()22,2BDxy=+，若/AC BD则/AC BD ，所以()()1221220 xyxy+=，化简得()12211220 x yx yxx+=，即()()()1221121120 x kxxkxxx+=，化简得213xx=，由（2）得()12111221211126322393323kxxxxxkx xxxxk+=+=+，所以12212323323kxkxk=+=+，故(
30、)2222932323kkk=+，整理得22332kk=+，无解，所以不存在实数k，使直线AC平行于直线BD.22.已知函数()e()xf xaa=R，2()g xx=（1）若()f x的图像在点（1，f（1）处的切线过（3，3），求函数 y=xf（x）的单调区间；（2）当 a0时，曲线 f（x）与曲线 g（x）存在唯一的公切线，求实数 a 的值【答案】（1）单调递增区间为(1,)+，单调递减区间为(,1)（2）24ea=【解析】【分析】（1）先由切线方程求出1ea=，利用导数求出函数的单调区间；（2）设公切线与两曲线的切点为()11,exx a，()222,x x，利用分离参数法求出()11
31、12412eexxxxa=，()11x，构造函数4(1)()exxF x=，利用导数判断出 F（x）的单调性和最大值，即可求得.【小问 1 详解】由()exf xa=得()exfxa=，又1efa=（），,第21页/共21页 学科网（北京）股份有限公司 所以在 x=1处切线方程为()ee1yaax=，代入（3，3）得1ea=所以1()exyxf xx=，1(1)exyx=+，由0 y得1x ，由0y得1x，故20 x，所以212 20 xx=，故11x，所以()1112412eexxxxa=，()11x，构造函数4(1)()exxF x=，()1x 问题等价于直线 y=a与曲线 y=F（x）在 x1 时有且只有一个交点，4(2)()exxF x=，当(1,2)x时，F（x）单调递增；当(2,)x+时，F（x）单调递减；()F x的最大值为24(2)eF=，(1)0F=，当 x+时，F（x）0，24ea=