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1、精品_精品资料_2022 年一般高等学校招生全国统一考试 天津卷 理科数学留意事项：1. 答题前,先将自己的、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试终止后,请将本试题卷和答题卡一并上交.第 I 卷留意事项：1. 每题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标
2、号.2. 本卷共 8 小题,每题 5 分,共 40 分.参考公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如大事 A,B 互斥,那么P ABPAP B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如大事 A,B 相互独立,那么P ABP AP B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_棱柱的体积公式 VSh,其中 S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_棱锥的体积公式V1 Sh,其中 S 表示棱锥的底面面积,h 表示棱锥的高 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
3、精品资料_一. 选择题：在每题给出的四个选项中,只有哪一项符合题目要求的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 设全集为 R,集合 A x 0x2 , B x x1 ,就 A R B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(A) x 0x1(B) x 0x1(C) x 1x2(D) x 0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 设变量 x,y 中意约束条件xy2 xyxy5,4,就目标函数 z1,3x5y 的最大值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
4、精品资料_y0,A 6B 19C 21D 45可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,假设输入N 的值为 20,就输出 T 的值为A 1B 2C 3D 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 设 xR ,就“ | x1 |122”是“ x1 ”的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3(A) 充分而不必要条件(B) 必要而不重复条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 已知 alog 2 e , bln 2 , clog 121,就 a, b, c 的大
5、小关系为3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AabcBbacCcbaDcab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(6) 将函数 ysin2 x 的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数510可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 在区间35, 上单调递增B 在区间44 3, 上单调递减4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 在区间 5, 3 上单调递增D 在区间 3, 2 上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_422可编辑资
6、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2(7) 已知双曲线2ay2b 21 a0, b0) 的离心率为 2,过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于 A,B 两点 . 设 A,B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为d1 和 d2 ,且 d1d26 ,就双曲线的方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2y(A) 1x2y2(B) 1x2y2(C) 1x2y2(D) 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4121243993
7、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(8) 如图,在平面四边形ABCD 中, ABBC , ADCD ,BAD120, ABAD1 . 假可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设点 E 为边 CD 上的动点,就AE BE 的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21A163B225C16(D) 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2022 年一般高等学校招生全国统一考试 天津卷 数学 理工类 其次卷留意事项：1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2. 本卷共 12 小题,共 110 分.二. 填空题：本大题共6 小题,每题5 分
8、,共 30 分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(9) i 是虚数单位,复数67i.1 2i可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(10) 在 x152 x的开放式中,x2 的系数为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(11) 已知正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,除面 ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点 E, F, G, H ,M 如图,就四棱锥 MEFGH 的体积为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(12) 已知圆 x
9、2y22xx10 的圆心为 C,直线y32t ,2 t 为参数 与该圆相交于 A,B 两点,2t2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 ABC 的面积为.a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(13) 已知a , bR ,且 a3b60 ,就28b 的最小值为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(14) 已知 a0 ,函数f xx22axa,x0,2假设关于 x 的方程f xax 恰有 2 个互异的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2ax2a, x0.实数解,就 a 的取值范畴是.三.解答题：本大题共 6 小题,共 80 分. 解答应写
10、出文字说明,证明过程或演算步骤.15本小题总分值 13 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c.已知bsin AacosB .6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I求角 B 的大小.II 设 a=2, c=3,求 b 和 sin2 AB 的值 .16本小题总分值 13 分已知某单位甲、乙、丙三个部门的职工人数分别为24, 16, 16. 现接受分层抽样的方法从中抽取 7 人,进行睡眠时间的调查.I应从甲、乙、丙三个部门的职工中分别抽取多少人？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 假设抽
11、出的 7 人中有 4 人睡眠不足, 3 人睡眠充分,现从这7 人中随机抽取3 人做进一步的身体检查 .i用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的职工人数,求随机变量X 的分布列与数学期望.ii 设 A 为大事“抽取的 3 人中,既有睡眠充分的职工,也有睡眠不足的职工”,求大事A发生的概率 .17 本小题总分值 13 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如图,AD / / BC 且 AD=2 BC, ADCD , EG/ / AD 且 EG=AD , CD/ / FG 且 CD =2FG ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DG平面ABCD ,DA =DC =DG =2
12、.I假设 M 为 CF 的中点, N 为 EG 的中点,求证： MN平面CDE .II 求二面角 EBCF 的正弦值.III 假设点 P 在线段 DG 上,且直线 BP 与平面 ADGE 所成的角为 60,求线段 DP 的长 .18本小题总分值 13 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 an是等比数列,公比大于0,其前 n 项和为Sn nN , bn是等差数列 . 已知a11 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a3a22 , a4b3b5 , a5b42b6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编
13、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I求 an 和 bn的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 设数列 Sn的前 n 项和为Tn nN ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i求Tn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nii 证明Tkbk2 bk2 n 22nN .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1 k1k2n219本小题总分值 14 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精
14、品_精品资料_x2x25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设椭圆a2b 21 ab0的左焦点为 F,上顶点为 B. 已知椭圆的离心率为,点 A 的坐标为3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b,0 ,且FBAB62 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I求椭圆的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 设直线 l：ykxk0 与椭圆在第一象限的交点为P,且 l 与直线 AB 交于点 Q. 假设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AQ5 2 sinPQ4AOQ O 为原点 ,求 k 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
15、精品资料_20本小题总分值 14 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_已知函数f xax , g xlogx ,其中 a1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a I求函数h xf xx ln a 的单调区间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ II假设曲线yf x 在点x1,f x1 处的切线与曲线yg x 在点 x2 , g x2 处的切线平行,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明 x1g x2 2ln ln a.ln a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ III 证明当1
16、aee 时,存在直线l,使 l 是曲线yf x 的切线,也是曲线yg x 的切线 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参考答案：一、选择题：此题考查基本学问和基本运算每题5 分,总分值 40 分1B2C3B4A5D6A7C8A二、填空题：此题考查基本学问和基本运算每题5 分,总分值 30 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_94i10 5 211112可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 12三、解答题113414 4 ,8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与
17、余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础学问,考查运算求解才能总分值13 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：在 ABC 中,由正弦定理ab,可得b sin Aa sin B ,又由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin Asin B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bsin Aa cosB ,得6asin Ba cosB ,即6sin BcosB ,可得 tan B 63 又由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B0 , ,可得 B=3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,
18、有解：在 ABC 中,由余弦定理及a=2, c=3,B= 222bac2ac cosB7 ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3b=7 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 bsin Aa cosB ,可得6sin A3 由于 ac,故7cos A2因此7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2A2sinA cos A43, cos2 A7212cosA17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以, sin2 ABsin 2 Acos Bcos2 A sin B4311333 72721
19、4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16本小题主要考查随机抽样、离散型随机变量的分布列与数学期望、互斥大事的概率加法公式等基础学问考查运用概率学问解决简洁实际问题的才能总分值13 分 KS5U解：由已知,甲、乙、丙三个部门的职工人数之比为3 2 2,由于接受分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、乙、丙三个部门的职工中分别抽取3 人, 2 人, 2 人 i解：随机变量 X 的全部可能取值为0,1, 2, 3CkC3 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43CPX=k=37 k=0, 1, 2,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,随机变量 X
20、的分布列为0123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_随机变量 X 的数学期望E X 011122183412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_353535357ii 解：设大事B 为“抽取的 3 人中,睡眠充分的职工有1 人,睡眠不足的职工有2 人”. 大事 C 为“抽取的 3 人中,睡眠充分的职工有2 人,睡眠不足的职工有1 人”,就 A=B C,且 B 与6C 互斥,由 i知, PB=PX=2 , PC=PX=1,故 PA= PBC=PX=2+ PX=1= 7 所以,大事 A 发生的概率为 6 717本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础
21、学问考查用空间向量解决立体几何问题的方法考查空间想象才能、运算求解才能和推理论证才能总分值13 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_依题意,可以建立以D 为原点,分别以DA , DC , DG 的方向为 x 轴, y 轴, z 轴的正方向的空间直角坐标系如图,可得D0, 0,0, A2, 0, 0, B1, 2, 0, C0, 2,0, E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2, 0, 2, F0, 1, 2, G 0, 0, 2, M0, 32, 1, N1, 0, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明：依题意DC =0, 2,0, DE = 2,
22、 0,2设 n0=x,y, z为平面 CDE 的法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量, 就n0DC0,2 y0 ,即不妨令 z= 1,可得 n=1,0,1又=1,3 ,1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n0DE0,2x2z0 ,0MN2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可得 MNn00 ,又由于直线 MN平面 CDE ,所以 MN平面 CDE 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依题意,可得BC =1, 0, 0, BE1,2 ,2 , CF =0,1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 n=x,y,z为平面
23、 BCE 的法向量,就nBCnBE0,x0, 即 x0,2 y2 z0, 不妨令 z=1 ,可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n=0, 1, 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 m= x, y, z为平面 BCF 的法向量,就mBC0, 即mBF0,x0,y2 z0, 不妨令 z=1,可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m=0, 2, 1因此有 cos=mn3 10 ,于是 sin=10 | m | n |1010所以,二面角 EBCF 的正弦值为10 10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设线段 DP 的长为 hh 0,2
24、,就点 P 的坐标为0,0,h,可得 BP 1,2,h 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易知, DC =0,2, 0为平面 ADGE 的一个法向量,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosBPDCBPDC2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_BP DCh 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意,可得2h25=sin60 =32,解得 h=33 0, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以线段 DP 的长为3 .318本小题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的通项公式及前n 项和公式等基础学问 .考查等差数列求和
25、的基本方法和运算求解才能.总分值 13 分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_I解：设等比数列 a 的公比为 q.由 a1,aa2, 可得 q 2q20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2n 1n132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 q0 ,可得 q2 ,故 an.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设等差数列 bn 的公差为 d,由 a4b3b5 ,可得b13d4. 由 a5b42b6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n可得 3b113d16,从而 b11,d1, 故 bnn.可编辑资料 - - - 欢迎下
26、载精品_精品资料_所以数列 an 的通项公式为 an2,数列 bn的通项公式为bnn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II i由 I,有 Sn1 2n122n1 ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn212 n nT2 k12 knn2n 1n2 .k 1k 112ii 证明：由于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Tk +b k+ 2bk2 k 1k2 k2 kk2 k 12k 22k 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1k2k1k2k1k2k2k1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nTbb232224232n
27、22n 12n 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,kk 2k2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1 k1k23243n2n1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_219本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础学问 考查用代数方法争论圆锥曲线的性质考查运算求解才能,以及用方程思想解决问题的才能总分值14 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设椭圆的焦距为2c,由已知知ca25 ,又由 a2=b2+c2,可得 2a=3b由已知可得,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_FBa , AB2b,由FB
28、AB62 ,可得 ab=6,从而 a=3, b=2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,椭圆的方程为xy12294可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设点 P 的坐标为 x1, y1,点 Q 的坐标为 x2, y2由已知有y1y20 ,故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PQ sinAOQy1y2 又由于 AQy2,而 OAB= AQ2 y 由可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AQ52 sinPQ4AOQ,可得 5y1=9y2sinOAB,故24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ykx ,6k可编辑资料 - - - 欢迎
29、下载精品_精品资料_22由方程组xy消去 x,可得 y1 1,9k 2易知直线 AB 的方程为 x+y2=0 ,由方程4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_94ykx ,组xy20 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_消去 x,可得 y 22k由 5y1=9y2,可得k15k+1= 39k 24 ,两边平方,整理得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_256k50k110 ,解得 k12 ,或 k1128 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以, k 的值为 1 或 11 22820本小题主要考查导数的运算、导数的几何意义、 运用导数争论指数函
30、数与对数函数的性质等基础知识和方法 .考查函数与方程思想、化归思想.考查抽象概括才能、综合分析问题和解决问题的才能.总分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值 14 分.I解：由已知,hxaxx ln a ,有h xa x ln aln a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 h x0 ,解得 x=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 a1 ,可知当 x 变化时,h x , hx的变化情形如下表：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x,000,h x0+可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_h x微小值可编辑资料 - - -
31、 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以函数h x的单调递减区间,0 ,单调递增区间为 0, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_II 证明： 由f xax ln a ,可得曲线yf x 在点 x , f x 处的切线斜率为a x1 ln a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 g x1x ln a,可得曲线yg x 在点x2 , gx211 处的切线斜率为1.x2 ln a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于这两
32、条切线平行,故有a x1ln a12,即x2 ln ax ax1 lna21 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边取以 a 为底的对数,得logxx2logln a0 ,所以x g x 2ln ln a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a212121ln a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_III 证明： 曲线y f x 在点 x , a x1 处的切线 l 1：ya x1ax1 ln axx1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_曲线 yg x 在点 x,logx 处的切线 l 2： ylogx1 xx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_