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1、第 1 页 共 16 页 2022 届吉林省长春市汽车经济技术开发区第三中学高三上学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 1已知集合30Mxx，1,2,3,4,5N，则MN（）A1,2,3 B3,4,5 C 1,2 D4,5【答案】C【分析】根据交集的定义求解NM的值即可【详解】解：303Mxxx x，1,2,3,4,5N，1,2MN，故选：C.【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.2若(1i)2iz，则z A1 i B1+i C1 i D1+i【答案】D【解析】根据复数运算法则求解即可.【详解】()(2i2i 1 i1 i1 i1 i 1 i)()z 故选 D【点睛】本题考查复数的商的
2、运算，渗透了数学运算素养采取运算法则法，利用方程思想解题 3已知向量(1 2)a，(1)bm，且()aba，则实数m等于 A1 B2 C3 D4【答案】C【详解】向量1 2a，1bm，(1,1)abm aba()0aba，即120m 3m 故选 C 第 2 页 共 16 页 4函数 2ln6f xxx的零点所在区间为（）A0,1 B1,2 C2,3 D3,4【答案】C【分析】根据对数函数单调性和函数单调性的运算法则，判断函数 f x可的单调性，结合零点存在性定理判断零点所在区间【详解】因为函数lnyx和函数26yx在0，上都为增函数，所以函数 2ln6f xxx在0,上是增函数，又 11 50
3、f ，2ln2460f，03ln396f，ln4 16604f，230ff，根据零点存在性定理及函数的单调性，可得函数 2ln6f xxx的零点所在区间为2,3 故选：C 5已知在ABC中，1a，2b，60C，则c等于（）A3 B2 C5 D5【答案】A【分析】利用余弦定理可直接求出3c.【详解】在ABC中，1,2,60abC，由余弦定理得222122 1 2cos603c ，所以3c.故选：A.【点睛】本题考查余弦定理解三角形，一般地，如果知道三角形的两边及其夹角，求第三边时通常利用余弦定理，本题属于基础题.6甲、乙两名同学在 5 次体能测试中的成绩的茎叶图如图所示，设12,x x分别表示甲
4、、乙两名同学测试成绩的平均数，s1，s2分别表示甲、乙两名同学测试成绩的标准差，则有（）A12xx，12ss B12xx，12ss 第 3 页 共 16 页 C12xx，12ss D12xx，s1=s2【答案】C【分析】先根据茎叶图读书甲乙同学的成绩，然后根据平均数、方差与标准差的概念即可分别求出甲乙的平均数、方差与标准差，从而可以求出结果.【详解】由题可 知甲同学成绩为 74，75，84，88，89，乙同学成绩为 76，78，83，86，87，其中174758488895x=82，7678838687825，甲同学测试成绩的方差是 22211(7482)(758)25s 222202(848
5、2)(8982)(8882)5，标准差是12025s 乙同学测试成绩的方差是2222222194(7682)(7882)(8382)(8682)(8782)55s 标准差是2945s，1212,xx ss，故选：C.7若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230 xy的距离为（）A55 B2 55 C3 55 D4 55【答案】B【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为,0a aa，可得圆的半径为a，写出圆的标准方程，利用点2,1在圆上，求得实数a的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230 xy的距离.【详解】由于圆上的点2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与
6、至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为,a a，则圆的半径为a，圆的标准方程为222xayaa.由题意可得22221aaa，可得2650aa，解得1a 或5a，所以圆心的坐标为 1,1或5,5，第 4 页 共 16 页 圆心到直线的距离均为12 1 1 32 555d ；圆心到直线的距离均为22 5532 555d 圆心到直线230 xy的距离均为22 555d；所以，圆心到直线230 xy的距离为2 55.故选：B.【点睛】本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.8设0.3341(),10,1010abclog，则 A
7、acb Bbac Ccba Dabc【答案】A【分析】利用有界性分别得出0.3341()1,10 2,110210log，从而得出 a，b，c的大小关系【详解】0.3011()()11010，331082，4441log 4log 10log 162，acb 故选：A【点睛】考查指数函数、对数函数的单调性，幂函数的单调性，以及增函数、减函数的定义 9如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A90 B63 C42 D36【答案】B【详解】由题意，该几何体是由高为 6 的圆柱截取一半后的图形加上高为 4 的圆
8、柱，故第 5 页 共 16 页 其体积为2213634632V，故选 B.点睛:（1）解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图（2）三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据 10函数|3()(0)1xf xxxx 的部分图象大致为（）A B C D【答案】A【分析】根据函数解析式可判断函数的奇偶性，对称性可排除B、D，再由特殊值可排除C，即可得到答案.【详解】解：因为|3()(0)1xf xxxx，所以()()fxf x，即()f x为奇函数，函数图象关于原点对称，
9、排除B、D，当3x 时，()0f x，排除C 故选：A【点睛】本题考查函数的图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.11若x，y满足约束条件220 xyxy，且4zxay的最大值为24，则正实数a的值为（）A4 B6 C10 D8【答案】D【分析】作可行域，根据目标函数的几何意义求目标函数的最大值，由此确定a的值.【详解】作出不等式组表示的平面区域如图所示，由4zxay可得41yxzaa，因为0a，所以直线41yxzaa 在y轴上的截距的的a倍为z，当04a时，区域内的点作直线4yxa 的平行线，第 6 页 共 16 页 观察图象可得当2x，2y 时，直线41yxzaa 在y轴上的截距最大
10、，所以2x，2y 时，4zxay取最大值，最大值为82za，当4a 时，区域内的点作直线4yxa 的平行线，观察图象可得当2x，2y 时，直线41yxzaa 在y轴上的截距最大，所以2x，2y 时，4zxay取最大值，最大值为82za，当4a 时，过区域内的点作直线4yxa 的平行线，第 7 页 共 16 页 观察图象可得当2x，2y 时，直线41yxzaa 在y轴上的截距最大，所以2x，2y 时，4zxay取最大值，最大值为82za，所以，对于任意的正实数a，当2x，2y 时，4zxay取最大值，最大值为82za，所以8224a，所以8a 故选：D.12若函数()yf x的图象上存在两个点A
11、，B关于原点对称，则称点对,A B为()yf x的“友情点对”，点对,A B与,B A可看作同一个“友情点对”，若函数21,0()2,0 xf xxaxa x恰好有两个“友情点对”，则实数a的取值范围是（）A15(1,)2 B15(,)2 C15(,1)2 D15(,)2【答案】B【分析】由对称可知()1f x 在(0,)上有两解，结合韦达定理，可得答案【详解】解：由题意可知221xaxa 在(0,)上有两解，即2210 xaxa 有两个正根，故220104410aaaa，解得：15(,)2a.故选：B 二、填空题 第 8 页 共 16 页 13已知函数 f x的定义域为1,1，则函数1f x
12、的定义域是_.【答案】0,2【分析】由题意可得出111x ，进而可解得函数1yf x的定义域.【详解】由题意可得出111x ，解得02x.因此，函数1yf x的定义域为0,2.故答案为：0,2.【点睛】本题考查抽象函数定义域的求解，求解抽象函数定义域时要注意以下两点：（1）中间变量取值范围一致；（2）定义域为自变量的取值范围.考查计算能力，属于基础题.14已知函数 323612f xxxx，则曲线 yf x过点0,1的切线方程为_【答案】610 xy 或10516160 xy【分析】设切点为323,612t ttt，利用导数写出切线方程，将点0,1的坐标代入切线方程，求出t的值，代入切线方程即
13、可得出所求切线的方程.【详解】设切点为323,612t ttt，2336fxxx，则切线斜率为2336tt，故曲线 yf x在xt处的切线方程为3223613362ytttttxt，将点0,1的坐标代入切线方程可得32231613362tttttt，解0t或34t ，故所求切线方程为16yx 或379105364164yx，即610 xy 或10516160 xy.故答案为：610 xy 或10516160 xy.15执行如图所示的流程图，若输入 x的值为 2.5，则输出 i的值是_ 【答案】4【分析】根据程序框图，分析计算即可得出答案.【详解】解：当0,10ij时，19j 成立；所以 0 1
14、 1,102.512.5ij，有19j 成立；有 1 12,15ij ，有19j 成立；有2 13,17.5ij，有19j 成立；第 9 页 共 16 页 有3 14,20ij ，有19j 不成立，所以输4i 故答案为：4.16在 ABC 中，若,24Aa，则sinsinsinabcABC_.【答案】2【分析】由正弦定理，将式子中的边化为角，代入即可【详解】因为2sinsinsinabcRABC 所以2 sinaRA，2 sinbRB，2 sincRC 所以 sinsinsinabcABC=2 sin2 sin2 sin2sinsinsinRARBRCRABC=sinaA=2sin4=2【点睛
15、】本题主要考查正弦定理的变形运用，属于基础题 三、解答题 17已知nS是数列na的前n项和，且32nnSa（1）求数列na的通项公式；（2）令32log1nnba，求数列11nnb b的前n项和nT【答案】（1）13()2nna（2）11nTn【分析】（1）根据题意32nnSa，利用11nnnaSS即可求出数列na的通项公式.（2）根据（1）得出nbn，则1111111nnb bn nnn，再利用“裂项求和法”即可得出nT.【详解】解：（1）因为32nnSa，所以1132nnSa，得：1133nnnaaa，即132nnaa，又11a，所以11331()()22nnna （2）32log1nnb
16、a，令11nnncb b，则111(1)1ncn nnn，所以1211111(1)()()22311nnnTcccnnn 第 10 页 共 16 页【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解以及利用“裂项求和法”求数列的前n项和，考查基本运算能力.18如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 2 的菱形，60BAD，PD 平面ABCD，点E，F分别为PB，CD的中点，连接BD，AF交于点G，点H为BG的中点.（1）证明：/EH平面PAF；（2）若直线EH与平面ABCD所成角为 60，求三棱锥PADE的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）13.【分析】（1）连接 PG,由中位线定理得到 EH
17、PG，然后利用线面平行的判定定理证得；（2）先利用平面几何知识得到 DG的长度，利用线面角得到 PD 的长度，进而求得四棱锥 P-ABCD的体积，然后利用同底等高和高相等底面积不等的棱锥的体积的关系转化得到三棱锥PADE的体积.【详解】（1）证明：如图，连接 PG,H 为 BG的中点，E为 BP的中点，EH为 PBG的中位线，EHPG，又EH平面PAF,PG平面 PAF,EH平面 PAF;（2）由 DF为 AB的一半，可知 DG为 BG的一半，由于底面ABCD是边长为 2 的菱形，60BAD，ABD为等边三角形，BD=2,DG=1233BD,PD 平面ABCD，PGD为 PG与底面 ABCD所
18、成的角，直线EH与平面ABCD所成角为 60，EHPG,PG 与底面所成的角为 60，PGD=60，2tan6033PDDG,P-ABCD 的体积为 V=11324sin6022333233ADABPD ,E为 PB 的中点，三棱锥 P-ADE的体积等于三棱锥 B-ADE的体积又等于三棱锥 P-ABD 的体积的一半，而三棱锥 P-ABD 的体积又等于四棱锥 P-ABCD 的体积的一半，三棱锥PADE的体积为141433.第 11 页 共 16 页 【点睛】本题考查线面平行的证明，考查棱锥的体积，属基础题，关键是熟练掌握棱锥的体积的转化.19随着手机的日益普及，中学生使用手机的人数也越来越多，使
19、用的手机也越来越智能.某中学为了解学生在校园使用手机对学习成绩的影响，从全校学生中随机抽取了 150 名学生进行问卷调查.经统计，有23的学生在校园期间使用手机，且使用手机的学生中学习成绩优秀的占15，另不使用手机的学生中学习成绩优秀的占45.（1）请根据以上信息完成2 2列联表，并分析是否有 99.9%的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”？学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计 在校期间使用手机 在校期间不使用手机 合计 （2）现从上表中学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出 6 人，再从这 6 人中随机抽取 2 人，求这 2 人中至少有 1 人使用手机的概率？参考公式：
20、22n adbcKabcdacbd，其中nabcd .参考数据：20()P Kk 0100 0.050 0.010 0.001 0k 2.706 3.841 6.635 10.828 第 12 页 共 16 页【答案】（1）表格见解析，有；（2）35.【分析】(1)分析题意完成 22 列联表,直接套公式求出2K,对照参数下结论;(2)列举出基本事件,利用等可能事件的概率公式求概率.【详解】解：（1）2 2列联表如下：学习成绩优秀 学习成绩不优秀 合计 在校期间使用手机 20 80 100 在校期间不使用手机 40 10 50 合 计 60 90 150 2215020 1040 805010.
21、828100 50 60 90K，所以有99.9%的把握认为“在校期间使用手机和学习成绩有关”（2）从学习成绩优秀的学生中按在校期间是否使用手机分层抽样选出 6 人，其中在校期间使用手机的学生有620260人，记为 Y1，Y2 在校期间不使用手机的学生有640460人记为 N1，N2，N3，N4 从这 6 人中选出 2 人的所有可能情况：1 2111213142122YYY NY NY NY NY NY N，2324121314232434Y NY NN NN NN NN NN NN N，共 15种，其中至少有一人在校使用手机的情况有 9种，(Y1N1，Y1N2，Y1N3，Y1N4，Y2N1，
22、Y2N2，Y2N3，Y2N4，Y1Y2)故至少有一人在校使用手机的概率93155P 20已知椭圆C：22221xyab(0ab)的离心率为32，且长轴长为 4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）与坐标轴不垂直的直线l与椭圆C交于M，N两点(不与椭圆C的顶点重合)，以MN为直径的圆过椭圆C的上顶点，证明：直线l过定点，并求出该定点坐标.【答案】（1）2214xy；（2）30,5B.【分析】1根据长轴求得 a,根据离心率求得 c,利用平方关系求得 b，从而可求椭圆 C的方程；第 13 页 共 16 页 2可设直线 AM的方程为1ykx，则直线 AN的方程为1yk x,并设1122,M x yN xy
23、.其中1.kk 解得12814kxk，228 14 kxk,利用对称性求得在1k 时直线l交 y轴于30,5B，利用向量的运算证明任意情况下都有MBBN，进而得到直线 l过定点30,5B.【详解】(1)解：223,24,2,3,12caacbaca 椭圆 C的方程为 C：2214xy；2证明：椭圆的上顶点0,1A.以MN为直径的圆过椭圆C的上顶点，0AM AN，AMAN，从而直线 AM与坐标轴不垂直，由0,1A，显然，直线,AM AN的斜率存在且不为零，可设直线 AM的方程为1ykx，则直线 AN的方程为1yk x,并设1122,M x yN xy.其中1.kk 将1ykx代入椭圆 C 的方程
24、，整理得：221480kxkx，解得12814kxk(0 是 A 的横坐标)，228 14 kxk 当1k 时，1k ,185x ,285x,由对称性知此时直线l垂直于y轴，35y ,直线l交 y 轴于30,5B 下面证明任意情况下都有MBBN,11,1M x kx,22,1N x k x 112288,55BMx kxBNx k x,12121212888555xk xkxxkk x xxx 222222881481464514141414kkkkkkkkkkkk 22228832()64514141414kkkkkkkkkk 22646401414kkkkkk,因此直线 l过定点30,5B
25、.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查椭圆的标准方程，考查直线和椭圆的交点问题，关键第 14 页 共 16 页 是利用对称性首先确定当1k 时，直线l交 y轴于30,5B，然后利用平面向量共线的条件证明，可以起到简化计算的作用.21已知函数 2211ln2af xxxxa(1)当2a 时，求函数 f x的单调增区间(2)讨论函数 f x的单调性【答案】(1)函数 f x的单调递增区间有10,2和2,；(2)答案见解析.【分析】（1）求出导函数，根据导函数与函数的单调性的关系求单调递增区间；（2）求出导函数，通过对 a的分类讨论，结合导数与函数单调性的关系求解.【详解】（1）函数 2211l
26、n2af xxxxa的定义域为0,，当2a 时，215ln22fxxxx，所以221251252()22xxxxfxxxxx.故当10,2x时，0fx，函数 f x在10,2上单调递增；当1,22x时，0fx，函数 f x在1,22上单调递减；当2,x时，0fx，函数 f x在2,上单调递增；所以函数 f x的单调递增区间有10,2和2,；（2）由 2211ln2af xxxxa可得：2221()11(1)()axxaaaxaxafxxaxaxax.当a0时，0fx，f x在0,上单调递增；当01a时，0,xa时，0fx时，f x在0,a上单调递增；1,xaa时，0fx时，f x在1,aa上单
27、调递减；1,xa时，0fx，f x在1,a上单调递增；.当1a 时，()0fx，且仅在1x 时，()0fx，所以函数 f x在0,上单调递增；第 15 页 共 16 页 当1a 时，10,xa时，0fx时，f x在10,a上单调递增；1,xaa时，0fx时，f x在1,aa上单调递减；,xa时，0fx，f x在,a 上单调递增；.综上所述，当a0时，函数 f x在0,上单调递增；当01a时，函数 f x在0,a和1,a上单调递增，在1,aa上单调递减；当1a 时，函数 f x在0,上单调递增；当1a 时，函数 f x在10,a和,a 上单调递增，在1,aa上单调递减；22在直角坐标系xoy中，
28、曲线1C的参数方程为212()212xttyt 为参数与曲线222:14xCy交于,M N两点.（1）求曲线1C的普通方程；（2）若点(1,1)P，求|PMPN的值.【答案】（1）1:Cyx；（2）2 2.【分析】（1）利用加减消元法，进行消参，化为普通方程；（2）根据参数t的几何意义可得【详解】（1）212212xtyt ，两方程相减得，yx；（2）将直线l的参数方程代入曲线2C的方程并整理得：2510 220tt，设M，N对应的参数为1t，2t，122 2tt，1 225t t，12122 2PMPNtttt.【点睛】本题考查了参数方程化普通方程、以及求椭圆弦长问题，直线的参数方程中参数的
29、几何意义，属于中档题.23已知函数 12f xxx.（1）求 4f x 的解集；（2）已知函数 f x的最小值为m，若a，b均为正数，且2abm，求21ab的最小值.第 16 页 共 16 页【答案】（1）5|2x x 或32x；（2）3.【分析】（1）先讨论 x的范围将绝对值展开，再分别解出范围求并集即可；（2）利用三角不等式求出 m，再根据基本不等式即可求出最小值.【详解】（1）21,23,2121,1xxf xxxx ，则不等式等价于：2214xx 或3421x 或1214xx，解得不等式解集为：5|2x x 或32x.（2）|12|3f xxx，则 m=3，即23ab，又a,b为正数，211 2112212225523333babaababababab，当且仅当 a=b=1 时取“=”.