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1、2 0 1 8年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试数学（理）（全国 II 卷）一选择题（共12 小题，每小题5 分，共60 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）12i434334341（）（A）i（B）i（C）i（D）i12i555555552已知集合A x,y|x2 y2 3,xZ,yZ，则A中元素的个数为（）（A）9（B）8（C）5（D）4exex3函数fx的图像大致为（）2x4已知向量a,b满足|a|1，ab 1，则a 2ab（）（A）4（B）3（C）2（D）0 x2y25双曲线221a 0,b 0的离心率为3，则其渐近线方程为（）ab（A）y 2
2、x（B）y 3x（C）y 23x（D）y x226在ABC中，cosC5，BC 1，AC 5，则AB（）25（A）4 2（B）30（C）29（D）2 57为计算S 111123411，设计了下面的程序框图，99100则在空白框中应填入（）（A）i i1（B）i i2（C）i i3（D）i i48我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果。哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如30 723。在不超过1130 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是（）（A）（B）121411（C）（D）15189 在长方体ABCD A1B1C1D1中，A
3、B BC 1，AA13，则异面直线AD1与DB11552所成角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）565210若fxcosxsinx在a,a是减函数，则a的最大值是（）（A）3（B）（C）（D）44211已知fx是定义域为,的奇函数，满足f1x f1 x。若f1 2，则f1 f2 f3 f50（）（A）50（B）0（C）2（D）50 x2y212已知F1,F2是椭圆C：221a b 0的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在ab过A且斜率为（A）30的直线上，PF1F2为等腰三角形，F1F2P 120，则C的离心率为（）62111（B）（C）（D）3234二填空题（共 4 小题，每小题 5 分，
4、共 20 分）13曲线y 2lnx1在点0,0处的切线方程为_。x2y 5 014若x,y满足约束条件x2y 3 0，则z x y的最大值为_。x5 015已知sincos1，cossin 0，则sin。16已知圆锥的顶点为S，母线SA,SB所成角的余弦值为7，SA与圆锥底面所8成角为450，若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_。三解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：60 分。17（本小题12 分）记Sn为等差数列an的前n项和，已知a1 7，S3
5、15。求an的通项公式；求Sn，并求Sn的最小值。18（本小题12 分）下图是某地区 2000 年至 2016 年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图。为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了 与时间变量 的两个线性回归模型。根据 2000 年至2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17）建立模型：y 30.413.5t；根,7）建立模型：据 2010 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,y 9917.5t。分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由。19（本小题 12 分）
6、设抛物线C：y 4x的焦点为F，过F且斜率为kk 0的直线l与2C交于A,B两点，|AB|8。求l的方程；求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程。20（本小题 12 分）如图，在三棱锥P ABC中，AB BC 2 2，PA PB PC AC 4，O为AC的中点。证明：PO 平面ABC；若点M在棱BC上，且二面角M PAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值。021（本小题 12 分）已知函数fxexax2。若a 1，证明：当x 0时，fx1；若fx在0,+只有一个零点，求a。（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22选修44：坐标系与
7、参数方程（本小题10分）在直角坐标系xOy中，曲线x 2cosx 1tcos（为参数），直线l的参数方程为（t为C的参数方程为y 4siny 2tsin参数）。求C和l的直角坐标方程；若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为1,2，求l的斜率。23选修 45：不等式选讲（本小题 10 分）设函数fx5|xa|x2|。当a 1时，求不等式fx 0的解集；若fx1，求a的取值范围。2018 年普通高等学校招生全国统一考试（II卷）解答一选择题 DABBAABCCACD1二填空题 13y 2x；149；15；1640 2217解：设an的公差为d，由题意得3a13d 15。由a1 7得d 2。所以an的
8、通项公式为an 2n9；由得Sn n28n n416，所以当n 4时，Sn取得最小值，最小值为216。18解：利用模型，该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y 30.413.519 226.1（亿元）。利用模型，该地区2018 年的环境基础设施投资额的预测值为y 9917.59 256.5（亿元）；利用模型得到的预测值更可靠。理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线y 30.413.5t上下，这说明利用2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势。2010 年相对 2009 年的环境
9、基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型y 9917.5t可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠；（ii）从计算结果看，相对于2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型得到的预测值亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠。（以上给出了 2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分）19解：由题意得F1,
10、0，l：y kx1k 0。设Ax1,y1,Bx2,y2，由2k24y kx12222得k x 2k 4xk 0，故x1 x2。而22ky 4x4k248|AB|x1 x22，解得k 1（舍）或k 1，因此l：x y 1 0；k2由得AB的中点坐标为3,2，所以AB的中垂线方程为y2 x3，即x0 y05 0 x03设所求圆的圆心坐标为x0,y0，则，解得x y 5 0。|x0 y01|x 14y0 202x0112222或。因此所求圆的方程为x3y216或x11y6144。y0 620 解：因PA PB PC AC 4，故OP AC，且OP 2 3。O为AC的中点，连OB，因AB BC 2故A
11、BC为等腰直角三角形，且OB AC，OB AC 2。AC，22故OP2OB2 PB2，因此PO OB。又OP AC，故PO 平面ABC；如图，以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz。由题知O0,0,0，B2,0,0，A0,2,0，C0,2,0，P 0,0,23，AP 0,2,2 3。取平面PAC的法向量OB 2,0,0，设Ma,2 a,00 a 2，则AM a,4 a,0。设平面PAM的法向APn 02y 2 3z 0量为n x,y,z，则，即，可取n ax 4a y 0ABn 0以3a4,3a,a，所2 3a4OBncos OB,n|OB|n|2 3a423a2
12、a2。由题得433|a4|，解 得a 4（舍）或a，所 以|cos OB,n|222323a43a a8 3 4 343。又PC 0,2,2 3，故cos PC,n，所以PC与平面PAMn,3433所成角的正弦值为3 4。21 解：当a 1时，fx1x21ex1 0。设函数gxx21ex1，则gx x22x1 ex x1ex。当x 1时gx0，故gx在0,单调递减。而g00，故当x 0时，gx0，即fx1；设函数hx1ax e，fx在0,只有一个零点当且仅当hx在0,只有2x2一个零点。（i）当a 0时，hx0，hx无零点；（ii）当a 0时，hx axx2ex。当x0,2时hx0，当x2,时
13、hx0。故hx在0,2单减，在2,单增，2从而h214ae是hx在0,的最小值。若h2 0，即a e4，hx在0,2没有零点；若h2 0，即a e4，hx在0,只有一个零点；若h20，即2a e24，因h01，故hx在0,2有一个零点。由知，当x 0时ex x2，所以h4a116a3e2a2116a32a411 0。故hx在2,4a有一个零点，因此hx在a4。0,有两个零点。综上，fx在0,只有一个零点时，a e2x2y21。当cos 0时，l的直角坐标22解：曲线C的直角坐标方程为416方程为y xtan2tan，当cos 0时，l的直角坐标方程为x 1；将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得13cost2242cossint 8 0。因为曲线C截直线l所得线段的中点1,2在C内，所以有两个解，设为t1,t2，则t1t2 0。又由得t1t242cossin，故2cossin 0，于是直线l的斜率k tan 2。213cos2x4x 123解：当a 1时fx21 x 2，故不等式fx 0的解集为62xx 2x|2 x 3；fx1等价于|xa|x2|4，而|xa|x2|a+2|，且当x 2时等号成立。故fx1等价于|a+2|4。由|a+2|4可得a 6或a 2，故a的取值范围是,6 2,。