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1、.-习题三习题三1.将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X和Y的联合分布律.【解】【解】X和Y的联合分布律如表：0X123Y100C11321212C32111832223/831001111822282.盒子里装有 3 只黑球、2 只红球、2 只白球，在其中任取 4 只球，以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】【解】X和Y的联合分布律如表：0X123Y000C2213C2C43 C33C242735C73510C11223C2C2C4C 63C12C12C 12313C224473
2、5 C735 C7352P(0 黑,2 红,221220白)=C13C2C2C 63C23C435 C47735C22412C2/C7353.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为 F（x，y）=sinxsin y,0 x,0 y 20,其他2.求 二 维 随 机 变 量（X，Y）在 长 方 形 域0 x ,y 4 63内的概率.【解】【解】如图P0 X 4,6Y 3公式(3.2)-F(4,3)F(4,6)F(0,3)F(0,6)sin4sin3sin4sin6sin0 sin3sin0 sin624(3 1).题 3 图说明：也可先求出密度函数，再求概率。4.设随机变量（X，Y）的分布密度
3、f（x，y）=Ae e(3x4y),x 0,y 0,0,其他.求：（1）常数A；（2）随机变量（X，Y）的分布函数；（3）P0X1，0Y2.【解解】（1）由4y)f(x,y)dxdy 00Ae-(3xdxdy A121得A=12（2）由定义，有F(x,y)yxf(u,v)dudvyy(3u4v)0012edudv(1e3x)(1e4y)y 0,x 0,0,0,其他(3)P0 X 1,0Y 2 P0 X 1,0 Y 212x4y)80012e(3dxdy (1e3)(1e)0.9499.5.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=k(6 x y),0 x 2,2 y 4,0,其他.-可修编
4、.-（1）确定常数 k；（2）求PX1，Y3；（3）求PX1.5；（4）求PX+Y4.【解】【解】（1）由性质有 f(x,y)dxdy 2042k(6 x y)dydx 8k 1,题 6 图【解】【解】（1）因X在（0，0.2）上服从均匀分布，所以X 的密度函数为故R 18（2）PX 1,Y 313f(x,y)dydx而 1,0 x 0.2,fX(x)0.2其他.0,5e5y,y 0,fY(y)0,其他.所以13 k(6 x y)dydx 028813(3)PX 1.5x1.5f(x,y)dxdy如图af(x,y)dxdyD1f(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)15e5y25e5y,0
5、x 0.2且y 0,0.2其他.0,0,(2)dx01.542127(6 x y)dy.832(4)PX Y 4X Y4f(x,y)dxdy如图bf(x,y)dxdyD2P(Y X)0.2xyxf(x,y)dxdy如图25e5ydxdyDdx024x212(6 x y)dy.83dx25e dy(5e5x5)dx000-5y0.2=e-1 0.3679.7.设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为(1e e4x)(1e e2y),x 0,y 0,F（x，y）=其他.0,求（X，Y）的联合分布密度.题 5 图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为【
6、解解】2F(x,y)8e(4x2y),x 0,y 0,f(x,y)xy其他.0,8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为5e e5y,y 0,f（y）=0,其他.Y求：（1）X与Y的联合分布密度；（2）PYX.4.8y(2 x),0 x 1,0 y x,f（x，y）=0,其他.求边缘概率密度.-可修编.-（2）求边缘概率密度.【解】【解】fX(x)f(x,y)dyx【解】【解】（1）f(x,y)dxdy如图f(x,y)dxdy=4.8y(2 x)dy2.4x20(2 x),0 x 1,0,0,其他.fY(y)f(x,y)dx1y4.8y(2 x)dx2.4y(34y y2=),0 y 1,0,
7、0,其他.题 8 图题 9 图9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=e ey,0 x y,0,其他其他.求边缘概率密度.【解】【解】fX(x)f(x,y)dy=yxxe dye,x 0,0,0,其他.fY(y)f(x,y)dx=yyx0e dxye,y 0,0,0,其他.题 10 图10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=cx2y,x2 y 1,0,其他其他.（1）试确定常数c；-D=1dx124-1x2cx ydy 21c 1.得c 214.(2)fX(x)f(x,y)dy12122124x24x ydyx(1 x),1 x 1,0,80,其他.fY(y)f(
8、x,y)dxy21x2ydx75y42y2,0 y 1,0,0,其他.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=1,y x,0 x 1,0,其他其他.求条件概率密度fYX（yx），fXY（xy）.题 11 图fX(x)f(x,y)dyxx1dy 2x,0 x 1,0,其他.-可修编.11.【解】【解】.-13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为fY(y)11dx 1 y,1 y 0,y1f(x,y)dx 1dx 1 y,0 y 1,y其他.0,Y0.40.8X2580.150.300.350.050.120.03（1）求关于X和关于Y的边缘分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】【解】（
9、1）X和Y的边缘分布如下表所以 1f(x,y),|y|x 1,fY|X(y|x)2xfX(x)其他.0,11 y,y x 1,f(x,y)1fX|Y(x|y),y x 1,fY(y)1 y0,其他.12.袋中有五个 1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个中最小的为YX20.150.0550.300.120.4280.350.030.38PY=yi0.80.20.40.8PX(2)xi0.2因PX 2 PY 0.4 0.20.8 0.16 0.15 P(X 2,Y 0.4),故X与Y不独立.14.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0，1）上服从均匀分布，Y的概率密度为X，最大的为Y.（
10、1）求X与Y的联合概率分布；（2）X与Y是否相互独立？【解】【解】（1）X与Y的联合分布律如下表X1Y345PX xi率.【1 e ey/2,f（y）=20,Yy 0,其他.（1）求X和Y的联合概率密度；（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概1122336333C510 C510 C510100解解】（1）因21122333C510 C5101001,0 x 1,fX(x)0,其他;y12e,y 1,fY(y)20,其他.301112C51010PY yi110(2)310610故因1y/2ef(x,y)X,Y独立fX(x)fY(y)20,0 x 1,y 0,其他.P
11、X 1 PY 3故X与Y不独立6161 PX 1,Y 3,101010010-可修编.-题 14 图(2)方程a22XaY 0有实根的条件是 (2X)24Y 0故X2Y，从而方程有实根的概率为：PX2Yf(x,y)dxdyx2y1dxx21002ey/2dy12(1)(0)0.1445.15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布，其概率密度为f（x）=1000 x2,x 1000,0,其他.求Z=X/Y的概率密度.【解】【解】如图,Z的分布函数FZ(z)PZ z PXY z(1)当z0 时，FZ(z)0（2）当 0z0)的泊松分布，每位乘客在中
12、途下车的概率为p（0p1），且中途下车与否相互独立，以Y表示在中途下车的人数，求：（1）在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；（2）二维随机变量（X，Y）的PX x1 PX x1,Y y1 PX x1,Y y2 PX x1,Y y3,概率分布.111 PX x1,Y y3,即42481.从而PX x1,Y y312同理PY【解解】(1)mnmPY m|X n Cm,0 m n,n 0,1,2,np(1 p).(2)PX n,Y m PX n PY m|X n13 y2,PX x2,Y y228 C p(1 p)mnmnm又PY y 1jj13en,n m n,n 0,1,2,n!.
13、,故24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X111PY y31.6233.同理PX x24从而2 10.30.7，而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为G(u)PX Y u 0.3PX Y u|X 10.7PX 0.3PY u1|X 10.7PY u2|X 2111PX x2,Y y3 PY y3 PX x1,Y y3.和Y独立，可见由于X3124G(u)0.3PY u10.7PY u2故 0.3F(u1)0.7F(u2).-可修编.-由此，得U的概率密度为,得ag(u)G(u)0
14、.3F(u1)0.7F(u2)0.3f(u1)0.7f(u2).25.25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求PmaxX,Y1.解解：因为随即变量服从0，3上的均匀分布，于是有b 0.3.解以上关于a，b，c的三个方程得a 0.2,b 0.1,c 0.1.(2)Z的可能取值为2，1，0，1，2，PZ 2 PX 1,Y 1 0.2，PZ 1 PX 1,Y 0 PX 0,Y 1 0.1，1,0 x 3,f(x)30,x 0,x 3;1,0 y 3,f(y)30,y 0,y 3.因为X，Y相互独立，所以PZ 0 PX 1,Y 1 PX 0,Y 0 PX 1,Y，PZ 1 P
15、X 1,Y 0 PX 0,Y 1 0.3，1,0 x 3,0 y 3,f(x,y)90,x 0,y 0,x 3,y 3.PZ 2 PX 1,Y 1 0.1，即Z的概率分布为Z22101推得PmaxX,Y11.9P0.20.10.30.30.1(3)26.设二维随机变量（X，Y）的概率分布为Y101其中X101PX Z PY 0 0.1b0.2 0.10.10.2 0.4.习题四习题四1.设随机变量X的分布律为a00.20.1b0.200.1cX2101a,b,c为常数，且X的数学期望E(X)=0.2,PY0|X0=0.5，记Z=X+Y.求：P1/81/21/81/4求E（X），E（X2），E（
16、2X+3）.（1）a,b,c的值；（2）Z的概率分布；（3）PX=Z.解解(1)由概率分布的性质知，【解解】(1)a+b+c+0.6=1即a+b+c=0.4.由E(X)0.2，可得a c 0.1.由11111E(X)(1)012;82842(2)再PY 0 X 0PX 0,Y 0a b0.1 0.5PX 0a b0.511115E(X2)(1)2021222;82844-可修编.-(3)1E(2X 3)2E(X)3 23 422.已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中的次品数的数学期望、方差.【解】【解】设任取出的5 个产品中的次品数为X，则X的分布律为k1PX k
17、Nk0N1nE(X).NN5.设随机变量X的概率密度为NkPX kk0NX0P123454233245C5C1C10C90C10C90C10C19010C9090C10 0.583 0.340 0.070 0.007 50 055555C100C100C100C100C100C100 x,0 x 1,f（x）=2 x,1 x 2,0,其他.求E（X），D（X）.【解解】故E(X)0.58300.34010.07020.0073040512E(X)xf(x)dx x2dxx(2 x)dx01 0.501,132132x xx 1.53130D(X)xiE(X)2Pii0(00.501)20.58
18、3(10.501)20.340 0.432.3.设随机变量X的分布律为1272232E(X)x f(x)dx x dxx(2 x)dx 2016(50.501)0故D(X)XP1011 E(X2)E(X)2.6p1p2p3且已知E（X）=0.1,E(X2)=0.9,求P1，P2，P3.6.设随机变量X，Y，Z相互独立，且E（X）=5，E（Y）=11，E（Z）=8，求下列随机变量的数学期望.（1）U=2X+3Y+1；（2）V=YZ【4X.解解】(1)【解】【解】因P1又 P2 P31,E(X)(1)P10 P21 P3 P3 P1 0.1,EU E(2X 3Y 1)2E(X)3E(Y)1 253
19、111 44.(2)E(X)(1)P10 P21 P3 P1 P3 0.9由联立解得P12222EV EYZ 4X EYZ4E(X)0.4,P,P2 0.13 0.5.因Y,Z独立E(Y)E(Z)4E(X)118 45 68.7.设随机变量X，Y相互独立，且E（X）=E（Y）=3，D（X）=12，4.袋中有N只球，其中的白球数X为一随机变量，已知E（X）=n，问从袋中任取 1 球为白球的概率是多少？【解】记A=从袋中任取 1 球为白球，则D（Y）=16，求E（3X【解解2Y），D（2X】3Y）.(1)P(A)全概率公式PA|X k PX kk0NE(3X 2Y)3E(X)2E(Y)33233.
20、(2)D(2X 3Y)22D(X)(3)2DY 412916 192.-可修编.-8.设随机变量（X，Y）的概率密度为f（x，y）=k,0 x 1,0 y x,其他.0,】1x1e2xdx.02试确定常数k，并求E（XY）.【解解因E(Y)2yfY(y)dy201y 4e4ydy.4 1f(x,y)dxdy dxkdy k 1,0021故E(Y)y fY(y)dy 0y24e4ydy 21.428k=2E(XY)xyf(x,y)dxdy xdx2ydy 0.2500 x从而(1)E(X Y)E(X)E(Y)113.244.9.设X，Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为(2)fX（x）=e
21、2x,0 x 1,f（y）=其他;0,0,Y(y5),y 5,其他.115E(2X 3Y2)2E(X)3E(Y2)2328811.设随机变量X的概率密度为求E（XY）.【解】【解】方法一：先求X与Y的均值2E(X)x 2xdx,031cxe ekf（x）=0,22x,x 0,x 0.求（1）系数c;（2）E（X）;（3）D（X）.22E(Y)5ye(y5)dy令zy55ezdz 00zezdz【解】【解】(1)由516.f(x)dx cxek xdx 0c1得22k由X与Y的独立性，得c 2k2.(2)2E(XY)E(X)E(Y)6 4.3方法二：利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立，故联
22、合密度为E(X)xf(x)d(x)0 x 2k2xek xdx222xe(y5),0 x 1,y 5,2k2x2 2k2f(x,y)fX(x)fY(y)x edx.00,其他,2k于是11(3)22222k2x21dy E(X )6 4.x f(x)d(x)x 2k xe.03k2E(XY)50 xy 2xe(y5)dxdy 2x dx025ye(y5)10.设随机变量X，Y的概率密度分别为故 2e e2x,x 0,4e e4y,fX（x）=fY（y）=0,x 0;0,求（1）E（X+Y）;（2）E（2X【解解y 0,y 0.】3Y2）.14D(X)E(X2)E(X)22.2k2k4k12.袋
23、中有 12 个零件，其中9 个合格品，3 个废品.安装机器时，从袋2(X)xfX(x)dx0 x 2edx xe2x2x 00edx-2x中一个一个地取出（取出后不放回），设在取出合格品之前已取出的废品数为随机变量X，求E（X）和D（X）.-可修编.-【解】【解】设随机变量X表示在取得合格品以前已取出的废品数，则X 的可能取值为 0，1，2，3.为求其分布律，下面求取这些可能值的概率，易知14.设X1，X2，Xn是相互独立的随机变量，且有E（Xi）=，D（Xi）=2，i=1，2，n，记PX 09 0.750,121n1n2X Xi,S，S=(Xi X)2.ni1n 1i1239PX 1 0.2
24、04,1211PX 2329 0.041,1211 10【2（1）验证E(X)=，D(X)=n2；n212（2）验证S=(XinX)；n1i1（3）验证E（S2）=2.证证】(1)3219PX 3 0.005.1211 109于是，得到X的概率分布表如下：n1n11n1E(X)EXiE(Xi)E(Xi)nu uni1nni1ni1XP由00.750此10.20420.041可30.005得n11n1D(X)DXi2D(Xi)Xi之间相互独立2ni1ni1nniE(X)00.75010.20420.04130.005 0.301.1222n.nn22222E(X)0 7501 0.2042 0.
25、0413 0.005 0.413D(X)E(X)E(X)0.413(0.301)0.322.13.一工厂生产某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，概率密度为x14e e,x 0,f（x）=4x 0.0,222(2)因(Xi X)(X X 2XXi)Xi2nX2X22ii1i1i1nn2n2iX nX2X nX X nX2i2ii1i1n21故S(Xi2nX).n1i12n2n2为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换.若售出一台设备，工厂获利 100 元，而调换一台则损失 200元，试求工厂出售一台设备赢利的数学期望.【解】【解】厂方出售一台设备净盈利Y只有两个值：100
26、 元和200 元(3)因E(Xi)u,D(Xi)2,故E(Xi2)D(Xi)(EXi)22u2.1PY 100 PX 11x/4edx e1/44同理因E(X)u,D(X)2n,故PY 200 PX 11e1/4.故E(X)1/422nu2.E(Y)100e(元).(200)(1e1/4)300e1/4200 33.64从而-可修编.-而 1E(s)E(Xi2nXn1i12n21E(Xi2)nE(X)n1i1n2212)E(Xi)nE(X)Cov(X,Y)x E(x)y E(Y)f(x,y)dxdyi1n1n,11212xydxdy r sincosrdrd 0 00 x2y211n12222
27、2n(u)nu.n由此得1,下面1x2XY0,故X与Y不相关.讨论独立性，当|x|1时，15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=计算：Cov（3X【2Y+1，X+4Y解解3）.】fX(x)1 1x212dy 1 x2.Cov(3X 2Y 1,X 4Y 3)3D(X)10Cov(X,Y)8D(Y)3210(1)83 28(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为当|y|1 时，fY(y)1 1y21y212dx 1 y2.显然fX(x)fY(y)f(x,y).故X和Y不是相互独立的
28、.17.设随机变量（X，Y）的分布律为122,x y 1,f（x，y）=其他.0,试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】【解】设DY01X11011/81/81/81/801/81/81/81/8(x,y)|x2 y21.验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的.【解】【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的分布律，其分布律如下表E(X)1xf(x,y)dxdy 2xdxdyx2y 1=121rcosrdrd 0.00同理E(Y)=0.XP101P381280381284828YP381280381XY-可修编.-由期望定义易得E（X
29、）=E（Y）=E（XY）=0.从而E(XY)=E(X)E(Y),再由相关系数性质知XY=0,即X与Y的相关系数为 0，从而X和Y是不相关的.又PX331 1 PY 1 PX 1,Y 1888从而X与Y不是相互独立的.18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均匀分布，求Cov（X，Y），XY.【解】如图，S1D=2，故（X，Y）的概率密度为题 18 图f(x,y)2,(x,y)D,0,其他.E(X)xf(x,y)dxdy10dx1x10 x 2dy D3E(X2)x2f(x,y)dxdy11x210dx02x dy D62从而D(X)E(X2)
30、E(X)21116318.同理E(Y)13,D(Y)118.而E(XY)xyf(x,y)dxdy 2xydxdy 1dx1x2xydy 1DD0012.所以Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)11111233 36.-可修编.-从而XYCov(X,Y)D(X)D(Y)136111818 1219.设（X，Y）的概率密度为1sin(x y),0 x,0 y,f（x，y）=222其他.0,求协方差 Cov（X，Y）和相关系数XY./2/2【解】【解】E(X)xf(x,y)dxdy 0dx0 x1sin(x y)dy.24E(X)dx从而2202012xsin(x y)dy 2.28222D(
31、X)E(X)E(X)2.162222同理E(Y),D(Y)2.4162又E(XY)/20dx/20 xysin(x y)dxdy 1,224故Cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)1.24444Cov(X,Y)(4)2281642 2 2.832 832D(X)D(Y)21622XY20.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为【解】【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.从而11，试求Z=X1412Y和Z2=2XY的相关系数.D(Z1)D(X 2Y)D(X)4D(Y)4Cov(X,Y)1444113,D(Z2)D(2X Y)4D(X)D(Y)4Cov(X,Y)4
32、1441 4,Cov(Z1,Z2)Cov(X 2Y,2 X Y)-可修编.-2Cov(X,X)4Cov(Y,X)Cov(X,Y)2Cov(Y,Y)2D(X)5Cov(X,Y)2D(Y)215124 5.故Z Z12Cov(Z1,Z2)5513.D(Z1)D(Z2)13 426E（VW）2E（V2）E（W2）.21.对于两个随机变量V，W，若E（V2），E（W2）存在，证明：这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy【证】【证】令g(t)显然Schwarz）不等式.EV tW2,tR.0 g(t)E(V tW)2 EV22tVW t2W2 EV22t EVWt2EW2,tR.可见此关于t的二次式非负
33、，故其判别式0，即0 2E(VW)24E(W2)E(V2)4E(VW)2 E(V2)E(W2).故E(VW)2 E(V2)E(W2).22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数=1/5 的指数分布.设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数F（y）.【解】【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间XE(),E(X)=1=5.依题意Y=min(X,2).对于y0,f(y)=PYy=0.对于y2,F(y)=P(Xy)=1.对于 0y2,当x0 时，在(0,x)内无故障的概率分布为P
34、Xx=1ex,所以F(y)=PYy=Pmin(X,2)y=PXy=1ey/5.23.已知甲、乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3 件合格品和 3 件次品，乙箱中仅装有 3 件合格品.从甲箱中任取 3 件产品放乙箱后，求：（1）乙箱中次品件数Z的数学期望；（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率.【解】【解】（1）Z的可能取值为 0，1，2，3，Z的概率分布为kkC3C33PZ kC36,k 0,1,2,3.23Z=kPk01120920920120-可修编.-因此，E(Z)019913123.202020202(2)设A表示事件“从乙箱中任取出一件产品是次品”，根据全概率公式有P(A)PZ k
35、 PA|Z kk03191921310.202062062064销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损，已知销售利润T（单位：元）与销售零件的内径X有如下关系24.假设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（,1），内径小于10 或大于 12 为不合格品，其余为合格品.若X 10,1,T=20,若10 X 12,5,若X 12.问：平均直径取何值时，销售一个零件的平均利润最大？【解】【解】E(T)PX 1020P10 X 125PX 12 PX u 10u20P10u X u 12u5PX u 12u(10u)20(12u)(10u)51(12u)25(12u)21(10u)5
36、.故dE(T)令 25(12u)(1)21(10u)(1)0(这里(x)du得25e(12u)2/21x2/2e),2 21e(10u)2/2两边取对数有11ln25(12u)2 ln21(10u)2.22解得u125111ln11ln1.19 10.9128(毫米)2212由此可得，当u=10.9 毫米时，平均利润最大.25.设随机变量X的概率密度为1x cos,0 x ,f(x)=22其他.0,对X独立地重复观察4 次，用Y表示观察值大于/3 的次数，求Y2的数学期望.（2002 研考）-可修编.-1,X,3【解】【解】令Yi0,X.34(i 1,2,3,4)则Y Yi B(4,p).因为
37、i1/31x1p PX 1 PX 及PX cosdx 0333222,所以E(Yi)111,D(Yi),E(Y)4 2,24211D(Y)41 E(Y2)(EY)2,22从而E(Y2)D(Y)E(Y)2122 5.26.两台同样的自动记录仪，每台无故障工作的时间Ti(i=1,2)服从参数为 5 的指数分布，首先开动其中一台，当其发生故障时停用而另一台自动开启.试求两台记录仪无故障工作的总时间T=T1+T2的概率密度fT(t)，数学期望E（T）及方差D（T）.【解】【解】由题意知：5e5t,t 0,fi(t)t 0.0,因T1,T2独立，所以fT(t)=f1(t)*f2(t).当t0 时，fT(
38、t)=0;当t0 时，利用卷积公式得fT(t)故得f1(x)f2(t x)dx 5e5x5e5(tx)dx 25te5t0t25te5t,t 0,fT(t)t 0.0,由于TiE(5),故知E(Ti)=11,D(Ti)=255(i=1,2)因此，有E(T)=E(T1+T2)=25.又因T1,T2独立，所以D（T）=D（T1+T2）=2.25Y|的方差.27.设两个随机变量X，Y相互独立，且都服从均值为0，方差为 1/2 的正态分布，求随机变量|X-可修编.-【解】【解】设Z=X 1 2 1 2Y，由于X N 0,Y N 0,22 且X和Y相互独立，故ZN（0，1）.因D(X Y)D(Z)E(|
39、Z|2)E(|Z|)2 E(Z2)E(Z)2,而E(Z)D(Z)1,E(|Z|)|z|21z2/2edz22z2/22，zedz 02所以D(|X Y|)12.28.某流水生产线上每个产品不合格的概率为p(0p1=P=0,PX=1,Y=1=PU1,U1 P1U 11dx1414-1)及(1,1)的概率.-可修编.-PX 1,Y 1 PU 1,U 1 PU 1故得X与Y的联合概率分布为21dx1.44(1,1)(1,1)(1,1)(1,1).(X,Y)1110424(2)因D(X Y)E(X Y)2E(X Y)2,而X+Y及（X+Y）2的概率分布相应为2020X Y 111,(X Y)21424
40、2从而E(X4.1211Y)(2)2 0,4411E(X Y)2 04 2,22所以D(X Y)E(X Y)2E(X Y)2 2.31.设随机变量X的概率密度为f(x)=(1)求E（X）及D（X）；1 xe2，（x+）（2）求 Cov(X,|X|),并问X与|X|是否不相关？（3）问X与|X|是否相互独立，为什么？【解】(1)E(X)x1|x|edx 0.21|x|edx 0 x2exdx 2.02D(X)(x0)2(2)Cov(X,|X)E(X|X|)E(X)E(|X|)E(X|X|)1|x|edx 0,2x+中的子区间（0,+）x|x|所以X与|X|互不相关.(3)为判断|X|与X的独立性
41、，需依定义构造适当事件后再作出判断，为此，对定义域上给出任意点x0，则有x0 X x0|X|x0X x0.所以0 P|X|x0 PX x01.-可修编.-故由PX x0,|X|x0 P|X|x0 P|X|x0 PX x0得出X与|X|不相互独立.32.已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，32）和N（0，42），且X与Y的相关系数XY=（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X与Z的相关系数XZ；（3）问X与Z是否相互独立，为什么？1/2，设Z=XY.32【解】(1)XY 1E(Z)E.323 XD(Z)D3Y X Y D2Cov,23211119162Cov(X,Y),943
42、2而Cov(X,Y)XYD(X)1D(Y)34 62所以D(Z)11463.3XY 11 CovX,CovX,XCovX,Y3232(2)因Cov(X,Z)119D(X)(6)-3=0,323所以XZCov(X,Z)0.D(X)D(Z)(3)由1XZ0，得X与Z不相关.又因Z N,3,X N(1,9)，所以X与Z也相互独立.333.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y表示正面向上和反面向上的次数.试求X和Y的相关系数【解】由条件知X+Y=n，则有D（X+Y）=D（n）=0.XY.再由XB(n,p),YB(n,q)，且p=q=12,-可修编.-从而有D(X)npq n D(Y)4所以0 D(X Y)D
43、(X)D(Y)2XYD(X)1.D(Y)nn2XY,故XY=2434.设随机变量X和Y的联合概率分布为X01Y1010.070.180.150.080.320.20试求X和Y的相关系数.【解】【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2，而XY的概率分布为YXP所以E（XY）=0.08+0.2=0.1210.0800.7210.2Cov(X,Y)=E(XY)从而E(X)E(Y)=0.120.60.2=0XY=035.对于任意两事件A和B，0P(A)1，0P(B)1,则称=PAB P(A)P(B)P(A)P(B)P(A)P(B)为事件A和B的相关系数.试证：（1）事件A和B独立的充分必要条件
44、是=0；（2）|1.【证】【证】（1）由的定义知，=0 当且仅当P(AB)P(A)P(B)=0.而这恰好是两事件A、B独立的定义，即=0 是A和B独立的充分必要条件.(2)引入随机变量X与Y为1,若A发生,1,若B发生,X Y 0,若A发生;0,若B发生.由条件知，X和Y都服从 01 分布，即1100X Y 1P(A)P(A)1P(B)P(B)从而有E(X)=P(A),E(Y)=P(B),D(X)=P(A)P(A),D(Y)=P(B)P(B),P(A)P(B)Cov(X,Y)=P(AB)所以，事件A和B的相关系数就是随机变量X和Y的相关系数.于是由二元随机变量相关系数的基本性质可得|1.36.
45、设随机变量X的概率密度为-可修编.-12,1 x 0,1fX(x)=,0 x 2,4其他.0,令Y=X2，F（x,y）为二维随机变量（X，Y）的分布函数，求：(1)Y 的概率密度fY(y)；(2)Cov(X,Y);(3)F(1,4).2解：(1)Y 的分布函数为FY(y)PY y PX2 y.当y0 时，FY(y)当 0y1 时，0，fY(y)0；FY(y)Py X y Py X 0 P0 X y3y4，fY(y)38 y；当 1y4 时，FY(y)P1 X 0 P0 X y11y24fY(y)当y4 时，FY(y)故Y的概率密度为18 y；1，fY(y)0.38 y,0 y 1,fY(y)0
46、1,1 y 4,8 y0,其他.(2)E(X)=+2111xfX(x)dx xdxxdx,12044021125x dxx2dx),120460E(Y)=E(X2)=+x2fX(x)dx-可修编.-E(XY)=E(Y)=2+21137x fX(x)dx x dxx3dx 1204830,故Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=2.3(3)111F(,4)PX ,Y 4 PX ,X2 422211 PX ,2 X 2 P2 X 2211 P1 X .24习题五习题五1.一颗骰子连续掷4 次，点数总和记为X.估计P10X1050.3485.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于 3
47、m.现从这批木柱中随机地取出100 根，问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？【解】【解】设 100 根中有X根短于 3m，则XB（100，0.2）从而 301000.2 PX 301PX 301 1000.20.81(2.5)10.9938 0.0062.6.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100 个服用此药品的病人，如果其中多于 75 人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是
48、多少？【解】【解】1,第i人治愈,Xi0,其他.X Xi.i1100i 1,2,100.令(1)XB(100,0.8)，751000.8 PXi 751PX 751i1 1000.80.2 1(1.25)(1.25)0.8944.(2)XB(100,0.7)，100-可修编.-751000.7 PXi 751PX 751i1 1000.70.31(5)1(1.09)0.1379.211007.用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05 的产品中，任取1000 件，其中有 20 件废品的概率.【解】【解】令 1000 件中废品数X，则p=0.05,n=1000,XB(1000
49、,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5.故PX 20130 6 4.510.6.8956.89511205030 6.8956.89547.547.5 8.设有 30 个电子器件.它们的使用寿命T1，T30服从参数=0.1单位：（小时）-1的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为 30 个器件使用的总计时间，求T超过 350 小时的概率.【解】【解】E(Ti)11110,D(Ti)2100,0.1E(T)1030300,D(T)3000.故350300 5 PT 350111(0.913)0.1814.3000 30 9.上题中的电子器件若每件为a元，那么在
50、年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有 306 个工作日，每个工作日为 8 小时）.【解】【解】设至少需 n 件才够用.则E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n.从而P306810n即0.05T 3068 0.95,i.i110 nn故10n24480.95,10 n所以需 272a元.1.64n244.8,nn 272.10.对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2 名家长来参加会议的概率分别为 0.05,0.8,0.15.若学校共有 400 名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且