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1、第一部分选择题共 28 分一、单项选择题本大题共14小题,每小题2分,共28分在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填在题后的括号内;错选或未选均无分;1.设行列式A.m+nC.n-ma11a21a12a=m,13a22a23a11a=n,则行列式11a21a21a12a13等于a22a23B.-m+nD.m-n1002.设矩阵 A A=020,则 A A-1等于00313A.0001200011B.00 12D.0 0012000131003C.01010020010301 312 3.设矩阵 A A=101,A A 是 A A 的伴随矩阵,则 A A 中位于 1,2
2、的元素是214 A.6B.6C.2D.24.设 A A 是方阵,如有矩阵关系式 ABAB=ACAC,则必有A.A A=0 0B.B BC C 时 A A=0 0C.A A0 0 时 B B=C CD.|A A|0 0 时 B B=C C5.已知 34 矩阵 A A 的行向量组线性无关,则秩 A AT等于A.1B.2C.3D.46.设两个向量组1,2,s和1,2,s均线性相关,则A.有不全为 0 的数1,2,s使11+22+ss=0 和11+22+ss=0B.有不全为 0 的数1,2,s使11+1+22+2+ss+s=0C.有不全为 0 的数1,2,s使11-1+22-2+ss-s=0D.有不全
3、为0的数1,2,s和不全为0的数1,2,s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵 A A 的秩为 r,则 A A 中A.所有 r-1 阶子式都不为 0B.所有 r-1 阶子式全为 0C.至少有一个 r 阶子式不等于 0D.所有 r 阶子式都不为 08.设 Ax=bAx=b 是一非齐次线性方程组,1,2是其任意 2 个解,则下列结论错误的是A.1+2是 Ax=0Ax=0 的一个解B.111+2是 Ax=bAx=b 的一个解22C.1-2是 Ax=0Ax=0 的一个解9.设 n 阶方阵 A A 不可逆,则必有1-2是 Ax=bAx=b 的一个解A.秩 A AnB.秩 A A=n-1
4、=0=0D.方程组 Ax=0Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n3 阶方阵,下列陈述中正确的是A.如存在数和向量使 A A=,则是 A A 的属于特征值的特征向量B.如存在数和非零向量,使E E-A A=0=0,则是 A A 的特征值的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如1,2,3是 A A 的 3 个互不相同的特征值,1,2,3依次是 A A 的属于1,2,3的特征向量,则1,2,3有可能线性相关11.设0是矩阵 A A 的特征方程的 3 重根,A A 的属于0的线性无关的特征向量的个数为k,则必有A.k3B.k312.设 A A 是正交矩阵,则下列结论错误的是A.|A|A|
5、2必为 1B.|A A|必为 1=A AT的行列向量组是正交单位向量组13.设 A A 是实对称矩阵,C C 是实可逆矩阵,B B=C CTACAC.则与 B B 相似B.A A与 B B 不等价C.A A与 B B 有相同的特征值D.A A与 B B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为A.2334B.3426100 C.023035 111D.120102第二部分非选择题共 72 分二、填空题本大题共 10 小题,每小题 2 分,共 20 分不写解答过程,将正确的答案写在每小题的空格内;错填或不填均无分;11516.1 11 123,B B=.则 A A+2B B=.1111 2 415.3
6、9253616.设 A A=17.设A A=aij33,|A A|=2,A Aij表 示|A A|中 元 素aij的 代 数 余 子 式i,j=1,2,3,则a11A21+a12A22+a13A232+a21A21+a22A22+a23A232+a31A21+a32A22+a33A232=.18.设向量 2,-3,5 与向量-4,6,a 线性相关,则 a=.19.设 A A 是 34 矩阵,其秩为3,若1,2为非齐次线性方程组Ax=bAx=b 的 2 个不同的解,则它的通解为.20.设 A A 是 mn 矩阵,A A 的秩为 rn,则齐次线性方程组Ax=0Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为
7、.21.设向量、的长度依次为 2 和 3,则向量+与-的内积+,-=.22.设 3 阶矩阵 A 的行列式|A A|=8,已知 A A 有 2 个特征值-1 和 4,则另一特征值为.0106 2 23.设矩阵 A A=133,已知=1是它的一个特征向量,则所对应的特征值为.2108 2 24.设实二次型 fx1,x2,x3,x4,x5的秩为 4,正惯性指数为 3,则其规范形为.三、计算题本大题共 7 小题,每小题 6 分,共 42 分 120 23 125.设 A A=340,B B=.求 1ABABT；2|4A A|.2 40 12131105131324.1326.试计算行列式521 423
8、27.设矩阵 A A=110,求矩阵 B B 使其满足矩阵方程 ABAB=A A+2B B.1232 1 3 0 130128.给定向量组1=,2=,3=,4=.402241 3 9 试判断4是否为1,2,3的线性组合；若是,则求出组合系数;12124229.设矩阵 A A=210 3332 66.2334 0求：1 秩 A A；2A A 的列向量组的一个最大线性无关组;022 30.设矩阵 A=234的全部特征值为 1,1 和-8.求正交矩阵 T 和对角矩阵 D D,使 T T-1ATAT=D D.24331.试用配方法化下列二次型为标准形222x2fx1,x2,x3=x123x34x1x2
9、4x1x34x2x3,并写出所用的满秩线性变换;四、证明题本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分32.设方阵 A A 满足 A A3=0=0,试证明 E E-A A 可逆,且 E E-A A-1=E E+A A+A A2.33.设0是非齐次线性方程组 Ax=bAx=b 的一个特解,1,2是其导出组 Ax=0Ax=0 的一个基础解系.试证明11=0+1,2=0+2均是 Ax=bAx=b 的解；20,1,2线性无关;答案：答案：一、单项选择题本大题共14 小题,每小题 2 分,共 28 分二、填空题本大题共 10 空,每空 2 分,共 20 分15.616.33713717.418.10
10、19.1+c2-1或2+c2-1,c 为任意常数20.n-r21.522.223.1222 z224.z12 z3 z4三、计算题本大题共 7 小题,每小题 6 分,共 42 分 120 2225.解 1ABABT=3403412110 86=1810.3102|4A A|=43|A A|=64|A A|,而12040 2.|A A|=3121所以|4A A|=64-2=-1283110551313115122511051313110026.解52141110311010 5=1155=655062 3010 40.5527.解 ABAB=A A+2B B 即 A A-2EBEB=A A,而
11、223A A-2E E-1=1101211 143153.164 143 423所以 B B=A A-2E E-1A A=153110164 123 386=296.2129 2130 053213011301 28.解一01120224 3419 01311210 0010 0005 11120 0088014140002101,0110003035112011000所以4=21+2+3,组合系数为 2,1,1.解二考虑4=x11+x22+x33,2x1 x23x3 0 x 3x 12即12x2x 4323x14x2 x3 9.方程组有唯一解 2,1,1T,组合系数为 2,1,1.29.解对
12、矩阵 A A 施行初等行变换121000A A0320962 6282322 83=B B.3100 002 121012103283032 00000062000217 0001 秩 B B=3,所以秩 A A=秩 B B=3.2 由于 A A 与 B 的列向量组有相同的线性关系,而 B B 是阶梯形,B B 的第 1、2、4 列是 B B 的列向量组的一个最大线性无关组,故 A A 的第 1、2、4 列是 A A 的列向量组的一个最大线性无关组;A A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列,或 1、3、5 列也是30.解 A A 的属于特征值=1 的 2 个线性无关的特征向量为1=2,-
13、1,0T,2=2,0,1T.2 5/52 5/15经正交标准化,得1=5/5,2=4 5/15.05/3=-8 的一个特征向量为 1 1/3 3=2,经单位化得3=2/3.22/32 5/52 15/151/3所求正交矩阵为 T T=5/54 5/152/3.05/32/3100 对角矩阵 D D=010.0082 5/52 15/151/3也可取 T T=0 5/32/3.5/54 5/152/331.解 fx1,x2,x3=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.y1 x12x22x3x1 y12y2x2 x3,即x2y2
14、y3设y2,xy33x3y3120因其系数矩阵 C C=011可逆,故此线性变换满秩;001经此变换即得 fx1,x2,x3的标准形y12-2y22-5y32.四、证明题本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分32.证由于 E E-AEAE+A A+A A2=E E-A A3=E E,所以 E E-A A 可逆,且E E-A A-1=E E+A A+A A2.33.证由假设 A A 0=b b,A A 1=0 0,A A 2=0 0.1A A 1=A A 0+1=A A 0+A A 1=b b,同理 A A 2=b b,所以1,2是 AxAx=b b 的 2 个解;2 考虑 l00+l11+l22=0 0,即 l0+l1+l20+l11+l22=0 0.则 l0+l1+l2=0,否则0将是 AxAx=0 0 的解,矛盾;所以l11+l22=0 0.又由假设,1,2线性无关,所以 l1=0,l2=0,从而 l0=0.所以0,1,2线性无关;