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1、1 线性代数习题和答案第一部分选择题(共 28 分) 一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式aaaa11122122=m，aaaa13112321=n，则行列式aaaaaa111213212223等于（）A. m+n B. - (m+n) C. n- m D. m- n 2.设矩阵 A=100020003，则 A- 1等于（）A. 13000120001B. 10001200013C. 13000100012D. 120001300013.设矩阵 A=31210
2、1214，A*是 A 的伴随矩阵，则A *中位于（ 1，2）的元素是（）A. 6 B. 6 C. 2 D. 2 4.设 A 是方阵，如有矩阵关系式AB=AC ，则必有（）A. A =0B. BC 时 A=0C. A0 时 B=CD. |A|0 时 B=C5.已知 34 矩阵 A 的行向量组线性无关，则秩（AT）等于（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组1，2， s和1，2， s均线性相关，则（）A. 有不全为 0 的数1， 2，s使11+22+ +ss=0 和11+22+ss=0 B.有不全为 0 的数1，2，s使1（1+1）+2（2+2） +s（ s+s）=0 C.有不
3、全为 0 的数1，2，s使1（1- 1）+2（ 2- 2）+s（ s- s）=0 D. 有不全为 0 的数1，2，s和不全为0 的数1，2，s使11+22+ss=0 和11+22+ss=0 7.设矩阵 A 的秩为 r，则 A 中（）A. 所有 r- 1 阶子式都不为0 B.所有 r- 1 阶子式全为0 C.至少有一个r 阶子式不等于0 D. 所有 r 阶子式都不为0 8.设 Ax=b 是一非齐次线性方程组，1，2是其任意 2 个解，则下列结论错误的是（）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页2 A. 1+2是 Ax=0
4、的一个解B.121+122是 Ax=b 的一个解C.1-2是 Ax=0 的一个解D.21-2是 Ax=b 的一个解9.设 n 阶方阵 A 不可逆，则必有（）A. 秩(A)n B.秩(A)=n- 1 C.A=0D.方程组 Ax=0 只有零解10.设 A 是一个 n(3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A. 如存在数和向量使 A=，则 是 A 的属于特征值的特征向量B.如存在数和非零向量，使 (E- A)=0，则是A 的特征值C.A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如1，2，3是 A 的 3 个互不相同的特征值，1，2，3依次是 A 的属于1，2，3的特征向量，则1，2，3有可能线性
5、相关11.设0是矩阵 A 的特征方程的3 重根， A 的属于0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k 3 B. k3 12.设 A 是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为 1 B.|A|必为 1 C.A- 1=ATD.A 的行（列）向量组是正交单位向量组13.设 A 是实对称矩阵，C 是实可逆矩阵，B=CTAC .则（）A. A 与 B 相似B. A 与 B 不等价C. A 与 B 有相同的特征值D. A 与 B 合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334B.3426C.100023035D.111120102第二部分非选择题（共 72 分）二、填空题（本大题共
6、10 小题，每小题2 分，共 20 分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不填均无分。15.11135692536. 16.设 A=111111，B=112234.则 A+2B= . 17. 设A =(aij)33， |A|=2 ， Aij表 示 |A | 中 元 素aij的 代 数 余 子 式 （ i,j=1,2,3 ） , 则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= . 18.设向量（ 2，-3，5）与向量（ -4，6，a）线性相关，则a= . 19.设 A 是 34
7、矩阵，其秩为3，若1，2为非齐次线性方程组Ax=b 的 2 个不同的解，则它的通解为. 20.设 A 是 mn 矩阵， A 的秩为 r(n)，则齐次线性方程组Ax=0 的一个基础解系中含有解的个数为. 21.设向量 、的长度依次为2 和 3，则向量 +与- 的内积（ +，- ）= . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页3 22.设 3 阶矩阵 A 的行列式 |A |=8，已知 A 有 2 个特征值 - 1 和 4，则另一特征值为. 23.设矩阵A =01061332108，已知 =212是它的一个特征向量，则 所对应
8、的特征值为. 24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为 4，正惯性指数为3，则其规范形为. 三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）25.设 A=120340121，B=223410.求（ 1）ABT； （2） |4A |. 26.试计算行列式3112513420111533. 27.设矩阵 A =423110123，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A+2B. 28.给定向量组 1=2103，2=1324，3=3021，4=0149. 试判断 4是否为 1，2，3的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵 A =12102242662102333334.
9、 求： （1）秩（ A） ；（ 2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵 A=022234243的全部特征值为1， 1 和- 8.求正交矩阵T 和对角矩阵D， 使 T- 1AT=D. 31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x1,x2,x3)=xxxx xx xxx12223212132323444，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32.设方阵 A 满足 A3=0，试证明 E- A 可逆，且（ E- A）- 1=E+A +A2. 33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解， 1，2是其导出组Ax=0 的一个基础解系.试证明（1
10、）1=0+1，2=0+2均是 Ax=b 的解；（2）0，1，2线性无关。答案：一、单项选择题（本大题共14 小题，每小题2 分，共 28 分）1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页4 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C 二、填空题（本大题共10 空，每空 2 分，共 20 分）15. 6 16. 33713717. 4 18. 10 19. 1+c(2- 1)（或 2+c(2- 1)） ，c 为任意常数20. n- r 21. 5 22
11、. 2 23. 1 24. zzzz12223242三、计算题（本大题共7 小题，每小题6 分，共 42 分）25.解（1）ABT=120340121223410=861810310. （2）|4A|=43|A |=64|A|，而|A |=1203401212. 所以 |4A|=64 （ - 2）=- 128 26.解311251342011153351111113100105530=5111111550=5116205506255301040.27.解AB =A +2B 即（ A- 2E）B=A，而（A - 2E）- 1=2231101211431531641.所以B=(A- 2E)- 1A
12、=143153164423110123精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 6 页5 =3862962129.28.解一213013010224341905321301011201311210350112008800141410350112001100001002010100110000,所以 4=21+2+3，组合系数为（2， 1，1）. 解二考虑 4=x11+x22+x33，即230312243491231223123xxxxxxxxxx.方程组有唯一解（2，1， 1）T，组合系数为（2， 1，1）. 29.解对矩阵 A
13、施行初等行变换A1210200062032820963212102032830006200021712102032830003100000=B. （1）秩（ B）=3，所以秩（ A）=秩（ B）=3. （2）由于 A 与 B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形， B 的第 1、2、4 列是B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第 1、2、4 列是 A 的列向量组的一个最大线性无关组。（A 的第 1、2、5 列或 1、3、4 列，或 1、3、5 列也是）30.解A 的属于特征值=1 的 2 个线性无关的特征向量为1=（2，- 1，0）T，2=（2，0， 1）T. 经正交标准化，得1
14、=2 5 55 50/，2=2 5 154 5 155 3/. =-8 的一个特征向量为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页6 3=122，经单位化得 3=1 3232 3/.所求正交矩阵为T=2 5 52 15 151 35 54 5 152 305 32 3/. 对角矩阵D=100010008.（也可取T=2 5 52 15 151 305 32 35 54 5 152 3/.）31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2- 2x3）2- 2x22+4x2x3- 7x32=（x1+2x2- 2x3）2- 2（ x
15、2-x3）2- 5x32. 设yxxxyxxyx11232233322，即xyyxyyxy112223332，因其系数矩阵C=120011001可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形y12- 2y22- 5y32 . 四、证明题（本大题共2 小题，每小题5 分，共 10 分）32.证由于（ E- A） （ E+A +A2）=E- A3=E，所以 E- A 可逆，且（E- A ）- 1= E+A+A2 . 33.证由假设 A0=b， A1=0，A2=0. （1）A1=A（0+1）=A0+A1=b，同理 A2= b，所以 1，2是 Ax=b 的 2 个解。（2）考虑 l00+l11+l22=0，即（l0+l1+l2）0+l11+l22=0. 则 l0+l1+l2=0，否则 0将是 Ax=0 的解，矛盾。所以l11+l22=0. 又由假设， 1，2线性无关，所以l1=0，l2=0，从而l0=0 . 所以 0，1，2线性无关。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页