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1、1课时分层作业课时分层作业( (十八十八) ) 平面向量基本定理平面向量基本定理(建议用时：40 分钟)学业达标练一、选择题1若e e1，e e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是( )Ae e1e e2，e e2e e1 B2e e1e e2，e e1e e21 2C2e e23e e1,6e e14e e2De e1e e2，e e1e e2D D e e1e e2与e e1e e2不共线，可以作为平面向量的基底，另外三组向量都共线，不能作为基底2已知向量a a与b b的夹角为，则向量 2a a与3b b的夹角为( ) 3【导学号：84352214】A. B. 6
2、3C. D. 2 35 6C C 向量 2a a与3b b的夹角与向量a a与b b的夹角互补，其大小为 . 32 33如图 238，向量a ab b等于( )图 238A4e e12e e2B2e e14e e2Ce e13e e2D3e e1e e2C C 不妨令a a，b b，CACB则a ab b，CACBBA由平行四边形法则可知e e13e e2.BA24锐角三角形ABC中，关于向量夹角的说法正确的是( )【导学号：84352215】A.与的夹角是锐角ABBCB.与的夹角是锐角ACABC.与的夹角是钝角ACBCD.与的夹角是锐角ACCBB B 因为ABC是锐角三角形，所以A，B，C都
3、是锐角由两个向量夹角的定义知：与的夹角等于 180B，是钝角；与的夹角是A，是锐角；与的夹ABBCACABACBC角等于C，是锐角；与的夹角等于 180C，是钝角，所以选项 B 说法正确ACCB5在ABC中，点P是AB上一点，且，又t，则t的值为( )CP2 3CA1 3CBAPABA. B. 1 32 3C. D.1 25 3A A 因为t，所以t()，APABCPCACBCA(1t)t.CPCACB又且与不共线，CP2 3CA1 3CBCACB所以t .1 3二、填空题6如图 239，在平行四边形ABCD中，点O为AC的中点，点N为OB的中点，设a a，b b，若用a a，b b表示向量，
4、则_.ABADANAN图 2393a ab b 以a a，b b作为以A点为公共起点的一组基底，则3 41 4ABADANADDN ()AD3 4DBAD3 4ABADa ab b.1 4AD3 4AB3 41 47若向量a a4e e12e e2与b bke e1e e2共线，其中e e1，e e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为_.【导学号：84352216】2 向量a a与b b共线，存在实数，使得b ba a，即ke e1e e2(4e e12e e2)4e e12e e2.e e1，e e2是同一平面内两个不共线的向量，Error!k2.8设D，E分别是ABC的边AB，BC上
5、的点，ADAB，BEBC，若121 22 3DEAB(1，2为实数)，则12的值为_AC如图，由题意知，D为AB的中点，1 2，BE2 3BC所以DEDBBE1 2AB2 3BC ()，1 2AB2 3ACAB1 6AB2 3AC所以1 ，2 ，1 62 3所以12 .1 62 31 2三、解答题9如图 2310，平行四边形ABCD中，a a，b b，H，M分别是AD，DC的中点，ABADBFBC，以a a，b b为基底表示向量与. 1 3AMHF【导学号：84352217】4图 2310解 在平行四边形ABCD中，a a，b b，H，M分别是AD，DC的中点，ABADBFBC，1 3b ba
6、 a，AMADDMAD1 2DCAD1 2AB1 2a ab bb ba ab b.HFAFAHABBF1 2AD1 31 21 610如图 2311，在矩形OACB中，E和F分别是边AC和BC上的点，满足AC3AE，BC3BF，若，其中，R R，求，的值OCOEOF图 2311解 在矩形OACB中，OCOAOB又OCOEOF()()OAAEOBBF(OA13OB)(OB13OA)，3 3OA3 3OB所以1，1，3 33 3所以 .3 4冲 A 挑战练1如图 2312 所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中哪些向量的终点落在阴影区域内(不含边界)( )5图 23122；OAOB3 4OA
7、1 3OB；.1 2OA1 3OB3 4OA1 5OBA BCDA A 向量2的终点显然在阴影区域内；OAOB如图所示，OC1 3OB，OD3 4OA四边形OCMD为平行四边形，3 4OA1 3OBOM由三角形相似易得DEOBDM，1 41 3OB故M在阴影区域内同理分析中向量的终点不在阴影区域内2已知O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的OPOA(AB|AB|AC|AC|)( )A外心 B内心C重心D垂心B B 为上的单位向量，AB|AB|AB为上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线的方向又AC|AC|ACAB|AB|AC|AC
8、|AD0，)，6的方向与的方向相同(AB|AB|AC|AC|)AB|AB|AC|AC|而，OPOA(AB|AB|AC|AC|)点P在上移动，AD点P的轨迹一定通过ABC的内心3设e e1，e e2是平面内一组基底，且a ae e12e e2，b be e1e e2，则向量e e1e e2可以表示为另一组基底a a，b b的线性组合，即e e1e e2_. 【导学号：84352218】a ab b 因为a ae e12e e2，b be e1e e2，2 31 3显然a a与b b不共线，得a ab b3e e2，所以e e2代入得a ab b 3e e1e e2b bb ba ab b，a a
9、b b 31 32 3故有e e1e e2a ab ba ab ba ab b.1 32 31 31 32 31 34如图 2313，在平面内有三个向量， ， ，|1，与的夹角为OAOBOCOAOBOAOB120，与的夹角为 30，|5，设mn(m，nR R)，则OCOAOC3OCOAOBmn_.图 231315 作以OC为一条对角线的平行四边形OPCQ，如图，则COQOCP90，在 RtQOC中，2OQQC，|5.OC3则|5，|10，所以|10，又|1，所以10，5，OQQCOPOAOBOPOAOQOB所以105，所以mn10515.OCOPOQOAOB5设e e1，e e2是不共线的非零
10、向量，且a ae e12e e2，b be e13e e2.(1)证明：a a，b b可以作为一组基底；(2)以a a，b b为基底，求向量c c3e e1e e2的分解式；7(3)若 4e e13e e2a ab b，求，的值. 【导学号：84352219】解 (1)证明：若a a，b b共线，则存在R R，使a ab b，则e e12e e2(e e13e e2)由e e1，e e2不共线，得Error!Error!所以不存在，故a a与b b不共线，可以作为一组基底(2)设c cma anb b(m，nR R)，则 3e e1e e2m(e e12e e2)n(e e13e e2)(mn)e e1(2m3n)e e2，所以Error!Error!所以c c2a ab b.(3)由 4e e13e e2a ab b，得 4e e13e e2(e e12e e2)(e e13e e2)()e e1(23)e e2，所以Error!Error!故所求，的值分别为 3 和 1.