《广东省深圳市2022届高三二模数学试题（含答案与解析）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广东省深圳市2022届高三二模数学试题（含答案与解析）.pdf（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022年深圳市高三年级第二次调研考试数 学本试卷共6 页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2.选择题每小题选出答案后，用 2B铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上3.非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区城内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.一、单项选择题：本题共8
2、 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 1 1 f f,则 A u 8=（）A.(0,1)B.(1,2)C.(-oo,2)D.(0,+oo)2.已知复数 z 满足zi=3+4 i,其中i虚数单位，则|z|二（）A 3B.4C.5D.63.已知点A(0,l),B(2,3),向 量 就=(3,1),则 向 量 元=()A(1,-2)B.(-1,2)C.(1,-3)D.(-1,3)4.深圳是一座志愿者之城、爱心之城.深圳市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得
3、到如图所示的频率分布直方图.据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（）A.3.3万人 B.3.4万人 3.8万人 D.3.9万人5.已知一个球 表面积在数值上是它的体积的百倍，则这个球的半径是（）A.2B.0C.3D.百r r6 .若X =5是函数/（X）=C O S 5（6 9 W O）图象的对称轴，则/J）的最小正周期的最大值是（）A.万B.2兀乃C.一2兀D.47 .已知。0,若过点（。,6）可以作曲线y =%3的三条切线，则（)A.b 0B.()3D.人9-。3)=08 .过抛物线y 2=2p _ r（p 0）的焦点F作直线/,交抛物线于A,B两点，若|E
4、4|=3|F B|,则直线/的倾斜角等于（）A.30。或 15 0 B.4 5 或135 C.6 0 或120 D.与p值有关二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得。分.9.如图，在正方体A B C O-A 8 C R中，E为A8的中点，则下列条件中，能 使 直 线 所/平面ACQ的A.尸为A4的中点B.尸为8胃 的中点C.F为C G的中点D.尸为AA的中点10 .已知随机变量X服从正态分布N（0,l）,密度函数/（x）=P（X W x）,若x0,则（）A.f(-x)=-f(x)B.
5、/(2%)=2/(%)C./（X）在（0,+8）上 增函数D.产(|X 区 x)=2/(x)111.已知(2-x)8=4+ax+a2x2 H-4-a8x8,则()A.a0=28B.(+a2 H-必=1C.同+同+同 T +同=3D.a,I +2Z%+34 +8。乂=8Jo12.尸是直线y =2上的一个动点，过点P作圆f+y 2=1的两条切线，A,B为切点，则（）A.弦长|A B|的最小值为6B.存在点P,使得N A尸3 =90。C.直 线 经 过 一 个 定 点D.线 段 的 中 点 在 一 个 定 圆 上三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.13.已知t an a=3,则c
6、o s 2a=1 414 .设Ovxvl,则一+-的最小值为.x-x15 .已知函数/(x)=ln(e*+l)-是 偶 函 数，贝必=.16 .祖瞄是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5 世纪末提出了“幕势既同，则积不容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线丁 =2与双曲线/一丁=1 及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线=-2，(2)所截得的两条线段绕；轴旋转一周，则形成的旋转面的面积S=：若将图形G绕 y 轴旋转一周，则形成的旋转体的体积丫=X四、解答题
7、：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17 .已知数列%,的前项和S.=2%-3.(1)求数列 4 的通项公式；1 1 1 13 若 +工+工(疝，求满足条件的最大整数几18 .记AABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a+c =2 Z?c o s A.(1)证明：B =2A；(2)当a=4,=6时，求AABC的面积S.19 .如图，在四棱锥PA B C。中，底面A 8CD为正方形，侧面PA D是正三角形，M是侧棱尸。的中点，且平面P C D.(1)求证：平面2 4。，平面A 8 C。；(2)求 A”与平面PBC所成角的正弦值.2 0 .2 0 2
8、2 年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束.已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为:；甲与丙比赛，丙赢的概率为p,其中1 1 p。0)经过点且焦距 闺 段=26，线段A B,C O分别是它的长轴和短轴.(1)求椭圆E的方程；(2)若N(s/)是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线尸。经过定点.s=l/W X 3,直线NA,N B与椭圆E的另一
9、交点分别为P,Q-.2f =2,s e R,直线N C,N O与椭圆E的另一交点分别为P,Q.2 2.设函数/(x)=x e*-or2-2 aX+2Q2 一。，其中a e R.(1)讨论/(x)的单调性；(2)当/(X)存在小于零的极小值时，若 外,6(0弓)，且/(s i n x j v/a c o s/)，证明：xt x2.参考答案一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 .已知集合4 =中1 ，3 =小 一2),则心於()A.(0,1)B.(1,2)C.(-oo,2)D.(0,+oo)【答案】C【解析】【分析】求出集
10、合B,由并集的定义即可求出答案.【详解】因为8 =小(-2)0 =%|0%2 ,则 408=小 i i2则 忖=胪+)=5,故 选：C3 .已 知 点A(0,l),8(2,3),向 量 就=(3,1),则 向 量 标=()A.(1,-2)B.(-1,2)C.(1,-3)D.(-1,3)【答 案】D【解 析】【分 析】由向量的减法和向量的坐标运算即可求出答案.【详 解】设C(x,y),所 以f iC=(-3,l)=(x-2,y-3),整理得：C(1,4),所以AC =(-l,4)-(O,l)=(-l,3).故选：D.4 .深圳是一座志愿者之城、爱 心 之 城.深 圳 市 卫 健 委 为 了 解
11、防 疫 期 间 志 愿 者 的 服 务 时 长(单 位：小时),对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图.据 此 估 计、7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过3 2小 时 的 约 有()【答 案】AC.3.8万人D.3.9万人【解 析】【分 析】由频率分布直方图求出样本中服务时长超过3 2小时的个体频率，即可估计人数;【详 解】解：依题意样本中服务时长超过3 2小时的个体频率为1-4 x(0.0 0 5 +0.0 4 +0.0 9)=0.4 6；由样本估计总体，可得总体中服务时长超过3 2小时的个体数为7.3 x O.4 6 =3.3
12、 1 2,3.3 (万人);故选：A5 .已知一个球的表面积在数值上是它的体积的6倍，则这个球的半径是()A.2 B.7 2 C.3 D.也【答案】D【解析】【分析】根据球的表面积公式和体积公式，列出方程求解即可【详解】设球的半径为R,则根据球的表面积公式和体积公式，可得，4-/?2=1/?3XV3,化简得 R=也.故选：D6 .若x =是函数/(x)=c os&x Gy。)图象的对称轴，则f(x)的最小正周期的最大值是()A.%B.2【答案】A【解析】【分析】根据余弦函数的性质计算可得;71D.兀 42【详解】解：依题意三。=左耳上e Z,解得 =2 Z,Ze Z,因为刃h 0,所以2太 e
13、 Z且 左。0,2所以f(A的最小正周期7271 _ 271 _ 71M 2k W所以当无=1时1ax=乃；故选：A7 .已知a(),若过点(。,份可以作曲线y =V的三条切线，则()A.b 0 B.0 h a3 D.Z?(/?-a3)=O【答案】B【解析】【分析】设 切 点 为 切 线 方 程 为y =Zr(x-a)+Z;,求出函数的导函数，即可得到k=3x 02“小 a+b-x03整理得2/3-3以o2+/?=O,令g(x)=2 x 3-3at 2+b,利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极值，依题意g(x)有三个零点，即可得到不等式组，从而得解；【详解】解：设切点为(/，/)，切线方
14、程为y =M x-a)+8,由y =d,所以y =3 f,所以y L=3/2,k=3x2则-0、,3，所以2Xo3_3aXo2+=0,左(尤 0 一)+/?=尤 0令g(x)=2 x3-3ox2+b,则 g(x)=6 x2-6ax-6%(x-a),因为a 0,所以当x。时g(x)0,当0 xa时g(x)0且g(x)极小值=g(a)=/即 b 0)焦点F作直线/,交抛物线于A,B两点，若|E 4|=3|月3,则直线/的倾斜角等于()A.30。或 1 5 0。B,45 或 1 35。C.6 0 或 1 2 0。D.与 p 值有关【答案】C【解析】【分析】根据题意画出图形，根据抛物线的定义和相似三角
15、形列出比例式，再利用直角三角形的边角关系求出直线的倾斜角.【详解】如图所示，由抛物线y2=2px(p 0)的焦点为F，准线方程为x=g,分别过4 B作准线的垂线，垂足为A,B,直线/交准线于C,如图所示:则|A4=|AF,怛3 =忸盟，|E 4|=3|F B|,所以|AM|=2忸同，=所以乙48M=30，即直线/的倾斜角等于NA&=6 0，同理可得直线/的倾斜角为钝角时即为120，故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.如图，在正方体ABCO-ABCR中，E 为 AB中点，则
16、下列条件中，能 使 直 线 所/平面AC。的有（）A E BA.F为AA的中点 B.P为8用 的中点 C.F为CG的中点 D.尸为A 2的中点【答案】ACD【解析】【分析】取棱5。,。0,。0，4 4,4 4的中点河,6,/，说明E与M G,/,/共面，证明平面E M G H U /平面A C R ,即可得.【详解】如图，例,6,4,/,/分别是棱3。,。6 9,2 4,4 4的中点，易证E与,共面,由 M AC,A C u平面 ACR,平面 A C R,则 M/平面 A C ,同理 E/平面 ACR,而EM,E 7是平面EMG”内相交直线，则得平面/平面AC。-石尸/平面A C Q,则FG平
17、面M G H/J ,观察各选项，ACD满足，故选：ACD.H r.AEB10.已知随机变量X服从正态分布N(0,l),密度函数/(x)=P(X W x),若x o,则()A./(-x)=l-/(x)B./(2x)=2/(%)C./*)在(0,+oo)上是增函数 D.尸(|X Ex)=2/(x)-l【答案】ACD【解析】【分析】根据正态曲线的性质，再结合正态分布的密度曲线定义/(x)=P(XWx)(x0),由此逐一分析四个选项从而得出答案.【详解】随机变量X服从正态分布N(0,l),正态曲线关于直线尤=0对称，/*)在(0,+8)上是增函数，选项C正确；/(X)=P(X 0)根据正态曲线的对称性
18、可得/(x)=P(X x)=l-/(x),选项A正确：f(2x)=P(XW 2x),2/(x)=2P(X x),选项 B 错误；P(|X 区 x)=P(xXWx)=l 2/(x)=l 2l /(x)=2/(x)I,选项 D 正确.故选：ACD.11.己知(2 x)8=a。+qx+a?-+F ,贝ij()A.4 =2 B.a+a2-=1C.k|+包|+El+,+除|=38 D.q+2 a,+3%4-1-8cz8=-8【答案】AD【解析】【分析】利用赋值法判断A、B、C,对二项式及展开式两边对龙取导，再令X=l,即可判断D；【详解】解：因为(2-X)*=。0+6尤+4*2+。8必，令x=0,则。0
19、=2、故A正确；令x=l,则ao+q+dH-F4 =(2 I)=I,所以弓+为-Fag=1-2,故 B 错误；令x=1,则4 q+%生-6=3 8,所 以 同+,2|+|可1-(-11=38 28,故C错误；对(2 X)-+cix+(i-,x+1 ,+qx 两边对 x 取导得 8(2 x)7=cif+2a,x+3/x-1-8C I8X7,再令 x=1 得 q+2a,+3a3 H-F 8aB=-8，故 D 正确；故选：AD12.尸是直线y=2上的一个动点，过点P作圆f +y2=1的两条切线，A,B为 切 点,贝I J ()A.弦长I A31的最小值为6 B.存在点P,使得NA尸8=90C.直 线
20、 经 过 一 个 定 点 D,线段AB的中点在一个定圆上【答案】ACD【解析】【分析】设A 8 n o p =c,则C为A8的中点，且OPL AB，再根据勾股定理、等面积法及锐角三角函数得到|A 8|=2,ZAPB 1 ,、s i n =|,根据|O”的范围，即可判断A、B,设P（f,2）,求出以0P为直径的圆的方程，两圆方程作差，即可得到切点弦方程，从而判断C,再根据圆的定义判断D；【详解】解：依 题 意 叶=|A P+|A O，即|O叶=同 呼+1,设A 8 n O P =C，则C为A8的中点，且O P _ LA B,所以=%器=/，所以M卸=2|4。=2/:，s i n誓=陶=赢，又|。
21、%2,+0 0),所以s i n受产,|A B|e V 3,2),所以 1ML“=G，(ZAPB)m K=6 0,故 A 正确，B 不正确;设P（/,2）,则|O P|=J f 2+4,所以以OP为直径的圆的方程为I+(y-i)2=；/+i，故C正确;即比+2 y =l,所以直线AB的方程为比+2 y =l,所以直线AB过定点加又OCL MC,|。加 卜5,所以4?的中点C在 以 为 直 径 的 圆 上，故D正确;故选：A C D三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.1 3 .已 知t a na =3，则c o s 2 a=.4【答 案】一【解 析】【详 解】解：由题意可知：c o
22、s 2 a =2 c o s2a-l =2 x-1 =-.t a n-a+51 41 4.设O v x v l,则一+-的最小值为X l-x【答 案】9【解 析】【详 解】试题分析：因 为0cx 1,所 以0 l x 5 +2,-=9,当 且 仅 当 一=n x =时，等号成立，故 一+的最小值为9.V x 1 -x x 1-x 3 x 1-x考 点：基本不等式的应用.【方法点晴】本题主要考查了利用基本不等式求解最值问题，属于中档试题，此类问题解答中要注意基本不等式的成立的条件和等号成立的条件，灵活应用，着重考查了构造思想的应用，本题的解答中把，+工=仕+3 (1 -)+司=1 +4+上 三+
23、之，在利用基本不等式求得最小值，其中灵活利x-x X 1-x J1-x-x用0 1 X v 1是解答本题的关键.1 5.已知函数/(%)=比 +1)一 是 偶 函 数，贝1味=.【答案】-#0.5【解析】【分析】依据偶函数的定义建立方程即可求解.【详解】由题意知：/(x)=l n(e+l)是 偶 函 数，则x e R,/(-x)=/(x)即：I n (-%)=I n (ev+1)f c c即：l n(e*+l)-x+A x =l n(e*+1)-收即：(4 l)x =A x,解得：k=.故答案为：y.1 6.祖眠是我国南北朝时期伟大 科学家，他于5世纪末提出了“幕势既同，则积不容异”的体积计算
24、原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果裁得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”.现已知直线丁=2与 双 曲 线/-产=1及其渐近线围成的平面图形G如图所示，若将图形G被直线丁 =/(-2，2)所截得的两条线段绕)，轴旋转一周，则形成的旋转面的面积S=；若将图形G绕y轴旋转一周，则形成的旋转体的体积丫=【答案】.兀 .4万【解析】y-x f x2-y2=1【分析】由直线y =r,其中一2W/W 2,分步联立方程组 和 ，求得A8的坐标，进=r y=t而求得圆环的面积，再结合题意得到该几何体的体积与底面面积为万，高为4的圆柱的体积相同，利
25、用圆柱的体积公式，即可求解.【详解】如图所示，双曲线f y 2=,其中一条渐近线方程为=%,由直线y =/,其中一2 w r 42,y=x联立方程组，解得A(f,f),y=f联立方程组 x2-)v 2=,解得8(丁,_前_/)，所以截面圆环的面积为5 =4（J k b$）2 m 2 =，即旋转面的面积为兀,根 据“事势既同，则积不容异”，可得该几何体的体积与底面面积为万，高为4的圆柱的体积相同，所以该几何体的体积为V=%x 4=4万.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知数列%的前项和5“=2%3.（1）求数列%的通项公式；1 1 1 1
26、3（2）若一+高，求满足条件的最大整数.ax a2 an 2 0【答案】a,=3-2 T（2）5【解析】【分析】Q）由对与S“关系化简，再由等比数列通项公式求解（2）由等比数列前项和公式求和后解不等式【小 问1详解】=1 时，4=S=2 q-3,得%=3,2 2时，4=5“-5“1=%-3-（2。,1-3）,得%=2%,故 4是首项为3,公比为2的等比数列，a“=3-2”T【小问2详解】由（I）得 一1 =可1 .1即，故一1 +1 +1 =.1Z（11 +31 +诃1、）=鼻J（2 _诃1、）-，即 2”A 0,smAwO,sin A sinB sin A sin 2 A3cos A=,si
27、n A=，sin 8=-,cosB=-，4 4 8 8sin C=sin(A+3)=也x L辿x3=迫,4 8 8 4 16则 S=-Z?asinC=-x 6 x 4 x =l w e 2 2 16 4所以AABC的 面 积 为 也.419.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面A3C。为正方形，侧面PAD是正三角形，M是侧棱尸。的中点，且平面PCD.(1)求证：平面平面ABC。；(2)求AM与平面PBC所成角的正弦值.【答案】(1)详见解析；也7【解析】【分析】(1)由AM _L平面PC。，得到4W _LCD,易得A D L C D,进 而 得 到 平 面P 4),然后利用面面垂直的判定定理证明
28、；(2)以。为原点，建立空间直角坐标系，先求得平面PBC的一个法向量7=(x,y,z),设4 0与平面AM nPBC所成角6,由sin 6=:求解.AM-n【小 问1详解】证明：因为4 0，平面PCO,所以 AV_La),又底面ABCD为正方形，所以AD_LC,又AZnAM=A,所以CD_L平面R4。，又C D u平面ABC,所以平面Q4T，平面ABC。；【小问2详解】取AO的中点0,连接P 0,则尸O_L平面48CD,则以。为原点，建立如图所示空间直角坐标系：设 A B=2,则力(1,0,0),8(1,2,0),C(-1,2,0),尸(0,0,由)，(-1,0,0)2 27所以4 =7设平面
29、P 8 C的一个法向量为=(x,y,z),P B n =OP C n-0则即x+2y-y/3z-0 x+2y =0令 z =J i，则 y =；，x-O,则 n设A M与平面P B C所成角e，20.20 22年北京冬奥会后，由一名高山滑雪运动员甲组成的专业队，与两名高山滑雪爱好者乙、丙组成的业余队进行友谊赛.约定赛制如下：业余队中的两名队员轮流与甲进行比赛，若甲连续赢两场则专业队获胜；若甲连续输两场则业余队获胜：若比赛三场还没有决出胜负，则视为平局，比赛结束.已知各场比赛相互独立，每场比赛都分出胜负，且甲与乙比赛，乙赢概率为:；甲与丙比赛，丙赢的概率为p,其中(1)若第一场比赛，业余队可以安
30、排乙与甲进行比赛，也可以安排丙与甲进行比赛.请分别计算两种安排下业余队获胜的概率；若以获胜概率大为最优决策，问：业余队第一场应该安排乙还是丙与甲进行比赛？(2)为了激励专业队和业余队，赛事组织规定：比赛结束时，胜队获奖金3万元，负队获奖金1.5万元；若平局，两队各获奖金1.8万元.在比赛前，己知业余队采用了(1)中的最优决策与甲进行比赛，设赛事组织预备支付的奖金金额共计X万元，求X的数学期望E(X)的取值范围.【答案】(1)业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛(2)E(x)的取值范围为：(4.2 5,4.3)(单 位:万 元).【解析】【分析】(1)分别求出第一场比赛，业余队安排乙与甲或丙与甲进
31、行比赛业余队获胜的概率，比较两者的大小即可得出答案.(2)由已知X=4.5万元或X=3.6万元，分别求其对应 概率，得到分布列，求出E(x),由-p ,求出E(X)的取值范围.3 2【小 问1详解】第一场比赛，业余队安排乙与甲进行比赛，业余队获胜的概率为:1 3 3 3 9第一场比赛，业余队安排丙与甲进行比赛，业余队获胜 概率为:D=1x +(z,l -p)x x 1 x p =-51 2+-2p,因 为;P；，所以 6一2 =所以鸟.所以，业余队第一场应该安排乙与甲进行比赛.【小问2详解】由已知X=4.5万元或X =3.6万元.由(1)知，业余队最优决策是第一场应该安排乙与甲进行比赛.此时，
32、业 余 队 获 胜 的 概 率 为,2 1 2 R R专业队获胜的概率为6 =三乂(1 _.)+/乂(1 _)乂 =工 _ 工.，3 3 3 9 9Q 所以，非平局的概率为尸(X=4.5)=4 +6=1 3，平局的概率为尸(X=3.6)=l_8=+g.X的分布列为：X 的数学期望为 E(x)=4.5 x(2-;p +3.6 x +gp)=4.4-o.3 p (万元)X4.53.6尸(X)8 1-p9 31 1+p9 3而(。0)经过点M 1,今，且 焦 距 由 段=2百，线段A B,8分别是它的长轴和短轴.(1)求椭圆E的方程;(2)若N(s j)是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：
33、直线P Q经过定点.s =l/H 土 立，直线NANB与椭圆E的另一交点分别为尸，Q2，=2,s e R,直线N C,N D与椭圆E的另一交点分别为P,Q.【答案】（1）（2）见解析【解析】1 3 ,【分析】（1）由已知可得：a2 4b2，解得：=4乃2=1,即可求椭圆E的方程；/b2=3（2）选，则N（l,f）,A（2,0）,8（2,0）,设 尸（小,力）（&,坨），kN A=三=；/加=三=一/，所以/g：丁 =:（*+2）,&8：7=_ （犬_2）,1 +Z J 1 Z J联立直线和椭圆的方程，求出P,Q的坐标，进一步得到直线P Q的方程，令y =0,x =4,故直线P Q恒过定点（4,
34、0）.选，则 N（s,2）,C（0,l）,D（0,T）,设P（Xp,%）,Q（q,y。），,2-1 1,2 +1 3 1 3N C=-=_#N D =-=_，所以/V C :y=_ X+1ND:y =_ 3-1,S S S S S S联立直线和椭圆的方程，求出P,Q的坐标，进一步得到直线P Q的方程，令x =o,y =；,故直线P Q恒过定点（0,3 1.【小 问I详解】6?=44=1,所以椭圆的方程为：a2=4,/?2=1.【小问2详解】选，则2,0）,5（2,0）,设。（%,%）,。（，儿）,N A=：%=f 所以:）=（x +2）N B：y =T（x-2 11 +Z J 1 Z 3y =
35、+2）消去y得：（9+4-卜2 +1 6/+1 6产一3 6 =0,A =2 5 6 -4（9 +4-）（1 6产-3 6）=3 6?0所rri以、i-2c xp=1-6-厂-3-6,所ru以i、i 巧,=-8-厂-+-1-8,n则,y12，r r.P=-所以 9+4/0 9+4/9+4/p-8/+18）9+4r 9+4 y=T（x-2）尤2 ,消去y得：（l+4r2）x2-16/2x+16r2-4 =0,+y2=14-A=256-4（l+4/2）（16?-4）=160,C.16厂 4 8厂 2 4r所 以2龙。=-,所以 玄=-7-,则y0=-y,Q l+4r Q l+4r 1 +4?所以1
36、2 4f9+4r +4/32/24/2,t，Q 8/+18&匚I -36-64、-3+4产，9+4*-1 +4产所以 16y4+（8x 32）户+162+（2x-8）f+3y=。所以 y=0,x=4,故直线PQ恒过定点（4,0）.选，则N（s,2）,C（0,l）,D（0,-l）,设 网 号,）,。（q,坛）,2-1 1 ,2+1 3 b,1 3,N C =_，ND =一，所以】N C :y=-+1，IND y=_ X-Ly=x+12 ,消去得：（4+s2）V+2s2y+s2-4=。,+y2=14-A=454-4（4+52）（52-4）=640所 以 为 二c2 4-所以 8sp 52+4 52
37、+4所以p-85 5-4 s2+4S2+4 J26 c2 24 v同理：y=J,所以 所以。-G 52+36 52+3624s 3 6 7 2、J+3 6$2+36,36-s2 S2-4=s?+36 52+4PQ 245-85s2+36 52+4（52+12）-（12-52）_ i2-?16s1+12）16s52-4 1 2-v2所以直线尸。的方程为：s+4 1 6s1 2-+252一8 52+4 J令x=0,则丁=“，八 =z,八=不2(s +4)2(s、4)2故直线P Q恒过定点(0,；)【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，解题的关键是求出P
38、,。的坐标，进一步得到直线P Q的方程，即可得出直线尸。恒过的定点，属于难题.22.设函数/(x)=xe*o x:?-2QX+2/。，其中Q ER.(1)讨论/(x)的单调性；(2)当/(X)存在小于零的极小值时，若且/(S i n xj x2.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】求 导 函 数，根据f(x)0 =/(x)为增函数，/(x)f(x)=(x+l)(eJ:当“4 0时，/(x)0nx l=/(x)在(-l,+8)上为单调递增函数.f(x)0 n x%=-l,X 2=l n 2a(i)当 王=-1 时，a =(，/()=(尤+1)e -)当x-l时，x+l 0,er-0；
39、当x 1 时，x+l 0,ev-0,此时f(x)0；e1 ，/、当X =-1 时，x+l =o,ev 一 一 =0 ,此时/(x)=0；当a =一 时，/(x)“恒成立，故/(x)在R上为单调递增函数(ii)当时，/(1)0=%ln2a,/(%)入2 时，/(x)0 x-1,/(x)v()=ln勿X 1,故2e,f(x)在(ln2。,1)上为单调增函数，在(-o),ln2a)和(一1,)上为单调减函数.综上所述：当0时，若a=L,/(x)在R上为单调递增函数；若a -,“X)在和(ln2a,+s)上为单调增函数，在(-l,ln2a)上为单调减函数；若0 a ,“X)在(ln2a,-l)上为单调
40、增函数，在(-oon2a)和(-l,+oo)上为单调减函数.【小问2详解】当/(x)存在小于零的极小值时，此时/(X)在(0,+8)上为单调递增函数,/(sinx1)/(A：l cosjnsinX v%cososinX1 x cos%sinx.0-L g(x)xcosx-sinx+x2 sinx令(x)=xcosx-sinx+x2 sinx=(x)x2x2 cosx+xsinx0.，(x)在0，U上单调递增，而“()=()/.w(x)08()0=8(力在在0 4)上单调递增 limx-0sinx-xcosx.g(x)0 x 3sinx=-cos xx.cosx-(cosx-xsinlim-X)=01sin x,sin x,从而-Lcos%1=-Lcos九 y=cosx 在上单调递减尤 x2