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1、此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用2018 年普通高等学校招生全国统一考试( 天津卷 ) 理科数学注意事项：1答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第 I 卷注意事项：1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动
2、，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共 8 小题，每小题5 分，共 40 分。参考公式：如果事件A，B 互斥，那么()( )()P ABP AP BU. 如果事件A，B 相互独立，那么()( ) ( )P ABP A P B. 棱柱的体积公式VSh，其中S表示棱柱的底面面积，h表示棱柱的高 . 棱锥的体积公式13VSh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高 . 一. 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1)设全集为R，集合02Axx，1 Bx x，则()RIABe(A) 01xx(B) 01xx(C) 12xx(D) 02xx(2)设变量 x，y 满足
3、约束条件5,24,1,0,xyxyxyy则目标函数35zxy的最大值为(A) 6 (B) 19 (C) 21 (D) 45 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用(3)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为 20，则输出 T 的值为(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (4)设Rx，则“11|22x”是“31x”的(A) 充分而不必要条件(
4、B) 必要而不重复条件(C)充要条件(D) 既不充分也不必要条件(5)已知2log ea，ln 2b，121log3c，则 a，b，c 的大小关系为(A) abc(B) bac(C) cba(D) cab(6)将函数sin(2)5yx的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数(A) 在区间35,44上单调递增(B)在区间3, 4上单调递减名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站
5、删除只供学习交流用(C)在区间53,42上单调递增(D) 在区间3,2 2上单调递减(7)已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于 A，B 两点 . 设 A，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d和2d，且126dd，则双曲线的方程为(A) 221412xy(B) 221124xy(C) 22139xy(D) 22193xy(8)如图，在平面四边形ABCD 中，ABBC，ADCD，120BAD，1ABAD. 若点 E 为边 CD 上的动点，则uu u r uurAE BE的最小值为(A) 2116(B) 32(C) 2516(D) 32
6、018 年普通高等学校招生全国统一考试( 天津卷 ) 数学(理工类 ) 第卷注意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。2. 本卷共 12 小题，共 110 分。二. 填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分。(9) i 是虚数单位，复数67i12i. (10) 在51()2xx的展开式中，2x的系数为. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学
7、习交流用(11) 已知正方体1111ABCDA B C D的棱长为 1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点 E，F，G，H，M(如图 )，则四棱锥MEFGH的体积为. (12)已知圆2220 xyx的圆心为 C，直线21,2232xtyt(t为参数 )与该圆相交于A，B 两点，则ABC的面积为. (13)已知,Ra b，且360ab，则128ab的最小值为. (14)已知0a，函数222,0,( )22 ,0.xaxaxf xxaxa x若关于x的方程( )f xax恰有 2 个互异的实数解，则a的取值范围是. 三.解答题：本大题共6 小题，共 80分. 解答应写出文字说明，证明过
8、程或演算步骤. （15）（本小题满分13 分）在ABC中，内角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知sincos()6bAaB. （I）求角 B 的大小；（II）设 a=2，c=3，求 b 和sin(2)AB的值 .(16)(本小题满分13 分)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16. 现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人，进行睡眠时间的调查. （I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共
9、19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用（II）若抽出的7 人中有 4 人睡眠不足， 3 人睡眠充足，现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查. （i）用 X 表示抽取的3 人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；（ii）设 A 为事件“抽取的3 人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率 . (17)(本小题满分13 分) 如图，/ /ADBC且 AD=2BC，ADCD,/ /EGAD且 EG=AD，/ /CDFG且 CD=2FG，DGABCD平面，DA=DC=DG=2. （I）若 M
10、 为 CF 的中点， N 为 EG 的中点，求证：MNCDE平面；（II）求二面角EBCF的正弦值；（III ）若点 P 在线段 DG 上，且直线BP 与平面 ADGE 所成的角为60，求线段DP 的长 . (18)(本小题满分13 分)设na是等比数列，公比大于0，其前 n 项和为()nS nN，nb是等差数列 . 已知11a，322aa，435abb，5462abb. （I）求na和nb的通项公式；（II）设数列nS的前 n 项和为()nTnN，（i）求nT；（ii ）证明221()22()(1)(2)2nnkkkkTbbnNkkn. (19)(本小题满分14 分)名师资料总结 - - -
11、精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用设椭圆22221xxab(ab0)的左焦点为F，上顶点为B. 已知椭圆的离心率为53，点 A 的坐标为( ,0)b，且6 2FBAB. （I）求椭圆的方程；（II）设直线l：(0)ykx k与椭圆在第一象限的交点为P，且 l 与直线 AB 交于点 Q. 若5 2sin4AQAOQPQ(O 为原点 ) ，求 k 的值. (20)(本小题满分14 分)已
12、知函数( )xf xa，( )logag xx，其中 a1. （ I）求函数( )( )lnh xf xxa的单调区间；（ II）若曲线( )yf x在点11(,()xf x处的切线与曲线( )yg x在点22(,()xg x处的切线平行，证明122ln ln()lnaxg xa；（ III ）证明当1eae时，存在直线l，使 l 是曲线( )yf x的切线，也是曲线( )yg x的切线 . 参考答案：一、选择题：本题考查基本知识和基本运算每小题5 分，满分40 分（1）B （2）C （3）B （4）A （5）D （6）A （7）C （8）A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算每小题5 分
13、，满分30 分（9）4 i （10）52（11）112（12）12（13）14（14）(48)，三、解答题（15）本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角差的正弦与余弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识，考查运算求解能力满分13 分（）解：在ABC 中，由正弦定理sinsinabAB，可得sinsinbAaB ，又由sincos()6bAaB，得sincos()6aBaB，即sincos()6BB，可得 tan3B又因为(0 )B，可得 B=3名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
14、整理 - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用（）解：在ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=3，有2222cos7bacacB，故b=7 由sincos()6bAaB，可得3sin7A因为 ac，故2cos7A因此4 3sin 22sincos7AAA，21cos22cos17AA所以， sin(2)sin 2coscos2sinABABAB4 31133 3727214（16）本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥事件的概率加法公式等基础知识考查运用概率知识
15、解决简单实际问题的能力满分13 分 KS5U （）解：由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为322，由于采用分层抽样的方法从中抽取7 人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3 人， 2 人，2 人（）（ i）解：随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3P（X=k）=34337CCCkk（k=0，1，2，3）所以，随机变量X 的分布列为0 1 2 3 随机变量 X 的数学期望11218412()0123353535357E X（ii）解：设事件B 为“抽取的3 人中，睡眠充足的员工有1 人，睡眠不足的员工有2 人”；事件 C 为“抽取的3 人中，睡眠充足的员工有2 人，睡眠不足的员
16、工有1 人”，则 A=BC，且 B 与C 互斥，由（ i）知， P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故 P(A)=P(BC)=P(X=2)+P(X=1)=67所以，事件A 发生的概率为67（17）本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力满分13 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络
17、，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用依题意，可以建立以D 为原点，分别以DAuu u r，DCuuu r，DGuuur的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向的空间直角坐标系（如图），可得D（0，0，0）， A（2，0，0）， B（1，2，0）， C（0，2，0）， E（2，0， 2）， F（0，1，2）， G（0，0，2）， M（0，32，1），N（1，0，2）（）证明：依题意DCu uu r=（0，2，0），DEu uu r=（2，0，2）设 n0=(x，y，z)为平面 CDE 的法向量， 则0000DCDEu uu ru uu r，nn即20220yxz，不妨令 z= 1，可得 n0=（
18、1，0， 1）又MNuu uu r=（1，32，1），可得00MNuu uu rn，又因为直线MN平面 CDE，所以 MN平面 CDE（）解：依题意，可得BCuuu r=（ 1，0，0），(12 2)BEuuu r， ， CFuuu r=（0， 1，2）设 n=（x，y，z）为平面 BCE 的法向量，则00BCBEuuu ruuu r，nn即0220 xxyz，不妨令 z=1，可得n=（0，1，1）设 m=（ x，y，z）为平面 BCF 的法向量，则00BCBFuuu ruuu r，mm即020 xyz，不妨令 z=1，可得m=（0，2，1）因此有 cos=3 10|10m nmn，于是 si
19、n=1010所以，二面角E BC F 的正弦值为1010（）解： 设线段 DP 的长为 h （h 0， 2 ） ， 则点 P 的坐标为（0， 0， h） ， 可得( 12)BPhuuu r，易知，DCu uu r=（0，2，0）为平面 ADGE 的一个法向量，故22cos5BP DCBP DCBP DChu uu r u uu ruuu ru uu ru uu r u uu r，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - -
20、此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用由题意，可得225h=sin60 =32，解得h=330，2所以线段DP的长为33. （18）本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础知识.考查等差数列求和的基本方法和运算求解能力.满分 13 分. （I）解：设等比数列na的公比为 q.由1321,2,aaa可得220qq. 因为0q，可得2q，故12nna. 设等差数列nb的公差为 d，由435abb，可得134.bd由5462abb，可得131316,bd从而11,1,bd故.nbn所以数列na的通项公式为12nna，数列nb的通项公式为.nbn（II
21、）（ i）由（ I），有122112nnnS，故1112(12 )(21)22212nnnkknnkkTnnn. （ii）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21kkkkkk+kT +bbkkkkkkkkkkkk，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212nnnnkkkkTbbkknnnL. （19）本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识考查用代数方法研究圆锥曲线的性质考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力满分14 分（）解：设椭圆的焦距为2c，由已知知2259ca，又由 a2=b2+c
22、2，可得 2a=3b由已知可得，FBa，2ABb，由62FBAB，可得 ab=6，从而 a=3，b=2所以，椭圆的方程为22194xy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用（）解：设点P 的坐标为（ x1，y1），点 Q 的坐标为（ x2，y2）由已知有y1y20，故12sinPQAOQyy 又因为2sinyAQOAB，而 OAB=4，故22AQy 由5 2sin
23、4AQAOQPQ，可得 5y1=9y2由方程组22194ykxxy，消去 x，可得12694kyk易知直线AB 的方程为 x+y 2=0，由方程组20ykxxy，消去 x，可得221kyk由 5y1=9y2，可得 5（k+1）=23 94k，两边平方，整理得25650110kk，解得12k，或1128k所以， k 的值为111228或（20）本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、运用导数研究指数函数与对数函数的性质等基础知识和方法 .考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14 分 . （I）解：由已知，( )lnxh xaxa，有( )lnlnx
24、h xaaa. 令( )0h x，解得 x=0. 由 a1，可知当 x 变化时，( )h x，( )h x的变化情况如下表：x (,0)0 (0,)( )h x0 + ( )h x极小值Z所以函数( )h x的单调递减区间(,0)，单调递增区间为(0,). （II）证明： 由( )lnxfxaa，可得曲线( )yf x在点11(,()xfx处的切线斜率为1lnxaa. 由1( )lng xxa，可得曲线( )yg x在点22(,()xg x处的切线斜率为21lnxa. 因为这两条切线平行，故有121lnlnxaaxa，即122(ln)1xx aa. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
25、 - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用两边取以 a 为底的对数，得212log2logln0axxa，所以122ln ln()lnaxg xa. （III ）证明： 曲线( )yf x在点11(,)xx a处的切线 l1：111ln()xxyaaaxx. 曲线( )yg x在点22(,log)axx处的切线 l2：2221log()lnayxxxxa. 要证明当1eea时，存在直线l，使 l 是曲线( )
26、yf x的切线，也是曲线( )yg x的切线，只需证明当1eea时，存在1(,)x，2(0,)x，使得 l1和 l2重合 .学*科网即只需证明当1eea时，方程组1112121lnln1lnloglnxxxaaaxaaxaaxa有解，由得1221(ln)xxaa，代入，得111112ln lnln0lnlnxxaax aaxaa. 因此，只需证明当1eea时，关于 x1的方程有实数解. 设函数12ln ln( )lnlnlnxxau xaxaaxaa，即要证明当1eea时，函数( )yu x存在零点 . 2( )1(ln)xu xaxa，可知(,0)x时，( )0ux；(0,)x时，( )u
27、x单调递减，又(0)10u，21(ln)2110(ln )auaa，故存在唯一的x0，且 x00，使得0()0u x，即0201(ln)0 xax a. 由此可得( )u x在0(,)x上单调递增，在0(,)x上单调递减 . ( )u x在0 xx处取得极大值0()u x. 因为1eea，故ln(ln)1a，所以0000002012ln ln12ln ln22ln ln()ln0lnln(ln)lnlnxxaaau xax aaxxaaxaaa. 下面证明存在实数t，使得( )0u t. 由（ I）可得1lnxaxa，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - -
28、 - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用当1lnxa时，有2212ln ln12ln ln( )(1ln)(1ln)(ln)1lnlnlnlnaau xxaxaxaxxaaaa，所以存在实数t，使得( )0u t因此，当1eea时，存在1(,)x，使得1()0u x. 所以，当1eea时，存在直线l，使 l 是曲线( )yf x的切线，也是曲线( )yg x的切线 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - -
29、- - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心
30、整理 - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 此文档来源于网络，如有侵权请联系网站删除只供学习交流用名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共
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