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1、2016年高考真题理科数学(全国I 卷)理科数学考试时间：分钟题型单选题填空题简答题总分得分C.9 8单蝴(本大题共1 2小题,每小题_分,之1.设 集 合/=-4工+3 b L0 c 1,则A.ac bcB.abc c&logflcD.logflcO,陷 g,x =为/(x)的零点，x=?为J=/(x)图像的对称轴，且F(x)在单调，则0的最大值为A.11B.9C.7D.5填空题(本大题共4 小题，每小题_ 分，共分。)13.设向量孑3 1),存(1,2),且|才代甘+时,则nt.14.(2x+的展开式中，然 I系数是.(用数字填写答案)15.设等比数列,满足耐手10,豺麻5,则四 苗 勺
2、最 大 值 为.16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料 1.5kg,乙材料1kg,用 5 个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用 3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为一元.简答题(综合题)(本大题共6小题，每小题_ 分，共一分。)A lffC的内角 4,8,曲对边分别为 a,6,c,已知2cosc(acos5+6cos/)=c.17.求 G18.若c=,A/出。的 面
3、积 为 求 口4 8。的周长.2如图，在 以 4 3 c 瑁为顶点的五面体中，面 如为正方形，愿但 乙 。=90,且二面角 M陶二面角自矽都是 60.51 9 .证明：平面位1平面做？2 0 .求二面角班渊余弦值.某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件，每 个2 0 0元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个5 0 0元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 10 0台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：(tanllL以 这1 0 0台机器更换的易损零件数的频率代替I台机器
4、更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.2 1.求X的分布列；2 2 .若要求P（X /R 0.5,确定的最小值；2 3 .以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在 =1 9与=20之中选其一,应选用哪个？设圆，+/+2%-1 5=0的圆心为4直线/过点6（1,0）且与斓1不重合，/交圆/于C,糜 点,过 例 乍4曲 平 行 线 交4 9于 点E.2 4 .证 明|胡|+|砂|为定值，并写出点渤轨迹方程；25.设点儆轨迹为曲线C直线1交付4 M两点,过殂与/垂直的直线与圆校于RQ两点，学.科网求四边形I例所积的取值范围
5、.已知函数/（工）=（工一2），+（工一1）2有两个零点.62 6 .求a的取值范围；2 7.设 x是/（X）的两个零点,证明：x,+x2 2.请考生在以下3题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号【选 修4-1：几何证明选讲】（请 回 答2 8、29题）如图，礴等腰三角形,/力母12 0 .以 妫圆心,工为半径作圆.2【选 修4-4：坐标系与参数方程】（请 回 答3 0、31题）x=acosf在直角坐标系K）冲，曲线儆参数方程为.（t为参数，会y=l+asm/0）.在以坐标原点为极点，阵由正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。与COS。【选修4 5：不等式选讲】（请回答3
6、 2、3 3题）己知函数/（x）=|x+l|-|2x-3|.2 8 .证明：直 线/与 口 粥 切；2 9.点C庶。且44CZH点共圆，证明：码 63 0 .说明儡哪一种曲线,并将硝勺方程化为极坐标方程；3 1.直线曲勺极坐标方程为，=%,其中 满足ta n 4=2,若 曲 线 片 的 公 共 点 都 在 比，求a3 2 .在答题卡第（24）题图中画出y=/（x）的图像；8答案单选题1.D 2.B 3.C 4.B 5.A 6.A 7.D 8.C 9.C 10.B 11.A12.B填空题13.-214.1015.6 416.216 0 0 0简答题17.C，318.5+不19.见解析20.2屈1
7、921.16。17。18。19。20。2 W22。0.0 4。0.16。0.24 P0.24,0.2A0.0 8A0.0 4，922.1923.72=1924.2 2上+乙=1（歹#0）4 325.12,8 两26.（0收）；27.见证明。28.见解析29.见解析3 0.圆，/72 2psm04-l a2=03 1.13 2.10(e 加(1,3)11(5,+8)解析单选题1.试题分析：因为2 =司2-4%+3 0 =%|1%3 ,所以2,=x l x 之 =,x|g x,故选 D。2.因为 x(l+i)=l t y i,所以 x +x i=14%x=l1 1y =x =l,|x+y i|=|
8、l+i卜 亚，故选 B.3.9 q+3 6 4=27 ,试题分析：由已知，(n,。，所以，=一1,=1,。1 0 0 =%+9%/=1+9 9 =9 8,故a1+9a=8选 C.4.试题分析：如图所示，画出时间轴：7:30 7:40 7:50 8:00 8:10 8:20 8:30ACDB11小明到达的时间会随机落在途中线段4 3中，而当他的到达时间线段ZC或0 5时，才能办证他等车的时间不超过io分钟，根据几何概型，所求概率故选民40 25.2 2试题分析：-.y =1表示双曲线，则 5j2+X3m2-)0n r+n 3秋一普*-m2 n 3 m2，由双曲线性质知：c2=(m2+w)+(3m
9、2-w)=4zw2,其中。是半焦距 焦距2c=22网=4,解 得 网=1,T ”3,故选A.6.试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的!，设球的半径为R,则V=Z x3乃R3=也，解 得R=2,所以8 8 3 37 7 I它的表面积是力的球面面积和三个扇形面积之和S=-x4%x22+3x-%x2?=17万故选A.8 8 47.试题分析：函 数/(工)=2_0在 -2,2上是偶函数，其图像关于y轴对称，因为/=8 e2,08 e 2？：，选项A 错误，3x2；2x3?，选项 B 错误，3 10 8 221083 21选项 C 正确，Iog3；log2；选项D 错误，故选 C.9
10、.12试题分析：当x =0,y =1,=1时，x =O+g y =1x 1=1，不满足必+旷23 3 6；=2,x =0 +=；,y =2x l =2,不满足 之+y？3 6 ；1 3 1 3 3 =3,x =万+二=彳,夕=2x 3 =6,满足，+223 6；输 出x =,y =6，则输出的、,丁的值满足夕=4%，故选C.10.试题解析：如图，设抛物线方程为V=2p x,笈交X轴于。，尸点，则4C=2A/5,l 4 4即4点纵坐标为2亚，则/点 横 坐 标 为？，即OC=W,由勾股定理知P PDF2+OF2=DO1=r2,AC2+OC2=AO2=产,即(若p +()2=(2)2+(-)2-2
11、p解 得0=4,即。的焦点到准线的距离为4,故选B.试题分析：如图，设平面。耳 n平 面NBCD=M,平面。耳 n平面/5 4 4 =，因为a/平面。线，所 以m加则山，所成 的 角 等 于 加 所 成 的 角，延长A D,过A作E 4C,连 接CE，4 A，则C E为ml同理片片为力，而M/C瓦弱片4兄 则 加 ,，所 成 的 角 即 为 所 成 的 角，即为6 0。，故血所成角的正弦值为 立，选A.213Fi12.rrIT试题分析：因为x =2为/(%)的零点，X =2为/(%)图像的对称轴，所以4 4万 ,万、T 5 冗 4 i+l 4 A +1 2作 .一一、，()=I 后T,即一=T
12、=,所以 =4左+1(左t N )，又因为4-4 4 2 4-4 。9.故 选B.填空题13.所以.一2=2.4 5=生，即&K 1 2，由此36 1 8 1 2 2 2a)一的最大值为试题分析：由|+回2=)a+w，得&上4 所 以m x l+l x 2 =0,解 得m =-2.14.试题分析：(2 x +折 的 展开式通项为q Q x)5-y(4 y =2，侬1 =0,1,2,5)令5 =3得，所以V的系数是2 C；=1 0.15.试题分析：设等比数列的公比为夕，由 4+4=1 0 4(1+/)=1 0得，&”=5q q(i+q 2)=5%=8解 得,1 .所I 夕=一21 n(n 1)1
13、?7以/q=41,+2 Kz)=8 x(3 r=2于是当=3或4时，4勺/取得最大值2 6 =6 4.16.14试题分析：设生产产品/、产 品 5 分别为X、，件,利润之和为z元,那么15x+0.5y150,x+Q3y90,5x+3y0,y0.目标函数 2=2100 x+900y.二元一次不等式组等价于3x+y300,10 x+3伊 900,5x+3y0,y0.作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图），即可行域.y7 Z 7将 z=2100 x+900y变形，得y =一一x+，平行直线y =一一x,当直线3 900 3V 一 7 z经 过 点 时，z 取得最大值.y X H-M3 900解方
14、程组|l0 x+3 y =900,得(5x+3y=600的坐标（60,100）.所以当 x=60,y =100 时，2皿=2100 x60+900 x100=21600（）.故生产产品4、产品的利润之和的最大值为216000元.简答题17.15试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题,可解决本题，解析如下：2cosc(acos B+bcos A)=c由正弦定理得：2cosC(sm4 cosB+smB cosy4)=sinC2 cosc sin(4+为=sin C,:+C=4、B、C e(O,兀)/.sin(4+8)=sinC0/.2cosc=1,cosC=-2,/Ce(O,7c)
15、c 7t,.c=-318.试题分析：本题属于正余弦定理的综合应用问题，属于简单题,可解决本题，解析如下：由余弦定理得：c2=a2+b2-2ab cosC7=a2+62 2ab 2(a+b?-3ab=7Q1 ._ 73,35S absinC ab-2 4 2ab=6：.(a+6)2-18=7a b-5：.ZUBC周长为a+6+c=5+V7 19.只要掌握相关的知识，即只要掌握相关的知识，即16试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：由已知可得AF1 DF,AF_LFE,所 以AF_L平面EFDC.又AF u平 面ABEF,故平面A
16、BEF，平面EFDC.20.试题分析：本题属于立体几何的综合应用问题，属于中档题，只要掌握相关立体几何的知识，即可解决本题，解析如下：过D作DGJ_EF,垂足为G,由(I)知DG_L平 面ABEF.以G为坐标原点，而 的 方向为x轴正方向，|而|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系G-平.由(I)知 NDFE为二面角 D-A F-E的平面角，故 NDFE=60，则|DF|=2,|DG|=3,可得 A(L4,O),B(-3,4,0),E(-3,0,0),D(0,0 j3).由已知，AB/EF,所 以AB平面EFDC.又平面 ABCDPI平面 EFDC=D C,故 AB/CD,CD/EF.由B
17、E AF,可 得BE 平 面EFDC,所 以NCEF为二面角C BEF的平面角，ZCEF=6 0.从而可得 C(-2,0,).所 以 反=小0,6),1 5 =(0,4,0),衣=(3,工 囱)，A B=(-4,0,0).设 览 侈 必z)是平面 的法向量，则n-EC=0,即 x+j5z=-0,n-EB=0 4y=0所以可取n=(3,0,-).设 碗是平面ABCD的法向量,则m-AC=0ni-AB=0同理可 取 而=小3,4).则cos 兄同n-m _ 219故二面角E B C A的余弦值为_之 叵.1 9试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查，有一定综合性但难度不是太
18、大大，求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：每台机器更换的易损零件数为8,9,10,11记事件4为第一台机器3 年内换掉i +7个零件(i =L Z 3,4)记事件比为第二台机器3 年内换掉i+7个零件（i =l,2,3,4）由题知尸(4)=P(4)=P(4)=尸(4)=尸(鸟)=P(4)=0 2,P(A2)=P(B2)=OA设 2 台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X,则X的可能的取值为16,17,18,19,20,21,22产（X =16）=尸（4 ）p（4 ）=02 x 0.2=0.04P（X =17）=P（4）P（52）+P（4）P（弱）=02
19、x0-4+a4x02=016P（X =18）=P（4 ）尸（鸟）+P（4 ）尸（名）+尸（4 ）尸（4 ）=02 X 0.2+0-2 x 02+0.4 x 0.4=0.24P（X =19）=P（4）P（5 j+P（4）P（居）+尸（4）尸（居）+P（4）P（4）=02X02+02X02+04X0240.2x0.4=0.24尸（X =2O）=P（4）尸（区）+尸（4）尸（居）+尸（4）尸（B2）=-4X0.2+0.2x04+0-2x02=0-2尸（X=21）=尸（4）尸（纥）+尸（4 ）尸（鸟）二0一2 x 02+02 x0.2=0-08P（x=22）=尸（4）2（纥）=0.2 x 0.2=0.
20、04所以加分布列为181 6。1 7。1 8。1 9。2 0。2 1。2 2。P e0.0 4。0.1 6。0.24 P0.24 0.20.080.04 2 2.试题分析：本题把随机变量的分布列与统计及函数结合在一起进行考查，有一定综合性但难度不是太大大，求解关键是读懂题意，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：由(I )知 P(JT 18)=0.44,尸(X H/C|，EB H A C,故 NEBD=CD=ZA D C,所以|功 月 切|,故|以|+|后8|=|以|+|四 目 4)|.又 圆 4 的标准方程为(x+iy +，=i6,从而|4 0|=4,所以I瓦4|+|磔 1
21、=4.由题设得幺(一 1,0),8(1,0),|4 5|=2,由椭圆定义可得点后的轨迹方程为：炉炉(歹#o)-1 -14 32 5.19试题分析：本题属于圆锥曲线的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：当/与 x轴不垂直时，设/的方程为y=fc(x-l)(iO),(演,乂)，N g,%).j =*(x-l)由 2 得(4左 2+3)x2 8/X+44 2-12=0.土 +乙=114 3则 X u +x2=4二-124k2+3,演-4无 之+3所以|MN|=71+左2|玉巧 卜1岁+；).12过 点8(1,0)且与/垂直的直线加：y=-(x-l),4到 廨的 距 离 为 丁 一，所以必
22、工.故 四 边 形 的 面 积可得当/与x轴 不 垂 直 时,四 边 形 面 积 的 取 值 范 围 为 口2,8百).当/与x轴垂直时，其方程为x=L|MN|=3,|P 0|=8,四边形MPAQ的面积为12.综 上,四 边 形 面 积 的 取 值 范 围 为 口2,8陋).26.试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易得分，解析如下：(I)/(X)=(x-lx+2a(x-1)=(x-lXex+2a).(i)设 a=0,则/(x)=(x-2A、，(x)只有一个零点.(i i)设 a 0,则当 xe(-n,l)时，/x)时，/(x)0.所以/G M D上单调递减，在Q，”)上单调
23、递增.又/(1)=，(2)=。，取 6满足 6 0且6|(6-2)+a(&-1)2=a(62-j 6)0,故/(x)存在两个零点.(i i i)设 a 0,由/)=0 得 x=l或 x=hi(-2a).若。之一|，则故当xe(l,+。)时，/(x)0,因此/(x)在(L”)上单调递增 又 当 时，/3)0,所 以/3)不存在两个零点.若 a 1,故当 x e(1,也(一2a)时，f x)0.因此在2a)单调递减,在(ln(一 左),例)单调递增.又当x W1时，/(x)0,所 以/)不存在两个零点.综上，a的取值范围为(0,+8).27.试题分析：本题属于导数的综合应用问题，属于拔高题，不容易
24、得分，解析如下：由已知得：/(玉)=/(j)=0,不难发现菁工1,巧#1,故可整理得：_“=(三 二2 Q =G-2)e设g(x)=_-5-,则 g()=g缶)(XT)那么 当 x l时，gx)l时，g(x)0(xT)g(x)单调递增.设m 0,构造代数式：z,、/w 1 1+m 1 1+/K (m-g(l+m)-g(l-/n)=e1*1-z=5-e-e+lnr m2 m2)tn 1设 入伽)=-e2m+1,m0m+l21M 2贝故”(m)单调递增，有h(m)h(O)=O.国 她 又 她壬好21由8(玉)二2仁)可 知W、马不可能在g(x)的同一个单调区间上,不妨设工 巧,则必有10,则有 g
25、l+(l-x1)g l-(l-)o g(2-)g(x1)=g(x2)而2-玉 1,%1,g(x)在(1,例)上单调递增，因此：g(2-x1A g(j)=2%9整理得：xt+x22.2 8.试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如下：设E是 的 中 点，连 结OE,因 为。4=。8,乙4。8 =120,所以。：_1期，Z4OE=60.在R i M O E ,O E =-A O,即O到 直 线4 5的距离等于圆。的半 径,所 以 直 线 与。2O相切.2 9.试题分析：本题属于圆的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关圆的知识，即可解决本题，解析如
26、下：因为3 =2 O D，所以。不是4 8,C,。四点所在圆的圆心，设。，是瓦C,O四点所在圆的圆心，作直线OOI由已知得O在线段4 8的垂直平分线上，又O在 线 段2 5的垂直平分线上，所以(X V 1 A B.同理可证，O O L C D.所以4 B/C D.3 0.22试题分析：本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：fx=a，cos/.(，,均为参数)/.X2+(y-l)2=a2G为以(O,1)为圆心，。为半 径 的 圆.方 程 为x2+y2-2 y+l-a2-0 x2+y2=p1,y=/?sind-2 2。+1-储=0即为G的极
27、坐标方程31.试题分析：本题属于坐标系与参数方程的综合应用问题，属于简单题，只要掌握相关的知识，即可解决本题，解析如下：G：夕=4cos。，两边同乘 P 得 p2=4/?cos0/?2=x2+y2,pcos0=x.-.JC2+/=4X,即(X-2)2+/=4 c3：化为普通方程为y=2x,由题意：G和G的公共方程所在直线即为C3一得：4x 2y+l a2=0,即为 C31-a2=0,*-a=l32.试题分析：本题属于不等式的选讲内容，不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等，解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集
28、合形式，属于简单题，只要掌握相关不等式的知识，即可解决本题，解析如下：如图所示：23试题分析：本题属于不等式的选讲内容，不等式证明选讲多以绝对值不等式为载体命制试题，主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等，解决此类问题通常转换为分段函数求解，注意不等式的解集一定要写出集合形式，属于简单题，只要掌握相关不等式的知识，即可解决本题，解析如下：x-4,x 4一l33x-2,-l x l,解得 x5或 xv3W-l3 1当 TvxV，|3x 2|L 解得 x l或3或 l x l,解得 x5 或 xv33 或 x5二一 Wx v32综上，x v 1或1 vxv3或x5324A|/（x）|l,解集为,1 1 U（1，3）U（5,+oo）25