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1、3 3 电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析3-2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数3-4 网孔电流法网孔电流法3-3 支路电流法支路电流法3-5 回路电流法回路电流法3-1 电路的图电路的图3-6 结点电压法结点电压法3、图、图(Graph)一个图一个图G是结点和支路的集合，每条支路的两端都连接到是结点和支路的集合，每条支路的两端都连接到 相应的结点上。相应的结点上。1、支路、支路(branch)电路中一个元件，或几个元件的组合电路中一个元件，或几个元件的组合 一条支路一条支路 在图中用线段表示在图中用线段表示2、结点、结点(node)支路的连接点或端点支路的连接点或端点 在图中用在
2、图中用点点表示表示 3-1 电路的图电路的图7、平面图、平面图 能在平面上画出，而没有任何空间交叉支路的图，能在平面上画出，而没有任何空间交叉支路的图，否则为非平面图否则为非平面图6、有向图、有向图 标有支路电流参考方向的图。标有支路电流参考方向的图。(电压一般取关联参考方向电压一般取关联参考方向)5、连通图、连通图 图中任意两点间至少存在一条路径的图中任意两点间至少存在一条路径的图，否则是非连接通图图，否则是非连接通图4、路径、路径(A B)从某一结点从某一结点(A)出发，沿某些支路连续移动，到达另一指定出发，沿某些支路连续移动，到达另一指定 结点结点(B)(或原结点或原结点)。对此电路的图
3、，列对此电路的图，列KCL：所以这所以这n个方程不独立。个方程不独立。一、一、KCL的独立方程数的独立方程数说明：方程组不独立。说明：方程组不独立。因为每条支路都与两个结点相连，支路电流必然从某结点流出，因为每条支路都与两个结点相连，支路电流必然从某结点流出，从另一结点流入，从另一结点流入，在所有结点的在所有结点的KCL方程中，方程中，每条支路电流必每条支路电流必然出现两次，且一次正，一次负。即然出现两次，且一次正，一次负。即3-2 KCL和和KVL的独立方程数的独立方程数可以证明：可以证明：对于对于n个结点的电路，在个结点的电路，在任意任意(n-1)个结点上可个结点上可以列出以列出(n-1)
4、个独立个独立的的KCL方程。方程。（独立结点）（独立结点）如何确定独立回路如何确定独立回路二、二、KVL的独立方程数的独立方程数此图共有此图共有13个个回路回路，可，可列出列出13个个KVL方程，方方程，方程独立否？程独立否？共有共有8条支路，条支路，u、i共共16个未知数，需要个未知数，需要16个独立方程个独立方程VCR:8个独立方程个独立方程KCL:4个独立方程个独立方程KVL:应有应有4个独立方程个独立方程借助借助 图论知识图论知识一、树一、树(T)包含包含G的所有结点的所有结点不包含回路不包含回路树支树支：树：树T的支路。的支路。连支连支：包含于：包含于G，但又不属于树但又不属于树T的
5、支路。的支路。一个连通图的一个连通图的树树T包含包含G的全部结点和部分支路的全部结点和部分支路，而，而树树T本身是连通的而且又不包含回路本身是连通的而且又不包含回路。3、独立回路、基本回路独立回路、基本回路 (1)对任一个树，每加一个连支，便形成一个只包含一个对任一个树，每加一个连支，便形成一个只包含一个连支的回路。连支的回路。KVL独立方程数独立方程数l=b-n+1 (2)全部单连支回路全部单连支回路单连支回路单连支回路组组（基本回路组）（基本回路组）独立独立回路组回路组。独立回路数独立回路数=单连支回路数单连支回路数=连支数连支数证明：证明：图图G有许多不同的树，但无论哪一个树，树支数总是
6、有许多不同的树，但无论哪一个树，树支数总是(n-1)树支数树支数=n-1，连支数连支数 l=b-(n-1)=b-n+1 n个结点，个结点，b条支路：条支路：VCR：b 个方程个方程KCL：(n-1)个独立方程个独立方程KVL：(b-n+1)个独立方程个独立方程以支路电流、支路电压为变量以支路电流、支路电压为变量则则 2b 个变量个变量2b 个独立方程个独立方程2b法法(缺点：方程个数多，缺点：方程个数多，求解繁求解繁)二、二、支路电流法支路电流法以支路电流以支路电流 ik 为变量为变量(b个个)列方程。列方程。依据：依据：VCR：KCL：KVL：uk=f(ik)一、一、2b法法3-3 支路电流
7、法（支路电流法（branch current method）通过通过KVL和和VCR消去电压，得到消去电压，得到B个电流方程个电流方程例例（4个结点，个结点，6条支路）条支路）1.KCL：(独立方程数独立方程数n-1=3)node 1:-i1+i2+i6=0 node 2:-i2-i3+i4=0 node 3:-i4-i6+i5=0n-1=32.VCR：(独立方程数独立方程数b=6)u1=i1R1-us1b=6i1R1-us1+i2R2-i3R3=0loop1:loop 2:loop 3:i3R3+i4R4+(i5+is5)R5=0i6R6-i4R4-i2R2=0b-n+1=3整理得：整理得：
8、i1R1+i2R2-i3R3=us1 i3R3+i4R4+i5R5=is5R5 i6R6-i4R4-i2R2=0最终，方程组由最终，方程组由 组成。组成。u2=i2R2u3=i3R3u4=i4R4u5=(i5+is5)R5u6=i6R6u1+u2-u3=0u3+u4+u5=0u6 -u4-u2=03.KVL：(独立方程数独立方程数 b-n+1=3)选自然网孔选自然网孔 以以(2,3,4)为树支为树支（6）求解其他变量。）求解其他变量。2、支路电流法步骤、支路电流法步骤（1）确定变量）确定变量 ik(b个个)，确定，确定 ik 参考方向；参考方向；（2）列独立的结点）列独立的结点KCL方程方程(
9、n-1个个)；（3）列独立的回路列独立的回路KVL方程方程(b-n+1个个)，溶入元件，溶入元件VCR，形式为：形式为：ikRk=usk 其中：其中：ikRk:回路中所有支路回路中所有支路 ik与回路方向与回路方向（4）求解方程，求出支路电流；）求解方程，求出支路电流；（5）依据支路约束关系，求解支路电压；）依据支路约束关系，求解支路电压；一致：一致：“+”相反：相反：“-”usk:回路中电源电压回路中电源电压 usk与回路方向与回路方向一致：一致：“-”相反：相反：“+”3、支路电流法的难点、支路电流法的难点不能解决不能解决无伴电流源无伴电流源的情况，受控源的处理的情况，受控源的处理求：各支
10、路电流及求：各支路电流及 各元件上的电压？各元件上的电压？(2)列独立的节点列独立的节点KCL方程方程(3)列独立的网孔列独立的网孔KVL方程方程(4)解支路电流解支路电流(5)求解元件上电压求解元件上电压例例2解：解：(1)选支路电流为变量选支路电流为变量(I1,I2,I3)求：各支路电流及电压？求：各支路电流及电压？(2)列独立的节点列独立的节点KCL方程方程(3)列独立的网孔列独立的网孔KVL方程方程例例3(1)选支路电流为变量选支路电流为变量(I1,I2,I3,I4,I5,I6 其中其中I4=3A已知已知)要点：电流源的处理要点：电流源的处理解：解：132(d)在实际例子中，由于在实际
11、例子中，由于I4已知，支路电流的实际变量少一个，所已知，支路电流的实际变量少一个，所 以也可不列网孔以也可不列网孔3的的KVL方程。这样就不会出现变量方程。这样就不会出现变量uad，仍仍 可保证变量数与方程数一致。可保证变量数与方程数一致。讨论讨论(a)对电流源，因其电流为对电流源，因其电流为 常数，与电压无关，在常数，与电压无关，在 列网孔列网孔3的的KVL方程时，方程时，无法用无法用I4 表示表示uad(b)对含对含无伴电流源无伴电流源的电路，列支路电流方程时，可增加一个变量：的电路，列支路电流方程时，可增加一个变量：该电流源上的电压。该电流源上的电压。(c)因该支路电流为已知，由此条件，
12、应补充一个方程因该支路电流为已知，由此条件，应补充一个方程 ij=is，使变量数与方程数一致。使变量数与方程数一致。(4)求解支路电流求解支路电流(5)求解支路电压求解支路电压(1)电源的处理，尤其是电流源的处理电源的处理，尤其是电流源的处理支路电流法的难点支路电流法的难点(2)受控源的处理受控源的处理结论：结论：1、方程的独立性方程的独立性：求解几个变量，就必须建立几个独立的：求解几个变量，就必须建立几个独立的方程。方程。2、变量的独立性变量的独立性：变量数越少，方程越简单，所以应尽可能：变量数越少，方程越简单，所以应尽可能选用相互独立的变量。选用相互独立的变量。3、变量的完备性变量的完备性
13、：应能用所选变量表示全部支路电压，电流。：应能用所选变量表示全部支路电压，电流。网孔电流：网孔电流：网孔：网孔：不包围其它支路的闭合回路。不包围其它支路的闭合回路。沿每个网孔边界自行流动，且闭合的假想电流。沿每个网孔边界自行流动，且闭合的假想电流。3-4 网孔电流法（网孔电流法（mesh current method）讨论：讨论：网孔方程网孔方程：以每个网孔电流为变量，列网孔的：以每个网孔电流为变量，列网孔的KVL方程。方程。网孔方程数网孔方程数：网孔数：网孔数b-(n-1)网孔法只要求建立网孔法只要求建立b-(n-1)个方程。个方程。2b法要求建立法要求建立2b个独立方程；个独立方程；支路电
14、流法要求建立支路电流法要求建立b个独立方程；个独立方程；解解整理后整理后例例3、电压源放在方程右侧，、电压源放在方程右侧，沿网孔电流方向电压升为正，电压降为负。沿网孔电流方向电压升为正，电压降为负。一、归纳：一、归纳：1、对网孔、对网孔1方程方程 I1的系数为网孔的系数为网孔1包括的全部电阻包括的全部电阻-网孔网孔1的自电阻；的自电阻；I2的系数为网孔的系数为网孔1，2共有的电阻共有的电阻-网孔网孔1，2的互电阻；的互电阻；I3的系数为网孔的系数为网孔1，3共有的电阻共有的电阻-网孔网孔1，3的互电阻；的互电阻；对网孔对网孔2和和3方程也类似。方程也类似。2、若网孔电流采用同一方向、若网孔电流
15、采用同一方向(全部顺时，或全部逆时全部顺时，或全部逆时)，则自电阻一律为正，互电阻一律为负。则自电阻一律为正，互电阻一律为负。网孔法要点：网孔电流，自电阻，互电阻及各种电源的处理。网孔法要点：网孔电流，自电阻，互电阻及各种电源的处理。Usjj为网孔为网孔j的全部电压源的代数和的全部电压源的代数和(升为正升为正)4、网孔方程的一般形式、网孔方程的一般形式(全部顺时全部顺时)其中其中(4)解其他变量；解其他变量；二、网孔法步骤二、网孔法步骤(1)选网孔电流为变量，并标出变量；选网孔电流为变量，并标出变量；(2)按照规律列网孔方程；按照规律列网孔方程；(3)解网孔电流；解网孔电流；Rjj为网孔为网孔
16、j的自电阻的自电阻(取正取正)Rij为网孔为网孔i,j的互电阻的互电阻(取负取负)(1)选网孔电流为变量选网孔电流为变量 Im1，Im2(3)解出网孔电流解出网孔电流(4)求其他变量求其他变量例例解解:(2)列网孔方程列网孔方程(2)列网孔方程列网孔方程讨论：讨论：例例要点：独立源的处理要点：独立源的处理解：解：(1)选网孔电流选网孔电流I1,I2,I3为变量。为变量。(3)解网孔电流解网孔电流(a)网孔网孔2包括一个电流源，且等于网孔电流包括一个电流源，且等于网孔电流I2，相当于相当于I2已知，可不列该网孔的已知，可不列该网孔的KVL方程。方程。(b)应尽可能使电流源为网孔电流。应尽可能使电
17、流源为网孔电流。如非要列，必须注意如何在该网孔方程中如非要列，必须注意如何在该网孔方程中考虑该电流源上的电压。考虑该电流源上的电压。要点：独立源的处理要点：独立源的处理(2)独立电流源独立电流源 解得解得例例解：网孔方程解：网孔方程讨论讨论(1)独立电源全部放在方程右侧。独立电源全部放在方程右侧。(b)当不选为网孔电流时，首先设其上电压后，将其看成独立压源处当不选为网孔电流时，首先设其上电压后，将其看成独立压源处 理，然后增加一个网孔电流与该电流源电流的关系方程。理，然后增加一个网孔电流与该电流源电流的关系方程。(a)尽量使其成为网孔电流，这样网孔电流已知，可不列该网孔方程；尽量使其成为网孔电
18、流，这样网孔电流已知，可不列该网孔方程；电流源上电流源上设电压设电压电流源上电流源上设电压设电压增加电流源与增加电流源与网孔电流的关系方程网孔电流的关系方程要点：受控源的处理要点：受控源的处理解得解得例例解：网孔方程解：网孔方程电流源上电流源上设电压设电压受控源受控源电流电流增加电流源与增加电流源与网孔电流的关系方程网孔电流的关系方程增加控制量与网孔增加控制量与网孔电流的关系方程电流的关系方程回路电流法回路电流法：通常以：通常以基本回路电流基本回路电流(即连支电流即连支电流)为变量，为变量，列基本回路的列基本回路的KVL方程，求解。方程，求解。(网孔法是回路法的特例，且仅适用于平面电路网孔法是
19、回路法的特例，且仅适用于平面电路)基本回路数基本回路数：b-(n-1)=b-n+1基本回路电流基本回路电流：沿基本回路流动的闭合电流：沿基本回路流动的闭合电流 (用连支电流定义为该闭合电流用连支电流定义为该闭合电流)。3-5 回路电流法（回路电流法（loop current method）二、回路法要点：二、回路法要点：基本回路，连支电流，回路方程，自电阻，基本回路，连支电流，回路方程，自电阻，互电阻及各种电源的处理。互电阻及各种电源的处理。一、回路法步骤：一、回路法步骤：1、画有向图，选树，并选连支电流为变量；、画有向图，选树，并选连支电流为变量；2、确定基本回路，并以连支电流方向定为基本回
20、路方向；、确定基本回路，并以连支电流方向定为基本回路方向；3、以连支电流为变量，按照规律列基本回路方程；、以连支电流为变量，按照规律列基本回路方程；4、解连支电流；、解连支电流；5、解其他变量；、解其他变量；三、回路方程的一般形式三、回路方程的一般形式usjj为基本回路为基本回路j的全部电压源的代数和的全部电压源的代数和(升为正升为正)其中其中ilj为基本回路电流为基本回路电流Rjj为基本回路为基本回路j的自电阻的自电阻(取正取正)Rij为基本回路为基本回路i,j的互电阻的互电阻(两回路方向一致取正，反之取负两回路方向一致取正，反之取负)解：解：(1)画图，选树，选变量画图，选树，选变量(2)
21、列回路方程列回路方程例例(2)列回路方程列回路方程讨论：讨论：例例要点：无伴电流源的处理要点：无伴电流源的处理解：解：(1)选回路电流选回路电流I1,I2,I3为变量。为变量。(3)解回路电流解回路电流(a)回路回路2包括一个电流源，且等于回路电流包括一个电流源，且等于回路电流I2，相当于相当于I2已知，可不列该网孔的已知，可不列该网孔的KVL方程。方程。(b)应尽可能使电流源为回路电流。应尽可能使电流源为回路电流。要点：无伴电流源的处理要点：无伴电流源的处理(2)无伴独立电流源无伴独立电流源 解得解得例例解：回路方程解：回路方程讨论讨论:(1)独立电源全部放在方程右侧。独立电源全部放在方程右
22、侧。电流源上电流源上设电压设电压电流源上电流源上设电压设电压增加电流源与增加电流源与网孔电流的关系方程网孔电流的关系方程讨论：讨论：n越少，方程数越少。越少，方程数越少。结点电压结点电压：该结点相对参考点的电压（电势差）。：该结点相对参考点的电压（电势差）。结点电压数结点电压数：n-1结点电压方程结点电压方程：对：对n-1个结点个结点(参考点除外参考点除外)，以结点电压为变量，以结点电压为变量，列各个结点的列各个结点的KCL方程。方程。3-6 结点电压法（结点电压法（node voltage method）例例KCL：node 1:-i1+i4+i6=0node 2:-i4+i5 -i2=0n
23、ode 3:-i6-i5 +i3=0VCR：u1=(i1-is1)R1=-un1 u2=i2R2=-un2 u3=i3R3+us3=un3 u4=i4R4=un1-un2 u5=i5R5=un2-un3 u6=(i6-is6)R6=un1-un3G1un1+G4(un1-un2)+G6(un1-un3)=is1-is6 G4(un2-un1)+G5(un2-un3)+G2un2=0G3(un3-us3)+G5(un3-un2)+G6(un3-un1)=is6整理整理：G11G12G13is11G21G22G23is22G31G32G33is33结论：结论：自导：自导：G11 G22 G33 连
24、接到该结点的全部电导之和；连接到该结点的全部电导之和；“+”互导：互导：Gmn(m n)连接结点连接结点m、n的公共电导。的公共电导。“-”电流净进入量：电流净进入量：is11 is22 is33 电源注入该结点的电流。电源注入该结点的电流。入：入：“+”；出：；出：“-”结点法要点：结点电压，自电导，互电导及各种电源的处理。结点法要点：结点电压，自电导，互电导及各种电源的处理。isjj为流入结点为流入结点j的全部电流源的代数和的全部电流源的代数和(入为正入为正)一、结点电压方程的一般形式一、结点电压方程的一般形式其中其中Gjj为结点为结点j的自电导的自电导(取正取正)Gij为结点为结点i,j
25、的互电导的互电导(取负取负)二、结点法步骤二、结点法步骤(1)选参考点，对结点进行编号；选参考点，对结点进行编号；(2)按照规律列结点方程；按照规律列结点方程；(3)解结点电压；解结点电压；(4)解其他变量；解其他变量；(2)列结点电压方程列结点电压方程例例要点：运用规律要点：运用规律解：解：(1)选选d为参考点为参考点 设设Un1,Un2,Un3为结为结 点电压变量点电压变量(2)列结点方程列结点方程(3)解得解得例例要点：无伴电压源的处理要点：无伴电压源的处理解：解：(1)选参考点及结点电压为变量。选参考点及结点电压为变量。(2)等效变换等效变换 电压源串联电阻电压源串联电阻电流电流流源并
26、联电阻流源并联电阻例例要点：电压源的处理要点：电压源的处理解：解：(1)选参考点选参考点 以结点电压为变量。以结点电压为变量。(3)列结点方程列结点方程(4)解得解得(5)求解其他变量求解其他变量解：解：(1)选参考点及结点电压为变量。选参考点及结点电压为变量。(3)列结点方程列结点方程例例 要点：电压源的处理要点：电压源的处理(2)等效变换等效变换 电压源串联电阻电压源串联电阻电电流源并联电阻流源并联电阻电流源上电流源上设电压设电压电压源上电压源上设电流设电流增加电压源与增加电压源与结点电压的关系方程结点电压的关系方程解：解：(1)选参考点及结点选参考点及结点 电压为变量。电压为变量。(2)列结点方程列结点方程例例求：求：U，I?电流源上电流源上设电压设电压电压源上电压源上设电流设电流增加电压源与增加电压源与结点电压的关系方程结点电压的关系方程增加电压源与增加电压源与结点电压的关系方程结点电压的关系方程增加电压源与增加电压源与结点电压的关系方程结点电压的关系方程增加控制量与增加控制量与结点电压的关系方程结点电压的关系方程思考：思考：在列结点电压方程时，如果某条支路是电流源与电阻串联，该在列结点电压方程时，如果某条支路是电流源与电阻串联，该如何处理？如何处理？