《2023届甘肃省通渭县高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届甘肃省通渭县高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf（20页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2023 年高考数学模拟试卷 注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数z满足()()5zii，则z（）A6i B6i C6 D6 2某三棱锥的三视图如图所示，那么该三棱锥的表面中直角三角形的个数为（）A1 B2 C3 D0 3下图所示函
2、数图象经过何种变换可以得到sin 2yx的图象（）A向左平移3个单位 B向右平移3个单位 C向左平移6个单位 D向右平移6个单位 4如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为 2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前 10 层的所有数字之积最接近lg20.3（）A30010 B40010 C50010 D60010 5我国南北朝时的数学著作张邱建算经有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得
3、黄金（）A多 1 斤 B少 1 斤 C多13斤 D少13斤 6函数1ln1yxx的图象大致为()A B C D 7为得到的图象，只需要将的图象（）A向左平移 个单位 B向左平移 个单位 C向右平移 个单位 D向右平移 个单位 8已知数列 na 是公比为 q 的等比数列，且 1a，3a，2a 成等差数列，则公比 q 的值为（）A12 B2 C1 或 12 D1 或 12 9如图所示，在平面直角坐标系xoy中，F是椭圆22221(0)xyabab的右焦点，直线2by 与椭圆交于B，C两点，且90BFC，则该椭圆的离心率是（）A63 B34 C12 D32 10已知i为虚数单位，复数12zii，则其
4、共轭复数z（）A1 3i B1 3i C1 3i D1 3i 11一只蚂蚁在边长为4的正三角形区域内随机爬行，则在离三个顶点距离都大于2的区域内的概率为()A316 B34 C36 D14 12已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三视图的长、宽、高分别为2，a，b，且520,02abab，则此三棱锥外接球表面积的最小值为（）A174 B214 C4 D5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线3yx在点（1，1）处的切线与x轴及直线x=a所围成的三角形面积为16，则实数a=_。14已知各棱长都相等的直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱)所有顶点都在球O的表面上
5、.若球O的表面积为28,则该三棱柱的侧面积为_ 15在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，且2,2sinsincAC若B为钝角，3cos24C ，则ABC的面积为 _ 16若非零向量a，b满足,6a b，3a，7ab，则b _.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12 分）等比数列 na中，1752,4aaa()求 na的通项公式；()记nS为 na的前n项和若126mS，求m 18（12 分）已知函数()sinxf xaex，其中aR，e为自然对数的底数.（1）当1a 时，证明：对0,),()1xf x；（2）若函数()f x在0,2上存在极
6、值，求实数a的取值范围。19（12 分）中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体，给人于美的享受如图（1）为一花窗；图（2）所示是一扇窗中的一格，呈长方形，长 30 cm，宽 26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称设菱形的两条对角线长分别为 x cm 和 y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为 L （1）试用 x，y 表示 L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于 2 cm，每个菱形的面积为 130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？20（12 分）已知各项均为正数的数
7、列 na的前n项和为nS，且nS是na与1na的等差中项.（1）证明：2nS为等差数列，并求nS；（2）设11nnnbSS，数列 nb的前n项和为nT，求满足5nT 的最小正整数n的值.21（12 分）如图，己知圆2221:(0)2rxyrr和双曲线2222:1(0)yxbb，记1与y轴正半轴、x轴负半轴的公共点分别为A、B，又记1与2在第一、第四象限的公共点分别为C、D.（1）若2r，且B恰为2的左焦点，求2的两条渐近线的方程；（2）若2r，且(,5)ACADm，求实数m的值；（3）若B恰为2的左焦点，求证：在x轴上不存在这样的点P，使得2.019PAPC.22（10 分）在平面直角坐标系
8、xOy 中，直线 l 的参数方程为33xtyt（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为4cos（1）求直线l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程；（2）设点(0,3)M，直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 A、B，求11|MAMB的值 参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A【解析】由复数的运算法则计算【详解】因为()()5zii，所以56ziii 故选：A【点睛】本题考查复数的运算属于简单题 2C【解析】由三视图还原原几何体，借助于正方体可得三棱
9、锥的表面中直角三角形的个数.【详解】由三视图还原原几何体如图，其中ABC，BCD，ADC为直角三角形.该三棱锥的表面中直角三角形的个数为 3.故选：C.【点睛】本小题主要考查由三视图还原为原图，属于基础题.3D【解析】根据函数图像得到函数的一个解析式为 sin 23fxx，再根据平移法则得到答案.【详解】设函数解析式为 sinf xAxb，根据图像：1,0Ab，43124T，故T，即2，sin1126f，2,3kkZ，取0k，得到 sin 23fxx，函数向右平移6个单位得到sin 2yx.故选：D.【点睛】本题考查了根据函数图像求函数解析式，三角函数平移，意在考查学生对于三角函数知识的综合应
10、用.4A【解析】结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成 2 的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n项和公式和对数恒等式即可求解【详解】如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前 10 层的指数之和为29101222211023，所以原数字塔中前 10 层所有数字之积为10231023lg 230021010.故选：A【点睛】本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n项和公式应用，属于中档题 5C【解析】设这十等人所得黄金的重量从大到小依次组成等差数列 na，则123891043aaaaaa，由等差数列的性质得29
11、29441,1,1333aaaa ，故选 C 6A【解析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x 时的函数值可排除三个选项【详解】0 x 时，函数为减函数，排除 B，10 x 时，函数也是减函数，排除 D，又1x 时，1 ln20y ，排除 C，只有 A 可满足 故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项 7D【解析】试题分析：因为，所以为得到的图象，只需要将的图象向右平移 个单位；故选 D 考点：三角函数的图像变换 8D【解析】由132aaa
12、，成等差数列得3122a=a+a，利用等比数列的通项公式展开即可得到公比 q 的方程.【详解】由题意3122a=a+a，2a1q2=a1q+a1，2q2=q+1，q=1 或 q=1-2 故选：D【点睛】本题考查等差等比数列的综合，利用等差数列的性质建立方程求 q 是解题的关键，对于等比数列的通项公式也要熟练 9A【解析】联立直线方程与椭圆方程，解得B和C的坐标，然后利用向量垂直的坐标表示可得2232ca，由离心率定义可得结果.【详解】由222212xyabby，得322xaby，所以3,22bBa，3,22bCa.由题意知,0F c，所以3,22bBFca，3,22bCFca.因为90BFC,
13、所以BFCF,所以22222223333102244442bacBF CFcacacaca.所以2232ca，所以63cea，故选：A.【点睛】本题考查了直线与椭圆的交点，考查了向量垂直的坐标表示，考查了椭圆的离心率公式，属于基础题.10B【解析】先根据复数的乘法计算出z，然后再根据共轭复数的概念直接写出z即可.【详解】由121 3ziii，所以其共轭复数1 3zi.故选：B.【点睛】本题考查复数的乘法运算以及共轭复数的概念，难度较易.11A【解析】求出满足条件的正ABC的面积，再求出满足条件的正ABC内的点到顶点A、B、C的距离均不小于2的图形的面积，然后代入几何概型的概率公式即可得到答案【
14、详解】满足条件的正ABC如下图所示：其中正ABC的面积为2344 34ABCS，满足到正ABC的顶点A、B、C的距离均不小于2的图形平面区域如图中阴影部分所示，阴影部分区域的面积为21222S.则使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于2的概率是231164 3P .故选：A.【点睛】本题考查几何概型概率公式、三角形的面积公式、扇形的面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题 12B【解析】根据三视图得到几何体为一三棱锥，并以该三棱锥构造长方体，于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球，进而得到外接球的半径，求得外接球的面积后可求出最小值【详解】由已知条件及三视图得，此三棱锥的四个顶点位于长方
15、体1111ABCDABC D的四个顶点，即为三棱锥11ACBD，且长方体1111ABCDABC D的长、宽、高分别为2,a b，此三棱锥的外接球即为长方体1111ABCDABC D的外接球，且球半径为222222422ababR，三棱锥外接球表面积为222222421445124ababa，当且仅当1a，12b 时，三棱锥外接球的表面积取得最小值为214 故选 B【点睛】（1）解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径，同时要作一圆面起衬托作用（2）长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线，对于一些比较特殊的三棱锥，在研究其外接球的问题时可考虑通过构造
16、长方体，通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。1313a 或 1【解析】利用导数的几何意义，可得切线的斜率，以及切线方程，求得切线与x轴和xa的交点，由三角形的面积公式可得所求值【详解】3yx的导数为23yx，可得切线的斜率为 3，切线方程为13(1)yx，可得32yx，可得切线与x轴的交点为2(3，0)，切线与xa的交点为(,32)aa，可得121 32236aa，解得1a 或13。【点睛】本题主要考查利用导数求切线方程，以及直线方程的运用，三角形的面积求法。1436【解析】只要算出直三棱柱的棱长即可，在1OO A中，利用2
17、2211O AOOOA即可得到关于 x 的方程，解方程即可解决.【详解】由已知，2428R，解得7R，如图所示，设底面等边三角形中心为1O，直三棱柱的棱长为 x，则133O Ax，112OOx，故2222117O AOOOAR，即22734xx，解得2 3x，故三棱柱的侧面积为2336x.故答案为：36.【点睛】本题考查特殊柱体的外接球问题，考查学生的空间想象能力，是一道中档题.153 78【解析】转化2sinsinAC为2ca，利用二倍角公式可求解得cosC，结合余弦定理2222coscababC可得 b，再利用面积公式可得解.【详解】因为2,2sinsincAC，所以12ca 又因为3co
18、s24C ，且C为锐角，所以214cos,sin44CC 由余弦定理得2222coscababC，即224124bb，解得3 22b，所以113 2143 7sin122248ABCSabC 故答案为：3 78【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.161【解析】根据向量的模长公式以及数量积公式，得出2|3|40bb，解方程即可得出答案.【详解】222()27ababaa bb 223cos376bb，即2|3|40bb 解得|1b 或|4b （舍）故答案为：1【点睛】本题主要考查了向量的数量积公式以及模长公式的应用，属于中档题
19、.三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17()2nna 或2nna ()12【解析】（1）先设数列 na的公比为q，根据题中条件求出公比，即可得出通项公式；（2）根据（1）的结果，由等比数列的求和公式，即可求出结果.【详解】（1）设数列 na的公比为q，2754aqa，2q，2nna或(2)nna .（2）2q时，2 1 2221261 2nnnS，解得6n；2q 时，2 1(2)21(2)126123nnnS ，n无正整数解；综上所述6n.【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于基础题型.18(1)见证明；(2)0,1a【解析】（
20、1）利用导数说明函数的单调性，进而求得函数的最小值，得到要证明的结论；（2）问题转化为导函数在区间上有解，法一：对 a 分类讨论，分别研究 a 的不同取值下，导函数的单调性及值域，从而得到结论.法二：构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性求得函数的值域，再利用零点存在定理说明函数存在极值【详解】(1)当1a 时，sinxf xex，于是，cosxfxex.又因为，当0,x时，1xe 且cos1x.故当0,x时，cos0 xex，即 0fx.所以，函数 sinxf xex为0,上的增函数，于是，01f xf.因此，对0,x，1f x；(2)方法一：由题意 f x在0,2上存在极值，则 cosx
21、fxaex在0,2上存在零点，当0,1a时，cosxfxaex为0,2上的增函数，注意到 010fa，202fa e，所以，存在唯一实数00,2x，使得 00fx成立.于是，当00,xx时，0fx，f x为00,x上的减函数；当0,2xx时，0fx，f x为0,2x上的增函数；所以00,2x为函数 f x的极小值点；当1a 时，coscos0 xxfxaexex在0,2x上成立，所以 f x在0,2上单调递增，所以 f x在0,2上没有极值；当0a 时，cos0 xfxaex在0,2x上成立，所以 f x在0,2上单调递减，所以 f x在0,2上没有极值，综上所述，使 f x在0,2上存在极值
22、的a的取值范围是0,1.方法二：由题意，函数 f x在0,2上存在极值，则 cosxfxaex在0,2上存在零点.即cosxxae在0,2上存在零点.设 cosxxg xe，0,2x，则由单调性的性质可得 g x为0,2上的减函数.即 g x的值域为0,1，所以，当实数0,1a时，cosxfxaex在0,2上存在零点.下面证明，当0,1a时，函数 f x在0,2上存在极值.事实上，当0,1a时，cosxfxaex为0,2上的增函数，注意到 010fa，202fa e，所以，存在唯一实数00,2x，使得 00fx成立.于是，当00,xx时，0fx，f x为00,x上的减函数；当0,2xx时，0f
23、x，f x为0,2x上的增函数；即00,2x为函数 f x的极小值点.综上所述，当0,1a时，函数 f x在0,2上存在极值.【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值，涉及函数的单调性，导数的应用，函数的最值的求法，考查构造法的应用，是一道综合题 19（1）228242()Lxyxy（2）164 569【解析】试题分析：（1）由条件可先求水平方向每根支条长15x，竖直方向每根支条长为132y，因此所需木料的长度之和L222(15)4(13)822xyyx=228242()xyxy（2）先确定范围由152,132,2xy可得1301311x，再由面积为 130 cm2，得1132xy，转化为一元函
24、数22260260824()2()Lxxxx，令260txx，则22520822520520Lttt在37233,11t上为增函数，解得 L 有最小值164 569 试题解析：（1）由题意，水平方向每根支条长为302152xmxcm，竖直方向每根支条长为261322yyncm，菱形的边长为2222()()222xyxycm从而，所需木料的长度之和L222(15)4(13)822xyyx=228242()xyxycm（2）由题意，1132xy，即260yx，又由152,132,2xy可得1301311x 所以22260260824()2()Lxxxx 令260txx，其导函数226010 x在1
25、301311x 上恒成立，故260txx在130,1311上单调递减，所以可得37233,11t则22602608222()520()Lxxxx 22822520520ttt=22520822520520ttt 因为函数2520yt和2520520ytt在37233,11t上均为增函数，所以22520822520520Lttt在37233,11t上为增函数，故当33t，即13,20 xy时 L 有最小值164 569答：做这样一个窗芯至少需要164 569cm 长的条形木料 考点：函数应用题 20（1）见解析，nSn（2）最小正整数n的值为 35.【解析】（1）由等差中项可知12nnnSaa，
26、当2n 时，得1112nnnnnSSSSS，整理后可得2211nnSS，从而证明 2nS为等差数列，继而可求nS.（2）111nbnnnn ，则可求出11nTn，令115n ，即可求出n 的取值范围，进而求出最小值.【详解】解析：（1）由题意可得12nnnSaa，当1n 时，11112Saa，211a，11a，当2n 时，1112nnnnnSSSSS，整理可得2211nnSS，2nS是首项为 1，公差为 1 的等差数列，2211nSSnn，nSn.（2）由（1）可得111nbnnnn ，2132111 15nTnnnnn ，解得35n，最小正整数n的值为 35.【点睛】本题考查了等差中项，考查
27、了等差数列的定义，考查了na 与nS 的关系，考查了裂项相消求和.当已知有na 与nS 的递推关系时，常代入11,1nnna naSS 进行整理.证明数列是等差数列时，一般借助数列，即后一项与前一项的差为常数.21（1）2yx；（2）102 5102 52m；（2）见解析【解析】（1）由圆的方程求出B点坐标，得双曲线的c，再计算出b后可得渐近线方程；（2）设1122(,),(,)C x yD xy，由圆方程与双曲线方程联立，消去x后整理，可得12yy，1212(,6)PCPDxxyy，由(,5)ACADm先求出b，回代后求得,C D坐标，计算12mxx；（3）由已知得22314br，设1122
28、(,),(,)C x yD xy，由圆方程与双曲线方程联立，消去x后整理，可解得212byr，2223byr，求出2221122411ybxbr，从而可得2AC，由2PAPCAC，可知满足要求的P点不存在【详解】（1）由题意圆方程为22(1)4xy，令0y 得3x ，(3,0)B，即3c，223 12bca，1a，渐近线方程为2yx （2）由（1）圆方程为22(1)4xy，(0,3)A，设1122(,),(,)C x yD xy，由22222(1)41xyyxb得，2222(1)220byb yb(*)，212221byyb，212221by yb，11221212(,3)(,3)(,6)AC
29、ADx yxyxxyy(,5)m，所以1265yy，即222651bb，解得1b，方程(*)为22220yy，即210yy，152y，代入双曲线方程得22102 514xy，,C D在第一、四象限，1102 52x，2102 52x，12102 5102 52mxx（3）由题意3(0,)2Ar，3(,0)2Br，32cr，2222314bcar，2 33r，设1122(,),(,)C x yD xy 由22222221rxyryxb得：22221()02yryrb，2222223(1)04byrb ybr b，由22314br 得2224304r yrbb，解得212byr，2223byr，2
30、221122411ybxbr，所以222222111323()()22bACxyrxrr22222122234()44414brbxrrr，2AC，2PAPCAC，当且仅当,P A C三点共线时，等号成立，x轴上不存在点P，使得2.019PAPC【点睛】本题考查求渐近线方程，考查圆与双曲线相交问题考查向量的加法运算，本题对学生的运算求解能力要求较高，解题时都是直接求出交点坐标难度较大，属于困难题 22（1）330 xy，22(2)4xy（2）23 39【解析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程,利用消去参数t即可得到直线l的直角坐标方程;(2)由于(0
31、,3)M在直线l上,写出直线l的标准参数方程参数方程,代入曲线C的方程利用参数的几何意义即可得出12121 21111|ttMAMBttt t求解即可.【详解】（1）直线l的普通方程为33yx，即330 xy，根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，cosx，222xy，而4cos，则24 cos，即22(2)4xy，故直线 l 的普通方程为330 xy，曲线 C 的直角坐标方程22(2)4xy（2）点(0,3)M在直线 l 上，且直线l的倾斜角为120，可设直线的参数方程为：12332xtyt（t 为参数），代入到曲线 C 的方程得 2(23 3)90tt，12(2 3 3)tt，1 29t t，由参数的几何意义知12121 2111123 3|9ttMAMBttt t【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线l的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键,难度一般.