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1、理科数学 2017 年高三 2017 年全国丙卷理科数学理科数学考试时间： _ 分钟题型单选题填空题简答题总分得分单选题 （本大题共12 小题，每小题 _分，共 _ 分。）1已知集合A=，B=，则AB中元素的个数为( ) A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2设复数z满足 (1+i)z=2i ，则z=( ) A. B. C. D. 2 3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理
2、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - - 根据该折线图，下列结论错误的是( ) A. 月接待游客量逐月增加B. 年接待游客量逐年增加C. 各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月D. 各年 1月至 6 月的月接待游客量相对于7 月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳4的展开式中的系数为 ( ) A. B. C. 40 D. 80 5已知双曲线C： (a0,b0) 的一条渐近线方程为, 且与椭圆有公共焦点，则C的方程为 ( ) A. B. C. D. 6设函数，则下列结论错误的是( ) A. 的
3、一个周期为B. 的图像关于直线对称C. 的一个零点为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - - D. 在(,)单调递减7执行下面的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ( ) A. B. C. D. 9等差数列的首项为 1，公差不为0若a2，a3，a
4、6成等比数列，则前 6 项的和为( ) A. B. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - - C. 3 D. 8 10已知椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，则C的离心率为 ( ) A. B. C. D. 11已知函数有唯一零点，则a=( ) A. B. C. D. 1 12在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上 . 若，则的
5、最大值为 ( ) A. 3 B. 2C. D. 2 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - - 填空题 （本大题共4 小题，每小题 _分，共 _ 分。）13若，满足约束条件，则的最小值为 _. 14设等比数列满足a1 + a2 = 1, a1a3 = 3，则a4 = _. 15设函数，则满足的x的取值范围是_. 16a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，
6、斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：当直线AB与a成 60角时，AB与b成 30角；当直线AB与a成 60角时，AB与b成 60角；直线AB与a所成角的最小值为45；直线AB与a所成角的最大值为60. 其中正确的是 _. （填写所有正确结论的编号）简答题（综合题）（本大题共7 小题，每小题 _ 分，共 _ 分。）17（ 12 分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c. 已知，a=2,b=2. （1）求c；（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求ABD的面积 . 18（ 12 分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以
7、每瓶2元的价格当天全部处理完. 根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关. 如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间 20 ，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - - 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区
8、间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元） . 当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？19（ 12 分）如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）证明：平面ACD平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值 . 20（ 12 分）已知抛物线C：y2=2x，过点（ 2,0 ）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆. （1）证明：坐标原点O在圆
9、M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程 . 21（ 12 分）已知函数. （1）若，求a的值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，求m的最小值 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - - 22选考题：共10 分。请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 44：坐标系与参数方程 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为（t为参数），直线l2的
10、参数方程为. 设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C. （1）写出C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，M为l3与C的交点，求M的极径 . 23选考题：共10 分。请考生在第22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。 选修 45：不等式选讲 （10 分）已知函数f（x） =x+1x2. （1）求不等式f（x） 1 的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范围 . 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - -
11、 - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - - 答案单选题1. B 2. C 3. A 4. C 5. B 6. D 7. D 8. B 9. A 10. A 11. C 12. A 填空题13. 14. 15. 16. . 简答题17. (1) (2) 18. (1) 分布列略； (2) n=300时， Y的数学期望达到最大值，最大值为520 元. 19. (1) 证明略； (2) . 20. (1) 证明略； (2) 见解析21. (1)a=1； (2) 3 22. （1）；（ 2）名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - -
12、- -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - - 23. （1）；（ 2）解析单选题1. 由题意可得：圆与直线相交于两点，则中有 2 个元素 . 故选 B. 2. 由题意可得，由复数求模的法则可得，则. 故选C. 3. 由折线图，每年7 月到 8 月折线图呈下降趋势，月接待游客量减少，选项A说法错误 . 故选A. 4. 由展开式的通项公式可得：当时，展开式的系数为，当时，展开式的系数为，则的系数为804040，故选 C. 5. 双曲线 C： (a 0,b 0)的渐近线方程为，椭圆中：，椭圆
13、，双曲线的焦点为，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - - 据此可得双曲线中的方程组：，解得：，则双曲线的方程为 . 6. 当时，函数在该区间内不单调. 故选 D. 7. 阅读程序框图，程序运行如下：首先初始化数值：，然后进入循环体：此时应满足，执行循环语句：；此时应满足，执行循环语句：；此时满足，可以跳出循环，则输入的正整数N的最小值为2. 故选 D. 8. 绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：，结
14、合勾股定理，底面半径，由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是，故选 B. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - - 9. 设等差数列的公差为，且，又，所以，故选 A. 10. 以线段为直径的圆是，直线与圆相切，所以圆心到直线的距离，整理为，即，即，故选 A. 11. 函数的零点满足，设，则，当时，当时，函数单调递减，当时，函数单调递增，当时，函数取得最小值，设，当时，函数取得最小值，若，函数与函数没有交点
15、，当，时，此时函数与函数有一个交点，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - - 即，解得，故选 C. 12. 如图，建立平面直角坐标系. 设, 易得圆的半径，即圆C的方程是，若满足，则，所以，设，即，点在圆上，所以圆心到直线的距离，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故选 A. 填空题13. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选
16、学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - - 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示. 目标函数即，易知直线在轴上的截距最大时，目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点处取得最小值，为. 14. 由题意可得：，解得：，则15. 由题意：，函数在区间三段区间内均单调递增，且，可知x的取值范围是： . 16. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 1
17、9 页 - - - - - - - - - 由题意， AB是以 AC为轴， BC为底面半径的圆锥的母线，由，即 AC垂直底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆C 于 D，如图，连结DE ，则，所以，连接 AD ，等腰 ABD中，当直线AB与 a 成 60o时， ABD60o，故，又在 RtBDE中， BE 2，过点 B作 BF/DE，交圆 C于点 F，连接 AF，由圆的对称性可知BF DE ，所以 ABF为等边三角形，ABF 60o，即正确，错误，由最小角定理可知正确，很明显，可以满足平面ABC 直线 a，直线 AB与 a 成的最大角为90o，错误简答题17. （1）由已知得，所以 . 在 A
18、BC中，由余弦定理得，即 . 解得： ( 舍去 ) ， . （2）有题设可得故 ABD面积与 ACD面积的比值为又 ABC的面积为18. （1）由题意知，所有可能取值为200,300,500 ，由表格数据知名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - - ，. 因此的分布列为（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑. 当时，若最高气温不低于25，则；若最高气温位于区间，则；
19、若最高气温低于20，则；因此. 当时，若最高气温不低于20，则；若最高气温低于20，则；因此. 所以n=300 时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520 元. 19. （1）由题设可得，从而. 又是直角三角形，所以. 取AC的中点O，连接DO,BO, 则DOAC,DO=AO. 又由于是正三角形，故. 所以为二面角的平面角 . 在中，. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - - 又，所以，故. 所以平
20、面ACD平面ABC. （2）由题设及（1）知，两两垂直，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系. 则. 由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，即E为DB的中点，得. 故. 设是平面DAE的法向量，则即可取. 设是平面AEC的法向量，则同理可取. 则. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - - 所以二面角
21、D-AE-C的余弦值为. 20. （1）设由可得又=4 因此 OA的斜率与OB的斜率之积为所以 OA OB ，故坐标原点O在圆 M上. （2）由（ 1）可得. 故圆心的坐标为，圆的半径. 由于圆过点，因此，故，即，由（ 1）可得. 所以，解得或. 当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为. 当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为. 21. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 17 页，共 19 页 - - - - - -
22、 - - - （1）的定义域为. 若，因为，所以不满足题意；若，由知，当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增，故x=a是在的唯一最小值点. 由于，所以当且仅当a=1 时，. 故a=1. （2）由（ 1）知当时，. 令得. 从而. 故. 而，所以的最小值为. 22. （1）消去参数得的普通方程；消去参数m得l2的普通方程. 设, 由题设得，消去k得. 所以C的普通方程为. （2）C的极坐标方程为. 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 18 页，共 19 页 - - - - - - - - - 联立得. 故，从而. 代入得，所以交点M的极径为. 23. （1）当时，无解；当时，由得，解得当时，由解得. 所以的解集为. （2）由得，而且当时，. 故m的取值范围为名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 19 页，共 19 页 - - - - - - - - -