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1、电阻电路的一般分析1第1页，本讲稿共40页故事故事故事18世纪，在东普鲁士的哥尼斯堡。世纪，在东普鲁士的哥尼斯堡。人们长期议论：能否从任一块陆地出发，走遍七桥而且每桥只走一次？人们长期议论：能否从任一块陆地出发，走遍七桥而且每桥只走一次？这就是数学界的著名的这就是数学界的著名的一、七桥难题：一、七桥难题：CDBA2第2页，本讲稿共40页 1736年，瑞士数学家欧拉针对这个问题发表了年，瑞士数学家欧拉针对这个问题发表了依椐几何位置的解题方法依椐几何位置的解题方法。一笔画问题一笔画问题欧拉提出要实现一笔画的三条通用的判定规则：欧拉提出要实现一笔画的三条通用的判定规则：图必须都是连通的；图必须都是连
2、通的；每个顶点所关联的边都要为偶数；这时才能回到原来的出发点；每个顶点所关联的边都要为偶数；这时才能回到原来的出发点；若其中仅有两个顶点的相关边是奇数，则必须从一顶点出发，经过所有的边以后而达到另一个若其中仅有两个顶点的相关边是奇数，则必须从一顶点出发，经过所有的边以后而达到另一个顶点。顶点。一、七桥难题：DABC3第3页，本讲稿共40页二、环球旅行：三、平面图和非平面图的问题：三、平面图和非平面图的问题：1857年英国数学家哈密顿发明了一种称之年英国数学家哈密顿发明了一种称之为为 20 的环球旅行的游戏。的环球旅行的游戏。哈密顿圈：哈密顿圈：寻求一个回路，必须经过每个顶点寻求一个回路，必须经
3、过每个顶点且只经过一次，而边的次数不限，也可以不经且只经过一次，而边的次数不限，也可以不经过边。过边。欧拉路：欧拉路：寻求一条路径，必须经过图中的每一条边且寻求一条路径，必须经过图中的每一条边且只经过一次，而顶点经过的次数不限。只经过一次，而顶点经过的次数不限。五个王子的故事。五个王子的故事。4第4页，本讲稿共40页四、四色定理：1852年，英国哥斯尼提出用四种颜色对地图着色的问题。年，英国哥斯尼提出用四种颜色对地图着色的问题。1878年，英国数学家凯莱在伦敦的一次国际数学会议上提出四色问题是否可以证明，才引起世人的关注。年，英国数学家凯莱在伦敦的一次国际数学会议上提出四色问题是否可以证明，才
4、引起世人的关注。化为图形问题就是国家为顶点，相邻则有边相连接，要证明只需四种颜色，就可使相邻顶点具有不同的颜色。化为图形问题就是国家为顶点，相邻则有边相连接，要证明只需四种颜色，就可使相邻顶点具有不同的颜色。1890年，赫伍德证到五种颜色。年，赫伍德证到五种颜色。1969年，有人在有年，有人在有40多个国家的地图上证明了四色问题。多个国家的地图上证明了四色问题。1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在年，美国数学家阿佩尔与哈肯在3台不同的电子计算机上，用了台不同的电子计算机上，用了1200小时（小时（50昼夜），宣布证明了四色问题，从此，称之昼夜），宣布证明了四色问题，从此，称之为四色定理。为四色
5、定理。上面我们讨论的是一个上面我们讨论的是一个古老的古老的、重要的重要的、又是在近又是在近30年来发展十分活跃的年来发展十分活跃的一个数学分支一个数学分支 图论图论。图论是研究运动图形的不变的规律的数学。一维图论称为拓扑学。图论是研究运动图形的不变的规律的数学。一维图论称为拓扑学。5第5页，本讲稿共40页3-1 电路的拓扑图电路的拓扑图+_uS1iS2R1R6R5R4R3R23-1 电路的拓扑图电路的拓扑图一、拓扑图：一、拓扑图：1、图、图G：2、子图、子图G1：很多个结点（顶点）、支路（线段）的集合。很多个结点（顶点）、支路（线段）的集合。每条支路的两端都联到相应的结点上，结点和支路各自成一
6、个整体，任一条支路必须终止在结每条支路的两端都联到相应的结点上，结点和支路各自成一个整体，任一条支路必须终止在结点，但允许独立的结点存在。点，但允许独立的结点存在。支路或结点数少于图支路或结点数少于图G的图。的图。3、连通图：、连通图：图图G的任意两个结点之间至少有一条路径相通。的任意两个结点之间至少有一条路径相通。4、有向图：、有向图：所有的支路都有方向的图。所有的支路都有方向的图。每每条条支支路路都都可可指指定定一一个个方方向向，即即为为支支路路电电流流和和支支路电压的参考方向。路电压的参考方向。6第6页，本讲稿共40页8765432187657542876528526531二、树：1、树
7、的定义：、树的定义：一个连通图的树，具备三要素：一个连通图的树，具备三要素：树为连通图；树为连通图；包含原图的所有结点；包含原图的所有结点；树本身不构成回路。树本身不构成回路。7第7页，本讲稿共40页2、树支和连支：树支：树支：树中包含的支路；树中包含的支路；连支：连支：除树支以外的其它支路称为对应于该树的连支。除树支以外的其它支路称为对应于该树的连支。3、树支数和连支数：、树支数和连支数：结点数：结点数：n 个；个；支路数：支路数：b 条。条。树支数树支数：n-1;连支数：连支数：b-(n-1)。n=2n=3n=4树支数：树支数：1树支数：树支数：2树支数：树支数：38第8页，本讲稿共40页
8、3-2 KL的独立方程数的独立方程数3-2 KL的独立方程数的独立方程数654321一、一、KCL的独立方程数：的独立方程数：对结点对结点1，列，列KCL方程（令流出为正）方程（令流出为正）结点结点2，结点结点3，结点结点4，此电路可列且只可列此电路可列且只可列(4-1)个彼此独立的个彼此独立的KCL方程。方程。而电路有而电路有(4-1)个个独立结点独立结点。结论：结论：四个方程有且仅有任意三个独立。四个方程有且仅有任意三个独立。推广推广，有，有 n 个结点的电路可列且仅可列出个结点的电路可列且仅可列出 n-1 个独立结点方程。个独立结点方程。i1-i4-i6=0-i1-i2+i3=0i2+i
9、5+i6=0-i3+i4-i5=0i3-i4+i5=09第9页，本讲稿共40页 把两个小把两个小回路组合起来构成了另一个回路时，这两个小回路的公有支路不论方向如回路组合起来构成了另一个回路时，这两个小回路的公有支路不论方向如何，均在对应的何，均在对应的KVL方程中会抵消，而不出现在较大回路所对应的方程中会抵消，而不出现在较大回路所对应的KVL方程中，所以三方程中，所以三个回路彼此并不是独立的。个回路彼此并不是独立的。要找出独立回路，对于复杂电路是件困难的事，必须引出图论中要找出独立回路，对于复杂电路是件困难的事，必须引出图论中树树的概念。的概念。二、KVL的独立方程数：1、回路：、回路：2、独
10、立回路：、独立回路：10第10页，本讲稿共40页65432165432165453154213、基本回路（单连支回路）：a、单连支、单连支+一些树支可构成回路；一些树支可构成回路；b、单连支回路必然独立，称为、单连支回路必然独立，称为基本回路基本回路。4、KVL的独立方程数：的独立方程数：b-(n-1)5、平面图、非平面图、网孔：、平面图、非平面图、网孔：网孔就是图的自然孔即它限定的区域内没有支路。平面图的所有网孔构成一组独立网孔就是图的自然孔即它限定的区域内没有支路。平面图的所有网孔构成一组独立回路。回路。网孔数网孔数=独立回路数。独立回路数。11第11页，本讲稿共40页习题：习题：3-1、
11、3-3、3-6。12第12页，本讲稿共40页3-3 支路电流法支路电流法3-3 支路电流法支路电流法_+R6R5R4R3R2R1us1is5i1i2i3i4i6i5is5R5+_iR5u5i5+_us1R1+_u1i1654312 所谓所谓支路法支路法是以支路电流和是以支路电流和/或支路电压为电路变量列写或支路电压为电路变量列写KL方程的解题方法。方程的解题方法。一、支路电流法：一、支路电流法：1、电路变量：、电路变量：支路电流：支路电流：b个个2、方程个数：、方程个数：KCL n-1个个KVLVCRb-(n-1)个13第13页，本讲稿共40页3、步骤：is5作拓扑图：作拓扑图：结点、支路、参
12、考方向结点、支路、参考方向_+R6R5R4R3R2R1us1i1i2i3i4i6i5按按KCL，列，列 n-1 个结点方程个结点方程654312123结点结点：结点结点：结点结点：（3-2）按按KVL，以支路电流为变量依照，以支路电流为变量依照VCR列列b-(n-1)个回路方程：个回路方程：回路回路1：回路回路2：回路回路3：（3-4）联立求解：联立求解：R5+_i5R5is514第14页，本讲稿共40页二、支路电压法：1、电路变量：、电路变量：支路电压支路电压 b 个个2、方程个数：、方程个数：KVL b-(n-1)个个KCLVCR (n-1)个个三、三、2b法：法：1、电路变量：、电路变量
13、：2、方程个数：、方程个数：KCL n-1个个KVL b-(n-1)个个VCR b个个支路电流和电压：支路电流和电压：2b个个15第15页，本讲稿共40页34网孔电流法网孔电流法+_R3R2R1us3us2us1i1i2i3im1im2im1im2im1im213234 网孔电流法网孔电流法一、网孔电流：一、网孔电流：1、网孔电流：、网孔电流：沿平面电路的网孔流动的沿平面电路的网孔流动的 假想的假想的电流。电流。2、作为电路变量的完备性：、作为电路变量的完备性：每一条支路的电流均是每一条支路的电流均是有关网孔电流的代数和；有关网孔电流的代数和；3、网孔电流自动满足、网孔电流自动满足KCL:16
14、第16页，本讲稿共40页+_R3R2R1us3us2us1im1im2i1i2i3二、网孔电流方程：网孔电流方程是以网孔电流为变量，按网孔电流方程是以网孔电流为变量，按KVL和和VCR列写的一组独立的方程列写的一组独立的方程组。个数：组。个数：b-(n-1)。网孔网孔1：网孔网孔2：将将i1=im1，i2=im1-im2，i3=im2代入上式代入上式整理得整理得三、观察法：三、观察法：规律性规律性1、自电阻：总是正的；、自电阻：总是正的；2、互电阻：两个网孔电流流过互电阻的方向一致的取正号；、互电阻：两个网孔电流流过互电阻的方向一致的取正号；3、电压源项：与绕向一致的电压源取、电压源项：与绕向
15、一致的电压源取”-”号。号。若全部网孔电流若全部网孔电流均选为顺时针均选为顺时针(或逆时针或逆时针)方向方向，则网孔方程的全部互电阻项均取则网孔方程的全部互电阻项均取负号负号。17第17页，本讲稿共40页行列式解法行列式解法化简：化简：求求I1例3-1 列网孔电流方程，求I1。_+6040402050V10V40VI3I2I1IcIdIbIa列方程：列方程：18第18页，本讲稿共40页 例 用网孔分析法求图示电路各支路电流。解：解：选定各网孔电流的参考方向，如图所示。选定各网孔电流的参考方向，如图所示。用观察法列出网孔方程：用观察法列出网孔方程：整理为整理为 解得：解得：12V19第19页，本
16、讲稿共40页3-5 回路电流法回路电流法3-5 回路电流法回路电流法（*）该方法以所谓回路电流作为电路的独立变量，它不仅适用于平面电路，而且适用于非平面该方法以所谓回路电流作为电路的独立变量，它不仅适用于平面电路，而且适用于非平面电路。电路。一、回路电流：一、回路电流：1、定义：、定义：沿电路回路流动的假想电流。沿电路回路流动的假想电流。2、完备性：、完备性：各连支电流：各连支电流：各树支电流：各树支电流：通常选择基本（单连支）回路作为独立回路，这样，回路电流就是相应的连支电流。通常选择基本（单连支）回路作为独立回路，这样，回路电流就是相应的连支电流。12345620第20页，本讲稿共40页二
17、、回路电流方程：1、自电阻：、自电阻：2、互电阻：、互电阻：3、电压源项：、电压源项：因为回路电流自动满足因为回路电流自动满足KCL，故只需列出，故只需列出 b-(n-1)个个KVL方程，其一般形式为：方程，其一般形式为：正号；正号；绕向一致取正号；绕向一致取正号；与绕向一致的取与绕向一致的取”-”号；号；21第21页，本讲稿共40页例用回路法求各支路电流。解解:(1)设独立回路电流设独立回路电流:(2)列列 KVL 方程方程:(R1+R2)Ia -R2Ib =US1-US2-R2Ia+(R2+R3)Ib-R3Ic =US2 -R3Ib+(R3+R4)Ic=-US4系数对称，且系数对称，且互电
18、阻为负互电阻为负(3)求解回路电流方程，得求解回路电流方程，得 Ia,Ib,Ic(4)求各支路电流：求各支路电流：IaIcIb+_US2+_US1R1R2R3+_ US4R4I1I2I3I4(5)校核校核:选一新回路选一新回路 U=Us?I2=Ib-Ia，I3=Ic-Ib，I4=-IcI1=Ia,第22页，本讲稿共40页例例3-3 列回路电流方程。列回路电流方程。方法一：方法一：设定无伴电流源的电压为设定无伴电流源的电压为 U 的方法。的方法。方法二：方法二：将无伴电流源支路选为连支将无伴电流源支路选为连支的方法。的方法。增加回路电流和电流源电流的关系方程增加回路电流和电流源电流的关系方程:_
19、U+1231234、无伴电流源的处理方法。_+Us3Us13040201510Is21A50V20V23第23页，本讲稿共40页例例 列回路电流方程。列回路电流方程。用回路电流表示控制量：用回路电流表示控制量：1235、受控源：将控制量用回路电流来表示；将控制量用回路电流来表示；*由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。小结步骤：小结步骤：注意：注意：回路电流法中的两回路的回路电流法中的两回路的共有支路共有支路有时会有多条，因而互阻的确定要特别细心，否则容有时会有多条，因而互阻的确定要特别细心，否则容易发生易发生遗漏互阻遗漏互阻的错误！的错误！_+_+1
20、10V2315A24第24页，本讲稿共40页习题：习题：3-11、3-12、3-13。25第25页，本讲稿共40页3-5 结点电压法结点电压法结点电压法：结点电压法：以结点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。以结点电压为未知变量列写电路方程分析电路的方法。3-5 结点电压法结点电压法（*）o-+R1R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i226第26页，本讲稿共40页一、结点电压：1、定义：、定义：设定某一个结点为参考结点后，其它结点设定某一个结点为参考结点后，其它结点与参考结点之间的电压称之结点电压。与参考结点之间的电压称之结点电压。2、完备性：、完备性：如果结点电
21、压已经求出，则电路中各支路电压可以为某一个结点电压，或者为两个结如果结点电压已经求出，则电路中各支路电压可以为某一个结点电压，或者为两个结点电压之差。所以，结点电压是分析电路的一组完备解。点电压之差。所以，结点电压是分析电路的一组完备解。3、列写方程的个数：、列写方程的个数：全部支路电压均可以通过结点电压求得这是全部支路电压均可以通过结点电压求得这是KVL的体现，所以结点电压自动满足的体现，所以结点电压自动满足KVL，只须列出，只须列出n-1个个KCL方程联立求解方程联立求解。o-+R1R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i227第27页，本讲稿共40页二、结点电压方程：
22、按按KCL，对上图列三个独立方程：，对上图列三个独立方程：结点结点1:结点结点2：结点结点3：行了吗？行了吗？不行！要以结点电压为未知量。不行！要以结点电压为未知量。代入代入KCL方程，并整理得：方程，并整理得：o-+R1R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i228第28页，本讲稿共40页三、用观察法直接列写结点电压方程：寻找规律性：寻找规律性：1、自电导自电导：总为正；：总为正；2、互电导互电导：独立结点之间的电导，均为负；：独立结点之间的电导，均为负；3、电流源项电流源项：注入为正（移项的结果），有电源之间的变换也是注入为正。：注入为正（移项的结果），有电源之间的变换
23、也是注入为正。o-+R1R2R3R4R5R6iS6uS3i5iS1i1i6i4i3i229第29页，本讲稿共40页o列结点电压方程。解：解：1、选参考结点，对独立结点进行编号；、选参考结点，对独立结点进行编号；2、观察法列方程：、观察法列方程：例例3-5 R1=R2=R5=R6=1，R3=R4=R7=R8=0.5 R4R1R2R5R8R6uS7R3R7+uS3iS9iS4+30第30页，本讲稿共40页列结点电压方程。解：1、选参考结点，对独立结点进行编号；2、观察法列方程：例例3-5 R1a=R1b=R2=R5=R6=1，R3=R4=R7=R8=R9=0.5 oR4R2R5R8R6uS7R3R
24、7+uS3iS9iS4+R9R1aR1b4.50.531第31页，本讲稿共40页解：解：1、选参考结点：、选参考结点：2、列方程：、列方程：整理：整理：系数不对称了！系数不对称了！例3-8，试列结点电压方程。用结点电压表示控制量：用结点电压表示控制量：u2=un1R2iS1R1R3+u2 -ic32第32页，本讲稿共40页例3-7 试列出此电路的结点电压方程。解：解：分析：无伴电压源处理；分析：无伴电压源处理；方法一、将无伴电压源的电流作为方法一、将无伴电压源的电流作为 一一 个附加个附加变量的混合法。变量的混合法。补充一个约束关系：补充一个约束关系：方法二、设法将一个无伴电压源的电压作为一个
25、结点方法二、设法将一个无伴电压源的电压作为一个结点电压的方法。电压的方法。结点结点1：两种方法均要掌握！两种方法均要掌握！iu结点结点2：G2iS2G1G3uS1 0+-G2iS2G1G3uS1 0+-33第33页，本讲稿共40页例1 列结点方程。+_+_isuSR4R3R2R1iR32iR3u12u1un1un2补充方程补充方程034第34页，本讲稿共40页例2 列结点方程。un1un2_+_isuSR4R3R1iR32iR3u12u1isiuiRu+=111n24312n4322)11(RiiuuRRR+-=+方法一：方法一：将无伴电压源的电流作为将无伴电压源的电流作为 一一 个附加变量的
26、混合法。个附加变量的混合法。0在电压源中设电流在电压源中设电流 i。35第35页，本讲稿共40页un1un2方法二：方法二：设法将一个无伴电压源的电压作设法将一个无伴电压源的电压作为一个结点电压的方法。为一个结点电压的方法。suu=1n432n4311n12)111(1RiiuRRRuRRs-=+-例2 列结点方程。_+_isuSR4R3R1iR32iR3u12u136第36页，本讲稿共40页支路电流法、回路电流法和结点电压法的比较：(2)对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立节点较容易。(3)回回路路电电流流法法、结结点点电电压压法法易易
27、于于编编程程。目目前前用用计计算算机机分分析析网网络络(电电网网，集集成成电电路路设设计计等等)多多采采用结点电压法。用结点电压法。支路电流法支路电流法回路电流法回路电流法结点电压法结点电压法KCL方程方程n-10n-1KVL方程方程b-n+10b-n+1方程总数方程总数n-1b-n+1b(1)方程数的比较方程数的比较第37页，本讲稿共40页学习方程法要求达到的学习方程法要求达到的 三个层次三个层次学习方程法要求达到的 三个层次：1、熟练掌握观察法的步骤；、熟练掌握观察法的步骤；2、熟练掌握纯电压源、纯电流源、熟练掌握纯电压源、纯电流源、CS的处理方法；的处理方法；3、熟练掌握方法的选择。、熟练掌握方法的选择。38第38页，本讲稿共40页习题：习题：3-14、3-16(a)、3-18(b)、3-20、3-23。39第39页，本讲稿共40页第三章结 束40第40页，本讲稿共40页