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1、习题1.1解答1 .将一枚均匀的硬币抛两次，事件A,8,C分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试 写 出 样 本 空 间 及 事 件 中 的 样 本点。解：Q=(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)A =(正，正)，(正，反)卜B=(正，正)，(反，反)C=j (正，正)，(正，反)，(反，正)2.在掷两颗骰子的试验中，事件A,8,C,。分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“由数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件A3,A+B,彳C,8C,A-8-。一。中的样本点。解：。=(1,1),(1,2),(1,6),(2,1
2、),(2,2),(2,6),(6,1),(6,2),(6,6)；=(1,1),(1,3),(2,2),(3,1)；A +B =(1,1),(1,3),(1,5),(6,2),(6,4),(6,6),(1,2),(2,1)；C=；8C=(1,1),(2,2)；A-B-C-D =(1,5),(2,4),(2,6),(4,2),(4,6),(5,1),(6,2),(6,4)3.以A,8,C分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用A,且C表示以下事件：(1)只订阅日报；(2)只订口报和晚报；(3)只订一种报；(4)正好订两种报；(5)至少订阅一种报；(6)不订阅任何报；(7)至多订阅一种报；(8
3、)三种报纸都订阅；(9)三种报纸不全订阅。解：(D A月不；(2)A B C；(3)A B C +A B C +A B C(4)A B C +A B C +A B C (5)A +B +C；(6)A B C ；(7)彳月+彳豆。+彳5仁+4方仁或3月+彳仁+月3(8)A B C i(9)A +B +C4.甲、乙、丙三人各射击一次，事件&,4 2，4 3分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：氏，七+4,AX,4 +&，A&彳3，A|A?+A,A j +A A 3.解：甲未击中：乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲
4、、乙、丙三人至少有两人击中。5.设事件4,8,。满足4 8cH，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：A +B +C ,A B +C B A C.解：如图:A+B+C=A B C +A B C +ABC +A B C +A B C +A B C +ABC;AB+C=ABC+C-,6-A C =ABC+A B C +A B CBA+ABC=B C +A B C6.若事件A,8,C满足4+C =8 +C ,试问A =8是否成立？举例说明。解：不一定成立。例如：A =3,4,5,6=3,C =4,5,那么，A+C =B+C,但A w 8。7.对于事件A,8,C,试问A (B 。)=(4-8)+。
5、是否成立？举例说明。解：不一定成立。例 如:A =3,4,5,8 =4,5,6,C =6,7,那么 4(8 C)=3,但是(A 8)+C =也,6,7。8.设尸(A)=；,P(B)=1,试就以下三种情况分别求P(AT)：(1)A 8 =，(2)A d B,(3)P(AB)=.o解：-1(1)P(BA)=P(B -AB)=P(B)-P(AB)=-；2(2)P(B不)=P(B-A)=P(5)-P(4)=L6一 1 1 3(3)P(BA)=P(B-AB)=P(B)_ P(AB)=-=。2 8 89.已知P(A)=P(8)=P(C)=1，P(A C)=P(B C)=上，尸(48)=0求事件4 1 6A
6、,8,C全不发生的概率。解：P(A B C)=P(A+B+C)=1-P(A+B+C)=1-P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(A C)-P(BC)+P(ABC)1 1 1 c 1 1 3 3_ 4 4 4 1 6 1 6 J 81 0.每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：4=三个都是红灯”=“全 红 ：B=“全绿”；C=“全黄”；D=“无 红 ；E=“无绿”；F =三次颜色相同”；解：P(4)P(F)P(H)G=颜色全不相同；H=颜色不全相同”。P(B)=P(C)1 x 1 x 13 x 3 x 312 7P(O)=
7、P(E)=2x2x2_ 83 x 3 x 3 -2 71 1 1+一d-2 7 2 7=1-P(F)P(G)=3!23 x3 x 3-98-9=1-9I L 设一批产品共1 0 0 件，其中98 件正品，2 件次品，从中任意抽取3 件(分三种情况：一次拿3 件；每次拿1 件，取后放回拿3 次；每次拿1 件，取后不放回拿3次)，试求：(1)取出的3 件中恰有1 件是次品的概率；(2)取出的3 件中至少有I 件是次品的概率。-次5 3件:C2 C(1)P =0.0 58 8；(2)Goo每次拿一件，取后放回，拿 3 次：2 x 98?(1)P=x 3=0.0 576；1 0 03每次拿一件，取后不
8、放回，拿 3 次：/=。：史=0 0 5 9 4；G o o983(2)P=-?=0.0 58 8 ；1 0()3(1)P=2 x 98 x 971 0 0 x 99x 98x 3=0.0 58 8；(2)八,98 x 97x 96P-1-1 0 0 x 99x 98=0.0 5941 2.从0,1,2,9中任意选出3 个不同的数字，试求下列事件的概率:A,=三个数字中不含0 与5,A,=三个数字中不含0 或5。解:r3尸(4)=才5o71 5尸(4)=2 C；YG：1 4 c处或尸(儿)二1一一三1 5。1 41 51 3.从0,1,2,9中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数
9、的概率。解:5-4a2 _ 4 11 4 .个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率:(1)6人中至少有1人生日在1 0月份；(2)6人中恰有4人生日在1 0月份；(3)6人中恰有4人生日在同一月份；解：(1)P =l 14/0.4 1；(2)(=I/0.0 0 0 6 1；1 26 1 26(3)P=-=0.0 0 731 261 5.从一副扑克牌(5 2张)任 取3张(不 重 复)，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。解：P=匕士二+?1%七也/0.6 0 2 或 P =2止 勺 5.三 0.6 0 2点%习题1.2解答1 .假设-批产品中一、二、三等品各占6 0%,3 0%、1
10、0%,从中任取一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率。解：令4=取到的是i等 品 ，i=1,2,3阂4)=1=雪=二。1 1 3 尸(A 3)P，3)0.9 32.设 1 0 件产品中有4 件不合格品，从中任取2 件，已知所取2 件产品中有1 件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。解：令4=两件中至少有一件不合格，B=两件都不合格”P(B I A)=P(AB)P(4)尸(B j _l-P(A)3 .为了防止意外，在矿内同时装有两种报警系统i 和 n。两种报警系统单独使用时，系统I 和 I I 有效的概率分别0.92和 0.93,在系统I 失灵的条件下，系统I I 仍有效的概率为。8 5
11、,求(1)两种报警系统I 和 I I 都有效的概率；(2)系统n 失灵而系统I 有效的概率；(3)在系统I I 失灵的条件下，系统I 仍有效的概率。解：令 4=系 统(I )有 效，B=系 统(1 1)有效”则 P(A)=0.92,P(B)=0.93,尸(B I A)=0.8 5(1)P(AB)=P(B AB)=P(B)P(AB)=P(B)-P(A)P(B I A)=0.93-(1-0.92)x 0.8 5 =0.8 6 2(2)P(BA)=P(A-AB)=P(A)P(AB)=0.92-0.8 6 2=0.0 5 8(3)P(A I 月)=0 6 8 三 0.8 28 6P(B)1-0.934
12、 .设0 P(A)1,证明事件A与8独立的充要条件是P(B I A)=P(B I A)证：n：A与8独立，3与8也独立。P(B A)=P(B),P(B I A)=P(B)：.PB I A)=P(B I A)=：v 0 P(A)1 0 P(X)0,P 0,则有(1)当A与8独立时，A与5相容；(2)当A与8不相容时，A与B不独立。证明：P(A)O,P(B)O(1)因为A与5独立，所以P(A 6)=P(A)P(8)0 ,A 与8 相容。(2)因为P(A B)=0,而P(A)P(B)0,P(4 8)HP(A)P(B),A 与 8 不独立。7.已知事件A,8,C相互独立，求证AU8与C也独立。证明：因
13、为A、B、C相互独立，尸(A U B)nC =P(A C U B C)=P(AC)+P(BC)-P(ABC)=尸(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)=P(A)+P(B)-P(A B)P(C)=P(A U B)P(C)AUB与C独立。8.甲、乙、丙三机床独立工作，在同一段时间内它们不需要工人照顾的概率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内，最多只有一台机床需要工人照顾的概率。解：令A，A 2，A 3分别表示甲、乙、丙三机床不需要工人照顾，那么 P(4)=0.7,P(A2)=0.8,P(A3)=0.9令5表示最多有一台机床需要工人照顾，那么 P(B)=P(4 4 4+4
14、44+A 1 A24+444)=P(A A 2 A 3)+P(AlA2A3)+P(AlA2A3)+P(A1A2A3)=0.7 x 0.8 x 0.9+0.3 x 0.8 x 0.9+0.7 x 0.2 x 0.8 +0.7 x 0.8 x 0.1=0.90 29.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为p(0 p 0,求常k!3数C.8#C O 解：与-=1,而1=k!K=O 左！,0!1,即c =(l e”3 .设一次试验成功的概率为p(0 p l),不断进行重复试验，直到首次成功为止。用随机变量X 表示试验的次数，求 X 的概率分布。解：P(X=k)=p(l-p)i,k =l,2 4 .设
15、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1,当生产过程中出现废品时立即进行调整，X 代表在两次调整之间生产的合格品数，试求(1)X 的概率分布；(2)P(X N 5)。解：(1)P(x =k)=(-p)k p=(0.9)*xQA,k=0,1,2,(2)P(X N5)=P(X =k)=Z(0.9)x0.1=(0.9)5k=5 k=55.一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中有1个答案是正确的。求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少？解：因为学生靠猜测答对每道题的概率为0=，所以这是一个=5,p=!4 4的独立重复试验。6.为了保证设备正常工作，需要配备适当数量的维修人员。根
16、据经验每台设备发生故障的概率为0.01,各台设备工作情况相互独立。(1)若由1人负责维修20台设备，求设备发生故障后不能及时维修的概率：(2)设有设备100台，1台发生故障由1人处理，问至少需配备多少维修人员，才能保证设备发生故障而不能及时维修的概率不超过0.01?解：(1)1-(0.99)20-20 x0.01 x(0.99)19 0.0175(按 Poiss。(泊松)分布近似)(2)n=100,np=100 x0.01=1 =2(按Poiss。(泊松)分布近似)100I0O|A-IP(X NN+1)=C,oO(0.01)A(0.99),00-*x 1).兄)1解：P(x=0)=e-=,.-
17、.A=ln20!2P(X1)=1 P(X 1)=1-P(X=0)+P(X=1)=l-+-ln2=-(l-ln 2)2 2 28.设书籍上每页的印刷错误的个数X服从Poisson(泊松)分布。经统计发现在某本书上，有一个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率。兄 A2解：P(X=1)=P(X=2),即一=e ,4=21!2!P(X=0)=e-2.-.P=*)4 =e-89.在长度为的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的Poisson分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)，求(1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2
18、)某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率：9.在长度为，的时间间隔内，某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为；的P o i s s o n(泊松)分布，而与时间间隔的起点无关(时间以小时计).求(1)某一天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率；(2)某 天 从 中 午12时至下午5时收到1次紧急呼救的概率；解：3N f =3 ,4 =P(X=0)=e 225-(2)f =5,/l=P(X N 1)=1-P(X =0)=1 e 2210.已知X的概率分布为:X-2-10123p2a1To-3aaala试 求(l)a；(2)y =x2-l的概率分布。解：(1)2cl H-F
19、3 a +a +a +2a=1101C l -o10(2)y -1 0 3 81-53-101-53WpI I.设连续型随机变量X的概率密度曲线如图1.3.8所示.试求：(1)f的值；(2)X的概率密度；(3)P(-2 X 2).解：(1)v (-f)x 0.5+x 0.5 x 3 =12 2t 1 /(x)=26021X H-2,X e -1,0),X G 0,3)其它(3)P(-2 X 2)x+(-X 4-=/6 2 1212 .设连续型随机变量X的概率密度为f(x)=s i n x,0,0 x T).+00解：令 J 7(x)d x-co1,xdx-1?.-CO SX 01,B|J c
20、o s a =0,a7127T尸(Xa=J s i nx J x =-c o s x l I=%22613.乘以什么常数将使*八刀变成概率密度函数?解：令-x2+xdx=1-aoce 正-1.c =3/J r即即14 .随机变量X N(Q2),其概率密度函数为 x1 2-34x+41 2)2二 1 2(百)2-72 /33/(x)=,e 6(-00 x 4-o o)6兀试 求 若 已 知解：于(x)dx=jf(x)dx,求 C./(x)A2-4.V+46 2.*./=2o 一-HJO C若 J/(x)d x=jf(x)dx,由正态分布的对称性C00可 知 c =2.15.设连续型随机变量X 的
21、概率密度为2x,0 x 1/(%)=0,其他以Y表示对X的三次独立重复试验中“X 4 ”出现的次数，试求概率P(Y=2).11 2 J解：P(X -)=j2xdx=-2()4P(y =2)=c 冲 2 号)二 卷.16.设随机变量X 服从口,5 上的均匀分布，试求产(/X 4)如果(1)%,1 x2 5 ；(2)1 x1 5 x2.解：X 的概率密度为/(x)=(Z 5 l-x-50,其他(1)P(X j X x2)=X =X25 (2)P(X X 1).解：x l0,P(X 10)=l-P(X 10)=l-l-e 5 =e-2.I p(y =4)=C；(e l)=l-(l-e-2)5 0.5
22、 16 7习题1.4解答1.已知随机变量X 的概率分布为P(X =1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5 ,试求X的分布函数;解：0,x 10.2 ,1 x 2F(x)=；0.5 ,2x 3F(x)曲线：尸(x)AP(0.5 4 X 4 2)；画出尸(x)的曲线。P(0.5 X 2)=0.5c-O3J-O2。人丫520.。2.设连续型随机变量X 的分布函数为0,x -10.4,1 x 1F(x)=0.8,l x 3试求：(1)X 的概率分布；(2)尸(X 2 I X w l).解：(1)X-1 1 37 0 4 0 4 0 2(2)P(X 2 1 X 1)=P(X =-1)P
23、(X H l)233.从家到学校的途中有3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的概率是相互独立的，且概率均是0.4,设X 为途中遇到红灯的次数，试 求(1)X 的概率分布：(2)X的分布函数。解:9 3(1)P(X=k)=C；(7*q)3-*,A=0,1,2,3列成表格XP012 51可12 523?12 53T-12 5(2)F(x)=02 712 58112 511712 51xQ0 x1 x 22 x 34.试求习题1.3中第11题 X 的分布函数,解：并画出尸(x)的曲线。F(x)=01 2 X41X 11 1+X+一2 4,1 1-l x 0-2 -X+X+一1212 40 x 35
24、.设连续型随机变量X 的分布函数为F(x)=A+Be 2x0,试求：(1)A,8 的值；(2)P(1 X 0 x 0+(2)尸(一 1 X 00,x 06.设X 为连续型随机变量，其分布函数为a,x 1;F (x)=bx I n x+ex+cl,x e.试确定/(x)中的，c,d 的值。解：v F(-o o)=0.Q=1又,尸(+o o)=l：.d=l又 li mS x ln x +c x +1)=a=0 c =-1x-r又,/li m(hxln x-x +l)=J =1:,he-e+l=l B|J/?=17.设随机变量X 的概率密度函数为f(x)=-试确定。的值并求R(x)%(1+/)和 P
25、(|X|1).即 a rc t a n x =1 :.a=7 t.f a.1 1F(x)=-T-dt=+a rc t a n x ,-o o%0 +r)2 4P(X l t：.F Q)=P(X W f)=1当f 0 时，P Q)=(z、1e AF(x),0:X服从指数分布(4 =。(2)F(3)=l-e-0lx 3=0.2(3)F(5)-F(3)0.139.设 X N(1,16),试可P(|X|4)；(4)P(|X-1|解：2 4(1)P(X -1.5)=l-P(；=1-0(-4 +1(3)P(l X l 4)=0()4，=(!)($+1)=尸(X=一410.某科统考成绩X近似服第2 0名的成
26、绩约为多少分？解：P(X x 1 X 6 0)而 P(X x l X 2又 v P(X 6 0)=1-P(X Nx)=0.2 x即 P(X x)=l-(之四=0.83)=P(N(f)=0)=eW”-P(X f)=l-):0;0.1)6-算(1)P(X -1.5)；(3)1).4一(_1)3 44=0()三 0.80 514 4 K -1.5)T：+l)=1 一(一 三0.5498一4+1 5-3一(一(二)4 4 4D()l /0.6 6 782)=P(X 2)p)+l-=，)+1-O(1)=0.82 53从正态分布N(70,l()2),第IOO名的成绩为6 0分，问2 0-T o om P(
27、X x)n(X 6 0)PX x)-o(J)=-=-P(X 6 0)P(X 6 0)i o)=士 4130.8413=0.16 82 6=(0 =0 1 68 26r-70174,0.96,x 79.610i i.设随机变量x和y均服从正态分布，XN(,42),YN(,52),而Pi =P(X4),p2=P(Y 2 +5),试证明 P =2 ,证明：Pi =P(X W 4)=2一：N)=(T)p2=P(y N +5)=1 -+5=1 -=)Pi =%12.设随机变量X服从口力 上的均匀分布，令 丫=。*+4(C YO),试求随机变量y的密度函数。解：y-d当 c 0 时，fY(y)=c(b-a),ca+d y cb-d当。0时，/y(y)=c(b-a)0,cb+d W y W c a +d